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1、初中数学（实数）竞赛专项训练一、选择题1、如果自然数a 是一个完全平方数，那么与 a 之差最小且比 a大的一个完全平方数是（）（） A. a1B. a2+1C. a2+2a+1D. a+2a +12、在全体实数中引进一种新运算 *，其规定如下：对任意实数 a、b 有 a* b=（ab）(b 1) 对任意实数 a 有 a*2a* a。当 x2 时，3* （x*2 ）2* x1 的值为 （）A. 34B. 16C. 12D. 63、已知 n 是奇数， m是偶数，方程2004yn有整数解 x0、y0。则（）11x28 ymA. x 0、y0 均为偶数B. x 0、 y0 均为奇数C. x 0 是偶数
2、 y0 是奇数D. x 0 是奇数 y0 是偶数4、设 a、b、c、d 都是非零实数，则四个数 -ab 、ac、bd、cd（）A. 都是正数B. 都是负数C. 两正两负D. 一正三负或一负三正5、满足等式 x yy x 2003y2003x2003xy2003的正整数对的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 46、已知 p、q 均为质数，且满足5p2+3q=59，由以 p3、1 p q、2pq4 为边长的三角形是（）A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形7、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（）整除。（） A. 1
3、11B. 1000C. 1001D. 11118、在 1、2、3100 个自然数中，能被2、 3、4 整除的数的个数共（）个（）A. 4B. 6C. 8D. 16二、填空题1、若 S1，则 S 的整数部分是 _1111980198120012、 M是个位数字不为零的两位数，将M的个位数字与十位数字互换后，得另一个两位数N，若 M N恰是某正整数的立方，则这样的数共个。3、已知正整数a、 b 之差为 120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105 倍，那么， a、 b中较大的数是。4、设 m是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数，则m22225、满足 1998 m1997 n （ 0 m
4、n 1998）的整数对（ m、n）共有个6、已知 x 为正整数， y 和 z 均为素数，且满足 x yz111 ，则 x 的值是xyz三、解答题1、试求出这样四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数。2、从 1、2、3、4205 共 205 个正整数中，最多能取出多少个数使得对于取出来的数中的任意三个数 a、 b、 c（ a b c），都有 abc。3、已知方程 x 26x4n 232n0 的根都是整数。求整数n 的值。4、设有编号为 1、 2、 3 100 的 100 盏电灯，各有接线开关控制着，开始时，它们都是关闭状态，现有 100 个学生，第 1
5、个学生进来时，凡号码是 1 的倍数的开关拉了一下，接着第二个学生进来，由号码是 2 的倍数的开关拉一下，第 n 个（ n100）学生进来，凡号码是 n 的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来，把编号能被 100 整除的电灯上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着。5、若勾股数组中，弦与股的差为1。证明这样的勾股数组可表示为如下形式：2a1， 2a 22a， 2a 22a1，其中 a 为正整数。参考答案一、选择题1 、 解 ：设 与 a 之 差最小且 比 a 大 的一个完 全平方数 是 x ， 则xa 1 ，所 以x ( a1)2a2a1（）应选 D、解：原式3* (2* 2)2
6、 * 2123* (2 * 2)2 * 213* 331（）（ ）（）（）（ ）（ ）（）应选 D(31)(31)3183163、2004n y0 ，n 是奇数， y0 必是奇数，又 11 x0 =m 28 y0 ，m和 28 y0 均为偶数，所以 11 x0是偶数， x0 应为偶数。故选C4、解： abac bdcd a2b2c2d2 0，所以这四个数中应一正三负或一负三正。应选D5、解：由 xyyx2003x2003y2003xy20030 可得（）（）（）（） (xy2003)(xy2003) 0而 xy2003 0（）（）（）（）所以 xy20030故 xy2003又因为 2003是质
7、数，因此必有x1x2003 （）（）应选 By2003y16、解：因5p 23q为奇数，故 p、q必一奇一偶，而p、q均为质数，故、中有一个为2，p q若 q2p 253 不合题意舍去。 若 p2，则 q3，此时 p35，1-p+q=12，2p+q-4=13，5因为 52+122 =132，所以 5、12、13 为边长的三角形为直角三角形。故选B7、解：依题意设六位数为abcabc ，则 abcabc a105b104c103 a102b10ca102（ 103 1） b10（ 1031） c（ 103 1）（ a103b 10 c）（1031）1001（ a103b10c），而 a103b1
8、0 c 是整数，所以能被 1001 整除。故选 C8、解：能被2、3、4 整除即能被 2，3，4 12 整除，共有 12、24、36、4896 共 8个。应选 C二、填空题119801、解：因 1981、19822001 均大于 1980，所以 S90 ，又 1980、19811222219802000 均小于 2001，所以 S120019021 ，从而知 S 的整数部分为 90。122222220012 、 解 ：设 两位数 M 10a+b，则 N 10b+a， 由 a 、 b 正整数， 且 1 a ， b 9 ，M N (10a b) (10b a)9(a b)c3 ，又 c 是某正整数
9、，显然 c3100， c 4，而且c3 是 9 的倍数，所以c3，即 a b 3，满足条件的两位数有41、 52、63、 74、85、96共 6 个3、解设（ a，b） d，且 amd，bnd，其中 mn，且 m与 n 互质，于是 a、 b 的最小公倍mdnd 120(mn) d233 5 ，则 mn 据可得数为 mnd，依题题有mnd105即dmn3 57m105或 m135 或 m21或 m15n1n3n5n7（）（）根据只取m15 可求得 d15，故两个数中较大的数是 md225。n74、解：最小三个合数是4， 6， 8， 4+6+818，故 17 是不能表示为三个互不相等的合数之和的整
10、数，当 m18 时，若 m2k 18，则 m 4+6+2（k5），若 m2k 118，则 m4+9+2（k7）即任意大于18 的整数均可表示为三个互不相等的合数之和，故m17225、解： nm 3995 5 1747，（n-m）（n+m） 5 1747，显然对 3995 的任意整数分拆均可得到（ m，n），由题设（ 0mn1998），故满足条件的整数对（ m， n）共 3 个。6、解：由 111yz 及 xyz 得 yz=1，即 y 与 z 是两个相邻的自然数，又 y 与 z 均xzyyz为素数，只有 y 3， z 2，故 x=yz=6。三、解答题1、解：设前后两个二位数分别为x、y，10 x
11、，y99。（）（）（）（）根据题意有 ( x y) 2100xy（）（）（）（）即 x 22( y50)x( y 2y)0（）（）（）（）当4( y50) 24( y 2y)4(250099 y)0（）（）（）（）即250099 y 0y25时方程有实数解x50y250099 y（）（）（）（）由于 2500-99y 必为完全平方数，而完全平方数的末位数仅可能为0、1、 4、 5、6、9，故 y 仅可取 25，此时， x=30 或 20，故所求四位数为 2025 或 3025。2、解：首先1、14、15、16205 这 193 个数满足题设条件，事实上，设a、 b、 c（ a b c）这 3
12、个数取自 1、14、 15、16205，（ ）（ ）若 a1，则 ab a c；（ ）（ ）若 a1，则 ab 1415210c（）（）另一方面考虑如下12 个数组（）（ ）（2，25，225）（3，24，324） （ 13，14， 1314）上述这 36 个数互不相等，且其中最小的数为 2，最大的数为 13 14182205，所以每一个数组中的 3 个数不能全部都取出来，于是，如果取出来的数满足题设条件，那么，取出来的数的个数不超过 205-12 193（个）（）（）综上所述，从1、14、 15、16205 中最多能取出 193 个数，满足题设条件。3、解：原方程解得：6364(4n 232
13、n)644n 2432n49x22（）（）4n26232n934n 232n92因为方程的根是整数，所以4n2 32n9 是完全平方数。（22）（m0）设 4n32n9m（）（22）（2n8） 55m（）（）（2n8m）（ 2n8m） 55（）（）因 55155（ 1）（ 55）（ 5）（ 11） 5 11（）（）2n8m552n8m112n8m12n8m5 解得：2n8m12n8m52n8m552n8m11n 10、0、-8 、 -184、解：首先，电灯编号有几个正约数，它的开关就会被拉几次，由于一开始电灯是关的，所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的，因为只有平方数才有奇数个约数，所以那些编号为 1、22、32、 42、52、62、 72、82、92、 102 共 10 盏灯是亮的。5、证明：设勾长为 x ，弦长为 z ，则股长为 z 1 ( z， z1)1 x，z 1， z 是一个基本勾股数组。由 z 为奇数知： z 1 为 偶数， 从而x 为奇数 ，设x2a1 （ a为正整数），则有(2a1) 2( z1) 2z2 ，解得z 2a 2 2a 1 ，故勾股数组具有形式2a12a 22a2a 22a1