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1、高等几何练习题库及答案一、填空题1欧几里得的几何原本一书共有 卷，其中有 条公理， 条公设。2用公理法建立的几何学演绎体系是由原始概念的列举、 、 、 等四个方面组成的。3绝对几何学的公理体系是由四组， ， 条公理构成的。4罗巴切夫斯基函数当平行矩 时，其对应的平行角连续递减。5罗氏平面上直线的相互位置有三种可能，即 、 、 。6斜率为的直线上的无穷远点的齐次坐标是 。7两个射影点列成透视对应的充要条件是 。8欧氏平面上添加了 后，成为仿射平面。9共线4点，若满足 ，则称点对与点对互成调和共轭。10平面内两点称为平面内的 。11希尔伯特提出几何公理系统的三个基本问题是 、 、 。12罗巴切夫斯
2、基函数当平行矩连续递增时，其对应的平行角 。 13球面三角形的三角和常小于 而大于 。球面三角形中两角和减去第三角常小于 。14射影变换是对合的充要条件是 。15射影变换的基本不变量是 。16共线4点，若满足，则称点对与点对互成 。17平面内两点 、 称为平面内的圆点。18几何学公理法从开始到形成，大体经历了 阶段。19几何原本被认为是用 建立的几何学。20欧几里得第五公设叙述为： 21希尔伯特于1899年发表了著名的著作 ，这部书被看作是几何基础研究的经典著作。 22几何原本被认为是用古典公理法建立的几何学，这本书的作者是 。23罗巴切夫斯基平面几何的平行公理叙述为 24罗氏平面上三角形内角
3、和 二直角。25球面三角形的内角和大于 ，小于 。 26布里安香定理叙述为 。27欧氏直线上添加了 后，成为仿射直线。28射影平面上一点的射影坐标与另一种射影坐标的变换是 。29通过圆点的任意虚直线称为 。30几何原本被认为是用古典公理法建立的几何学，这本书的作者是 .31两共轭虚直线的交点为 ，两共轭虚点的连线为 。32 叫做对偶运算。33在欧氏平面上萨开里四边形是矩形，而在罗氏平面上，萨开里四边形 . 34笛沙格定理叙述为 35对偶原理叙述为 36不共底又非透视对应的二射影点列恒可表示成 个透视对应的积。37二阶曲线上的完全四点形的对角三点形是 . 38巴斯加定理叙述为 39 被认为是用古
4、典公理法建立的几何学，这本书的作者是欧几里得。40 是球面上两点间的最短距离。 41. 是仿射不变量， 是射影不变量42.直线上的无穷远点坐标为 43.过点（1,i,0）的实直线方程为 44.二重元素参数为2与3的对合方程为 45.仿射变换的不变点为 46.两点决定一条直线的对偶命题为 47.直线i ,2,1-i 上的实点为 48.若交比 则 二、计算题1求直线上的实点。2求4点（AB，CD）的交比，其中。3求射影对应式，使直线上的坐标是1，2，3的三点对应直线上的坐标为的三点。4求由两对对应元素2与2，1与4所决定的对合方程。5求点关于二阶曲线的极线方程。6求过点上的实直线。7设直线，求交比
5、。8求重叠一维基本形的射影变换自对应元素的参数。9求由两对对应元素1与，0与2所决定的对合方程。10求直线关于二阶曲线的极点。11求通过两直线（1，1，1）、（2，1，3）的交点与点 的直线的坐标。12求点关于二阶曲线的极线方程。13求直线上的无穷远点的坐标。14求4直线的交比，其中分别为 .15求射影对应式，使直线上的坐标是的三点对应直线上的坐标为的三点。16求点关于二阶曲线的极线方程。17求直线上无穷远点的齐次坐标。18设点，求点D的坐标。19求点关于二阶曲线的极线方程。20求连接与的直线方程。21求射影对应式，使直线上的坐标是的三点对应直线上的坐标为的三点。22求由两对对应元素2与，与所
6、决定的对合方程。23求点关于二阶曲线的极线方程。24.求一仿射变换，它使直线上的每个点都不变，且使点（1,-1）变为（-1，2）25.经过的直线与直线相交于，求 三、证明题1设P、A、P与Q、B、Q分别在不同的两直线上，且点APBQ、AQBP、AQBP共线，则PQ与PQ的交点在AB上。2求证：决定的点在相互垂直的两条直线上。3已知共面三点形与是透视的，求证六直线属于同一个二级曲线。4给定直线上四个不同点，建立一个射影对应使得5设四点，求证：。6设在二阶曲线上，不在上，分别交于；分别交于。求证：共点。7直线和交于，和交于，、分别交、于、，交于。求证：、交于一点。8在欧氏平面内，设的高为、，又与交
7、于，与交于，与交于。证明：三点、Z共线。9设直线与三点形三边分别交于，证明：10设三点形与是透视的，与，与，与分别交于。证明三线共点。11给定直线上四个不同点，建立一个射影对应使得12.求证:点 三点共线，并求使 13.已知直线的方程分别为：求证四直线共点，并求四、综合题1作图证明：。2作已知点P关于二阶曲线C的极线。CP3作已知直线p关于二阶曲线c的极点。cp4作出下图的对偶图形。5作出下图的对偶图形。6作图证明：给定直线上四个不同点，建立一个射影对应使得7已知P点在二阶曲线上，求作点P的极线。8给定二阶曲线上5点，求作曲线上另外一些点。高等几何练习题库参考答案一 填空题113，5，52定义
8、叙述，公理列举，定理的叙述和证明34，164连续递增5相交，平行，超平行67点列的底的交点是自对应点8无穷远直线910圆点11公理系统的无矛盾性、公理系统的独立性、公理系统的完备性12连续递减13 14任何一对对应元素与两个自对应元素调和共扼15交比16调和共轭 17183 19古典公理法20如果两条直线与第三条直线相交，所构成的同侧内角的和小于两个直角，则这两条直线在这一侧相交 21几何基础 22欧几里得23通过直线外的每一点，至少存在两条直线与已知直线不相交.24小于 25二直角；六直角 26外切于一条非退化的二阶曲线的简单六线形的三对对顶点的连线共点。27无穷远点28非奇异线性变换29迷
9、向直线30欧几里得31实点；实直线32“过一点作一直线”和“在直线上取一点” 33上底角小于直角 34两个三点形对应顶点的连线交于一点，那么对应边的交点在同一直线上. 35在射影平面里，如果一个命题成立，则它的对偶命题也成立. 36237自极三点形 38内接于一条非退化的二阶曲线的简单六点形的三对对边的交点共线.39几何原本40小于180度的大圆弧41. 单比，交比 42.（1,-3,0）43.44.45. 46.两条直线确定一个交点47.(2,-1,2)48. 二 计算题1实点为23456实直线为782，3 91011121314 15161718 192021222324.解：在直线上任取
10、两点 由设仿射变换为 将点的坐标代入可解得 25.解：过的直线方程为： 直线与的交点为 所以 三 证明题1设，考虑三点形，因共点，故对应边的交点共线，即PQ与PQ的交点在AB上。2设，可得两个点的方程为用坐标表示为. 这两个点在直线簇上。又为的根，根据韦达定理，故决定的点在相互垂直的两条直线上。3考虑以为顶的简单六线形。三对对顶连线是，由题设它们共点。由布里安香定理的逆定理知结论成立。4取不在上的点，通过的不同于的直线与分别交于。记为，与交于，则有所以 .5直接计算即可。6只须证三点共线。为此考虑六点形，因为三点共线，由巴斯加定理得证。7考虑三点形，因对应边与，与，与分别交于共线三点，所以根据
11、笛沙格定理的逆定理知共点.8考虑三点形与，由笛沙格定理即得结论.9令与交于，则因，所以命题得证. 10考虑三点形 ，令与的交点为，根据笛沙格定理可以证明与的交点，与的交点，点三点共线，因此三直线共点. 11取不在上的点，通过的不同于的直线与分别交于。记为，与交于，则有所以 .12.证明：因为 所以三点共线 由： 解得 所以 13.解：方程转化为齐次坐标形式： 所以四直线共点。 因为： 所以： 四 综合题1设1、2、3、4所在直线为，任取不在上的点及过1但不过且不与重合的直线，设与的交点分别是，与24交于5，则有故.2过P作C的二割线AB、CD. 连AC，BD交于E，连AD，BC交于F，则EF为P点关于曲线C的极线。3根据配极原则，在p上任取两点A，B，作A，B关于曲线c的极线a，b，则a与b的交点为所求。4如图：5. 如图：6. 如图，取不在上的点，通过的不同于的直线与分别交于。记为，与交于，则有pADCCD”DPBrA所以 .7过P任一直线PQ，作出直线PQ的极点R，则PR就是所求的点P的极线8将5点编号为1，2，3，4，5，设12交34于L，过L作直线p，p交23于M，p交34于N，5M交1N于6. 则6为二阶曲线上的点，变动直线p，可以得到其它点。