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1、完全平方数和完全平方式一、内容提要1.如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数.425在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.2.如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式.如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的.例如：在有理数范围 m2 ,(a+b 2) 2, 4x212x+9,144 都是完全平方式 .在实数范围（a+3 ）2, x2+22 x+2, 3也都是完全平方式 .二 . 整数集合里，完全平方数的性质和判定1. 整数的平方的末位数字只能是 0，1，4，5，6，9. 所以凡是末位数字为 2，3，7，8 的整数必不是平方数 .2. 若 n
2、是完全平方数，且能被质数 p 整除 , 则它也能被 p2 整除 . 若整数 m能被 q 整除，但不能被 q2 整除 , 则 m不是完全平方数 .例如： 3402 能被 2 整除，但不能被 4 整除，所以 3402 不是完全平方数 .又如： 444 能被 3 整除，但不能被 9 整除，所以 444 不是完全平方数 .三 . 完全平方式的性质和判定在实数范围内如果 ax 2+bx+c (a 0) 是完全平方式，则22如果 b4ac=0 且 a0；则 ax +bx+c (ab2 4ac=0 且 a0； 0) 是完全平方式 .在有理数范围内当 b24ac=0 且 a 是有理数的平方时， ax2+bx+
3、c 是完全平方式 .四 . 完全平方式和完全平方数的关系1. 完全平方式（ ax+b） 2 中当 a, b 都是有理数时 , x 取任何有理数，其值都是完全平方数；当 a, b 中有一个无理数时，则 x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数 .2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数 .例如： n 2+9, 当 n=4 时，其值是完全平方数 .所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.五 . 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系1. 在整系数方程 ax2+bx+c=0(a0) 中 若 b2 4ac 是完全平方数，则方程有有理数根； 若方程有有理数根，则
4、 b24ac 是完全平方数 .2. 在整系数方程 x2+px+q=0 中 若 p2 4q 是整数的平方，则方程有两个整数根； 若方程有两个整数根，则 p2 4q 是整数的平方 .二、例题例 1.求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.证明：设五个连续整数为m 2, m 1, m, m+1, m+2.其平方和为 S.22222那么 S（ m 2） （ m 1） m（ m+1） （ m+2）2 5（ m+2）.2 m 的个位数只能是0，1，4，5，6，92 m+2 的个位数只能是2，3，6，7，8， 12 m+2 不能被 5 整除 .2而 5（m+2）能被 5 整除，即 S 能被 5 整除，但不
5、能被 25 整除 . 五个连续整数的平方和不是完全平方数 .例 2 m 取什么实数时，（m1）x2+2mx+3m2 是完全平方式？解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得当且仅当0时，（ m 1） x2 +2mx+3m 2是完全平方式m 1 0=0，即（ 2m）2 4(m1)(3m 2)=0.解这个方程， 得 m 1=0.5,m 2=2.解不等式 m10 ，得 m1.m 0.5或 m 2即m 1它们的公共解是 m=2.答：当 m=2时，（m1）x2+2mx+3m2是完全平方式 .例 3.已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式 .求证： a=b=c.
6、证明：把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得2原式 3x +2(a+b+c)x+ab+ac+bc 0.即 4(a+b+c) 212(ab+ac+bc)=0. 2a 2+2b2+2c2 2ab2bc 2ca=0, (a b) 2+(b c) 2+(c a) 2=0.要使等式成立，必须且只需：ab0bc0ca0解这个方程组，得a=b=c.例 4. 已知方程 x2 5x+k=0 有两个整数解，求 k 的非负整数解 .解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，是完全平方数.可设 = m2(m为整数)，22即（ 5） 4k=m (m 为整数 ) ，解得， k= 25m2.4 k 是非负整数，2
7、5m2025m2 是 4的倍数由25 ， 即 5m5；25m0， 得 m由2是 4 的倍数，得 m= 1, 3, 5.25m以 m 的公共解 1,3, 5，分别代入 k= 25 m 2.4求得 k= 6, 4, 0.时，方程 x2 5x+k=0 有两个整数解答：当 k=6, 4, 0例 5. 求证：当 k 为整数时，方程 4x2+8kx+(k 2 +1)=0 没有有理数根 . 证明： （用反证法）设方程有有理数根，那么是整数的平方 .（ 8k） 216(k 2+1) 16（3k21）.设 3k221m (m 是整数 ).由 3k22和 m是一奇一偶，m 1，可知 k22下面按奇偶性讨论 3k
8、m1 能否成立 .当 k 为偶数， m为奇数时，左边 k2 是 4 的倍数， 3k2 也是 4 的倍数；22除以 4余2.右边 m 除以 4 余 1，m1等式不能成立 . ；当 k 为奇数， m为偶数时，左边 k2 除以 4 余 1，3k2 除以 4 余 322右边 m 是 4 的倍数， m 1 除以 4 余 1等式也不能成立 .22综上所述，不论都不能成立 .k, m 取何整数， 3k m1 3k2 1 不是整数的平方， 16 （3k21）也不是整数的平方 . 当 k 为整数时，方程 4x2+8kx+(k 2 +1)=0 没有有理数根三、练习21.如果 m是整数，那么 m+1 的个位数只能是
9、.分析 :m2 的个位数是 0,1,4,5,6,92m+1 的个位数是 1,2,5,7,02. 如果 n 是奇数，那么 n2 1 除以 4 余数是， n2+2 除以 8 余数是，3n2 除以 4 的余数是 .分析：（1） n 21=（ n+1）(n-1) 且 n 为奇数n21 除以 4 余数是 0n+1 与 n-1 同为偶数，故被4 整除，（2）设 n=2k+1(k 为正整数 ) ，n 2+2=（2k+1）2+2=4k(k+1)+3,而 k(k+1) 是偶数， 4k(k+1) 是 8 的倍数，n 2 +2 除以 8 余数是 3，（3）设 n=2k+1(k 为正整数 ) ，223n =3（2k+
10、1）=34k(k+1)+1=12 k(k+1)+3而 k(k+1) 是偶数， 12k(k+1)是 4 的倍数，3n2 除以 4 的余数是 33. 如果 k 不是 3 的倍数，那么 k2 1 除以 3 余数是 .分析 :k 不是 3 的倍数 ,k 被 3 除的余数是 1 或 2，不妨设 k=3m+1或 k=3m+2，当 k=3m+1时， k2 1=（ k+1）(k-1)=3m(3m+2) 是 3 的倍数，那么 k2 1 除以 3 余数是 0；当 k=3m+2时， k2 1=（ k+1）(k-1)=(3m+3)(3m+1) 是 3 的倍数，那么 k2 1 除以 3 余数也是 0；综上所述， k21
11、 除以 3 余数是 0。4. 一个整数其中三个数字是 1，其余的都是 0，问这个数是平方数吗？为什么？分析：不是平方数，原因是能被 3 整除，却不能被 9 整除。5. 一串连续正整数的平方 12，22 ，32 ， ，1234567892 的和的个位数是 . 分析 : 因为平方数的个位数是（14 9 6 5 6 9 4+1+0）12345678（14965694+1）即个位数为 5856. m取什么值时，代数式 x2 2m(x 4) 15 是完全平方式？分析：7. m取什么正整数时，方程 x2 7x+m=0的两个根都是整数？8. a, b, c 满足什么条件时 , 代数式 (c b)x 2+2(b a)x+a b 是一个完全平方式？9. 判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数： 四个连续整数的积；两个奇数的平方和 .10. 一个四位数加上 38 或减去 138 都是平方数，试求这个四位数 .11. 已知四位数 aabb 是平方数，试求a, b.12. 已知： n 是自然数且 n1. 求证： 2n 1 不是完全平方数 .13. 已知：整系数的多项式 4x4 +ax3+13x2+bx+1 是完全平方数，求整数 a 和 b 的值 .14. 已知： a, b是自然数且互质，试求方程x2abx+ 1 (a+b)=0的自然数解.2