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1、辗转相除法与更相减损术教案教 材：人教版普通高中课程标准实验教科书必修3第一章第1.3.1节.一教学目标（1）知识目标： 理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析. 基本能根据程序框图与算法语句的知识设计完整的程序框图并写出算法程序.（2）能力目标：培养学生把具体问题抽象转化为算法语言的能力.培养学生自主探索和合作学习的能力.（3）情感目标： 通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献. 在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力.创设和谐融洽的教学氛
2、围，使学生在课堂活动中获得成功感，从而培养学生热爱数学、积极学习数学、应用数学的热情.二、教学重点、难点重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法.难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言.三、教学方法和手段教学方法：启发、引导、探究、讨论等.教学手段：多媒体辅助教学.四、教学用具:多媒体教学平台教具准备：多媒体课件（Powerpoint）、QB应用程序、课时讲义 五、授课类型：新授课六、教学程序教学环节 教学内容设计意图复习研究一个实际问题的算法，主要从算法步骤、程序框图和编写程序三方面展开.在程序框图中算法的基本逻辑结构有哪几种？在程序设计中基本的算法语句有哪几
3、种？ 温习旧知，为新知识的学习做好铺垫.引入课题问题1：求下面两个数的最大公约数：（1）34与17； （2）85与34； （3）204与85.问题2: 你会求两个比较大的正整数的最大公约数吗？比如求8251与6105的最大公约数.先求两个简单数的最大公约数，再变大这两个数（其实这个思路是辗转相除法的逆过程），慢慢让学生体会其中的最大公约数原理，由简单的例子让学生自己去探索规律，然后求两个较大数的最大公约数，通过问题的复杂化，引起学生的注意，进而产生学习新知解决疑问的欲望.辗转相除法例1 求两个正数8251和6105的最大公约数.（分析：8251与6105两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能
4、把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数.）解：8251610512146显然8251与6105的公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数.6105214621813214618131333181333351483331482371483740则37为8251与6105的最大公约数. 利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0；第二步：若r00，则n为m，n的最大公约数；若r00，则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一
5、个余数r1；第三步：若r10，则r0为m，n的最大公约数；若r10，则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2；依次计算直至rn0，此时所得到的rn-1即为所求的最大公约数.：利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数.通过一个具体的实例，引出了用辗转相除法求最大公约数的算法，揭示了其蕴含的“递归”的数学思想，同时，对问题进行一般化的延伸，得到相应的算法，又体现了数学中从特殊到一般的研究方法.设计的及时练习，让学生具体动手操作，既能使学生及时掌握知识点，也是让学生体会其中的递归数学思想.合作探究思考:用辗转相除法求两个正整数m，n（mn）的最大公约数，它的关键步骤是哪种逻辑
6、结构?你能用自然语言描述它的算法步骤吗?试设计程序框图并写出程序.多角度分析问题，加强综合运用知识能力.通过小组合作探索设计算法，激发学生兴趣,体现了新课程倡导的自主学习，小组合作的教学理念.渗透从具体到抽象的数学思想方法，体会递归的算法思想.更相减损术我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术.更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.例2. 用更相减损术求98与63的最大公约数.解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，即：9863356335283528728721217141477所
7、以，98与63的最大公约数是7.：用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数. 引用历史背景,激发学生的学习兴趣，培养爱国主义情操和民族自豪感.以例2为例具体介绍更相减损术算理,设计及时的练习,加深理解其算法特点. 让学生自主探索，巧妙引导，发现其中规律，使教与学做到有机结合.自主探究探究：把更相减损术与辗转相除法比较,你有什么发现?你能根据更相减损术设计程序,求两个正整数的最大公约数吗？试设计程序框图并转换成程序在BASIC中实现.这一环节主要是锻炼学生用辩证的眼光来审视学习的新知识，以便学生将所学的新知能有逻辑地纳入已有的知识结构，体现了建构主义的教学观.让学生讨论、交流,自主探索,对设
8、计的程序进行上机验证，也体现了数学理论要与实践相结合的思想.巩固练习用辗转相除法求下列各组数的最大公约数，并用更相减损术进行验证. (1) 93;168 (2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9) (2)225;135(3)72；168 (4)153；119巩固对辗转相除法与更相减损术算法的理解.课堂小结辗转相除法与更相减损术的比较:尽管两种算法分别来源于东、西方古代数学名著,但是两者的算理却是相似的,有异曲同工之妙.主要区别在于辗转相除法进行的是除法运算,即辗转相除;而更相减损术进行的是减法运算,即辗转相减,但是实质都是一个不断的递归过程.使学生对本节课所学知识的结构有一个清晰的认识，
9、对本节课所用的递归思想有一个明确的了解.养成归纳总结的好习惯.评价设计作业：分别用辗转相除法与更相减损术求261,319的最大公约数.探究:1.求325，130，270三个数的最大公约数.2.2.设计计算两个正整数的最小公倍数的算法. 巩固深化所学知识 弥补教学教学中的不足. 因材施教,让学有余力的学生课后继续钻研,培养独立探究精神.辗转相除法与更相减损术教案说明 这堂课设计上先求两个简单数的最大公约数，再变大这两个数（其实这个思路是辗转相除法的逆过程），慢慢让学生体会其中的最大公约数原理，由简单的例子让学生自己去探索规律，然后求两个较大数的最大公约数，从而引出用欧几里德辗转相除法求两个数的最
10、大公约数的思想方法,组织学生讨论如何把它转换成程序框图和程序并上机验证;接着介绍更相减损术,以例2为例介绍其算理,引导学生发现其算法特点,思考如何设计程序框图并转化为程序上机验证.这部分内容是新课程新增进的内容，对案例的分析让学生对算法有了进一步的认识,并从程序的学习中体会数学的严谨性，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤.本节课的重点是学会用辗转相除法与更相减损术求两个正整数的最大公约数，难点是把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言.教学过程中，从实例出发，引用历史背景，借助多媒体手段教学，提高教学效率，激发学生的学习兴趣，由简单慢慢加深让学生自主探索，巧妙引导，发现规律，使教与学做到有机结合，使课堂教学达到最佳状态.