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1、2.2 对数函数预习导航课程目标学习脉络1. 理解对数的概念，掌握对数的基本性质2掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程 .一、对数名师点拨对对数的理解：(1) 对数式 log aN可看作一种记号， 表示关于 x 的方程 ax N( a 0，且 a1) 的解； 也可以看作一种运算，即已知底为a( a0，且 a1) ，幂为 N，求幂指数的运算，因此，对数式log aN又可看作幂运算的逆运算(2) 用指数式来理解对数 对数式 blog aN表达的意义是 ab N. 指数式、 对数式中各个字母的名称变化如下表：式子名称axN指数式ax N底数指数幂对数式x log aN底数对数真数(
2、3) 对数记号 log aN中， a0，且 a1， N 0.因为在abN中，a 0，且a1，所以在 logN中， 0，且 1.a又因为正数的任何次幂都是正数，即ab 0( a0)，故 N ab 0.(4) 并不是所有的指数式都能直接改写成对数式，如( 2) 24不能写成 log 24 2，只有在 a 0，且 a1， N 0 时，才有 abN? b logaN.(5) 因为对数式与指数式实际上是同一关系的不同表示形式，所以可以将对数问题转化为指数问题来解决自主思考 alog aN N( a0，且 a1) 成立吗？提示：成立这是因为：由axN，得x log aN. 将xlog aN代入ax N，得
3、alog aN N.二、常用对数和自然对数1常用对数：通常我们将以10 为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg_ N.2自然对数：在科学技术中常使用以无理数e2.718 28 为底数的对数，以e 为底的对数称为自然对数，并把log eN记为ln_ N.2.2 对数函数预习导航课程目标学习脉络1. 掌握对数的运算性质，并能运用运算性质化简、求值2了解对数的换底公式及其应用3初步掌握对数在生活中的应用.一、对数的运算性质条件a0，且 a1， M0， N0log a( MN) log aMlog aN性质log a M log aM log aNNloganaM nlog M( nR)名师
4、点拨对对数的运算性质的理解：(1) 利用对数的运算性质可以把乘、除、乘方的运算转化为对数的加、减、乘运算，反之亦然(2) 对于每一条运算性质， 都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立(3) 能用语言准确叙述对数的运算性质log a( MN) log aMlog aN积的对数等于对数的和log a M log a log a 商的对数等于对数的差NMNnn 倍log aM nlog aM( n R) 真数的 n 次幂的对数等于对数的自主思考若 ，同号，则式子 log ( ) log logN成立吗？M NaM NMaa提示：不一定成立 如 log 2( 2) ( 7) 是存在的，
5、但 log 2( 2) 与 log 2( 7) 是不存在的，故 log2( 2) ( 7) log 2( 2) log 2( 7) 二、换底公式log ab logc b( a0，且 a1； c0，且 c1； b0) log c a名师点拨 1. 用换底公式推得的两个常用结论：(1)logablogba 1( a0，且a1； b0，且 b1) ；(2)logambnn log ab( a0，且 a1； b0；m0) m2换底公式的作用是把不同底的对数化为同底的对数2.2 对数函数预习导航课程目标学习脉络1. 掌握对数函数的概念，会判断对数函数2初步掌握对数函数的图象和性质3能利用对数函数的性质
6、解决与对数函数有关的定义域、定点问题 .一、对数函数名师点拨1.对对数函数定义的理解：x中的底数a(1) 由于指数函数 yaa 满足 a0，且 a1，则对数函数 y log x 中的底数a 也必须满足 a0，且 a1.(2) 对数函数的解析式同时满足：对数符号前面的系数是1；对数的底数是不等于1的正实数 ( 常数 ) ；对数的真数仅有自变量x.2对数函数的图象：对数函数的图象，当 x 趋近于 0 时，无限接近于 y 轴，但不相交作直线 y 1 与函数 y log ax 的图象相交，则交点横坐标为a.自主思考 1 函数 ylog ax( a0，且 a1) 的图象与函数y log 1 x( a0，
7、且 a1) 的图a象有怎样的关系？提示：观察课本第 70 页图 2.2-3知，两函数的图象关于x 轴对称事实上，函数ylog ax 图象上任一点P( x， y) 关于x 轴的对称点P(x， y) 都在函数y log1 x 的图象上，a所以这两个函数的图象关于x 轴对称自主思考2a， b 在什么情况下，log ab0？什么情况下，logab0. 当 a(0,1) ， b1 或 a1， b (0,1) 时， log ab0，且 a1) 和指数函数y ax( a0，且 a1) 互为反函数 它们的图象关于直线y x 对称名师点拨对数函数和指数函数的区别与联系将对数函数和指数函数的性质对比列表如下：名称
8、指数函数对数函数解析式yax ( a0，且 a1)y log ax( a0，且 a1)定义域( ，)(0 ，)值域(0 ，)( ，)单调性当 1 时为增函数，当 0 1 时：当 a1 时：若 x0，则 y1；若 x1，则 y0；若 x 0，则 y 1；若 x1，则 y0；函数值的变若 x0，则 0y1若 0x1，则 y0化情况当 0a1 时：当 0a0，则 0y1，则 y0；若 x 0，则 y 1；若 x1，则 y0；若 x1若 0x10a1 时，y0；当 0 1 时，y0；当 0x1 时，y0在 (0 ， ) 上是增函数在 (0 ， ) 上是减函数二、对数函数的反函数对数函数 log( 0，
9、且1) 的反函数是x(0，且 1) yaayaaa自主思考 1函数 ylog ax( a0，且 a1) 的图象与y log 1x( a0，且 a1) 的图象有a什么关系？提示：函数y log2x 与 y log 1 x 的图象，函数ylog 3x 与 y log 1 x 的图象如图所23示，结合图象可知函数ylog ax( a0，且 a1) 的图象与ylog1 x( a0，且 a1) 的图象a关于 x 轴对称log axlog ax其实 y log 1x1 1 log ax，因为 y log ax 与 y log a x 的图象关于 x 轴alogaa对称，所以函数ylog ax 与 ylog
10、1 x 的图象也关于 x 轴对称a自主思考2 底数对对数函数图象的影响？提示：在同一坐标系中画出以下各组函数的图象，观察并写出你的发现(1) ylog2x， ylog 3x， ylog 4x， ylgx，如图所示(2) ylog 1 x， y log1 x， y log1234x， y log 1 x，如图所示10观察结果：对于第一组：y log2 ， log 3， log 4 ， lgx，其图象的共同特征x yxyx y是上升的；对于第二组，其图象的共同特征是下降的结论：当 a1 时，图象上升，自变量x 越大， 函数值 y 就越大；当 x (0,1) 时， y0；自变量取同一值时，底数a越大，图象就越接近x轴，即当k1xy时，有 log 2klog 3klog 4klgk，当 0k1 时，有 log 2klog 3klog 4 klg k.当 0a0，当x (1 ， ) 时， y1 时，log 1 klog 1 klog1 klog1k，当 0klog 1 klog1 klog 1 k.2341023410