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1、数学思维的魅力,九江学院 谭毓澄 tt_,目录 前言 乒乓球称重问题 问题1 问题2 问题3 分蛋糕问题 问题1 问题2 问题3 问题4 结束语,电影美丽心灵开头有一段台词：“是数学家赢得了世界大战,是数学家破解了日本密码，也是数学家发明了原子弹”。的确，数学给予人类巨大精神财富，数学也影响历史进程。2千多年来，欧几里德的几何原本一直是人类理性精神的典范。,笛卡尔、费马、牛顿、莱布尼茨创立的微积分，宣告了西方科学黄金时代的到来。冯诺依曼的计算机，维纳的控制论、仙农的信息论，将人类带入了航天飞行和手机普及的时代。,就社会的个体而言，数学也同等重要。有人说哲学是使人聪明的学问，我们可以说数学是使人
2、智慧的学问，其实数学与哲学的关系非常密切。数学家B.Demollins 说：没有数学，我们无法看透哲学的深度；没有哲学，人,们也无法看透数学的深度；而若没有两者，人们就什么也看不透。数学是关于思维的科学，有了数学我们的思维会变得高效、变得美妙。今晚我们将通过一些趣味问题的解决一起感受数学思维的魅力。,一、 乒乓球称重问题 问题1 现有10篓苹果，其中9篓大苹果，每个3 两，1篓小苹果，每个2两， 请用台秤称重1次找出这篓小苹果。,方法：将10篓苹果依次编号为1，2，3，10，于是从1号篓中取出1个 苹 果，2号篓中取2个苹，10号篓中取出10个苹果，一起共55个苹果称重。,若全为大苹果，则重量
3、应为553=165两，实际称重数字肯定比165小，设实际称重数字比165小k两,则第k篓苹果即为小苹果。 问题2 有5袋乒乓球，每袋单个球重分别为24，25，26，27，28（克/10)，,若只能称重1次，而要分别出各袋球的单个重量，请给出一种称重方案。 方法：将5个袋分别编号为1，2，3，4，5。现从1号袋中取出1个球，2号袋中取出5个球，3号袋中取出25个球，4号袋中取125个球，5号袋中取625个球，共取781个球。,根据781个球称重的结果就可以分析出各袋中单个球的重量。如各袋中单个小球重为,编号为 5 4 3 2 1,取球数,625 125 25 5 1,再比如 ,5 4 3 2 1
4、,已知781个球共重19166，问各袋中单个球重？ 19166-18744=422，,422=,=,于是可以断言1，2，3，4，5各袋中单个球重分别为24，27，25，28，26.上面做法用到了5进制，其实也可以用6进制，7进制，10进制等。问题2最容易理解的做法是采用100进制。,按100进制称法，总重恰好是 2427252826 。,问题3 现有12个乒乓球，其中一个乒乓球质量不合格（比标准球轻或重），请用天平称三次，找出这个质量不好的球。,分析：称量一次最多能从几个球中找出不合格的球？结论：若知道偏重或偏轻，则可从3个球中找出不合格的球；若不知道是偏重还是偏轻，则只能从2个球中找出不合格
5、的球，但需一个标准球。,依据上面的分析，我们有下面的称法.,下面再从映射、信息角度来看待上述问题。 天平称三次，每一次都有左重、左轻、平衡三种 可能，称重3次可以反映27种信息。12个球中有 一个不合格球，考虑偏重偏轻情况共有24种可 能，提供的27种信息并未充分用上。前面已分析 此问题中球的个数可增加至13个 （26 种可能）。,若用排除法确定不合格球，则14个球中含 不合格球恰好对应27种情形， 这是理论上的 分析，实际要做到这点需借助另外的标准球。 利用映射方法也可以帮助找到问题解决 方案。记0表示平衡；-1表示左轻；1表示左 重。将各种情形列出如下：,1,2,3,4,5,6,7,8,9
6、,10,11,12,13,14 0 0 0,依据上面排列可得12个球的称重方案：,第1次,第2次,第3次,此方案也可作为13个球的方案，三次均平 衡时，13号球为不合格球。要得到14个球方案需增加1个标准球，记为 ，于是有,第1次,第2次,第3次,二、分蛋糕问题 问题1 一块蛋糕切4刀最多能切多少块（薄蛋糕）？切n刀呢？,+_,所以,问题2 一块蛋糕切3、4刀，最多能切多少块(厚蛋糕）？n刀呢？,切1、2、3刀结果是明显的，现在来看切4刀情形。每一刀是一个平面，要想切出最多块，当然第4个平面须与前面3个平面相交，相交部分为直线。如图,每块彩色部分对应切3刀后的1小块，切第4刀后，每小块一分为2
7、，故共有15块,一般地，要想切出最多块，第n刀需 与前面n-1刀相交，并经过前n-1刀切出 的 块，并将它们一分为二。记 切n刀后所得最多块数为 ，则,+,_,于是,规定:,问题3 现有2块薄蛋糕，能否一刀将2个 蛋糕平分？,追问：一刀能将3块厚蛋糕平分吗？,这个结果的严格证明要用到拓扑学中波苏克（Borsuk)-乌拉姆（Ulam)定理,问题4 如何公平地将一块蛋糕分配给2、 3、n个人？ 两个人分蛋糕时，采用“我分你选”的算法，可以实现公平分配。（权力平衡亦或权力制约） 60年代初，John Sclfridgc 和 John H.Conway首先发现了三个人分蛋糕时的一种无妒忌算法：,第一步
8、，甲把蛋糕分成他认为具有等值的3块。 第二步，乙可以采取下列两个行动之一： (a)若有两块蛋糕份量同为最大，他可以什么也不做； (b) 若有一块蛋糕最大，他可以对其修整，使之达到(a)所说的情况。修整下来的剩余蛋糕放到一边。,第三步，丙，乙和甲依次选一块蛋糕，选他们认为最大的一块。若乙在上面第二步中修整了一块蛋糕，那么他必须选修理过的蛋糕，除非丙已经先选这一块蛋糕。至此，蛋糕的一部分已无妒忌方式分完了。,第四步，如果乙在第二步什么也没有做，那么不再存在剩余蛋糕，因此蛋糕已被分完。否则，被修理过的那块蛋糕将由乙或丙选去。由乙或丙将剩余蛋糕分为相等的三份。 剩下的事情就是让丙，甲和乙或乙，甲和丙从
9、剩余蛋糕中各取一份。,按以上分法，由于丙是第一个选，因此他没有理由眼红。无论剩余蛋糕怎么分，甲都不会妒忌丙,因为丙充其量也只能选到一份甲认为是1/3块的蛋糕。甲也不会对乙眼红，因为他比乙先选。乙也没有理由抱怨，因为剩余蛋糕本来就是他自己分的。,n个人分蛋糕情形，是否有无妒忌的分法呢？此问题让人困惑了30年。1995年，纽约大学的steven J.Brains以及联盟学院的Alan D.Taylor发现了适于任意多个人的无妒忌分法。这一方法很复杂。从分蛋糕问题可看出数学技术也能解决社会科学中的公平、合理等难题。,原本普通的问题，一经数学的分析，就变得如此美妙、迷人。数学是思维的助推器，数学是思维的点金石。X射线的发现者伦琴在被问到科学工作者必须具备什么素养时，他回答说：“第一是数学，第二是数学，第三还是数学”。希望在座的朋友学好数学、用好数学，让数学成为永远的朋友。,谢谢大家！ Thank you!,