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1、专题 01：初识极值点偏移一、极值点偏移的含义众所周知，函数f ( x) 满足定义域内任意自变量 x 都有 f ( x) f (2m x) ，则函数 f ( x) 关于直线 xm 对称；可以理解为函数 f ( x) 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若 f ( x) 为单峰函数，则 x m 必为 f ( x)的极值点 . 如二次函数 f (x)的顶点就是极值点 x0 ，若 f (x) c 的两根的中点为 x1x2 ，则刚好有 x1x2x0 ，22即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.若相等变为不 等，则为极值点偏移：若单峰函数f (x) 的极值点为 m ，且函数 f (x) 满足定义
2、域内 xm 左侧的任意自变量 x 都有 f ( x) f (2m x) 或f ( x) f ( 2mx) ，则函数 f ( x) 极值点 m 左右侧变化快慢不同 . 故单峰函数 f (x)定义域内任意不同的实数x1 , x2 满足 f (x1 ) f (x2 ) ，则 x1 x2 与极值点 m 必有确2定的大小关系：若 mx1x2 ，则称为极值点 左偏；若 mx1x2，则称为 极值点右偏 .来源 学 科 网 Z.X.X.K22如函数 g ( x)xx 的极值点 x0 1 刚好在方程 g( x)c 的两根 中点 x1 x2 的左 边，e2我们称之为极值点左偏 .- 1 -二、极值点偏移问题 的一
3、般题设形式：1.若函数 f ( x) 存在两个零点 x1 , x2 且 x1x2 ，求证：x1x22x0（ x0为函数 f (x)的极值点）；2.若函数 f ( x) 中存在 x1 , x2 且 x1x2 满足 f ( x1) f ( x2 ) ，求证：x1x22x0（ x0为函数 f ( x) 的极值点）；3.若函数 f ( x) 存在两个零点 x1 , x2且 x1x2 ，令 x0x1 x2，求证： f ( x0 ) 0 ；24.若函数 f ( x) 中存在 x1, x2 且 x1x2 满足 f ( x1 ) f ( x2 ) ，令 x0x1x2，求证：2f (x0 )0 .三、问题初现，
4、形神合聚函数 f ( x)x 22x 1 aex 有两极值点 x1 , x2 ，且 x1x2 .来源来源 :Z xx k.Com证明： x1 x24.来源:Z xxk.Com- 2 -已知函数 f (x) ln x 的图象 C1 与函数 g( x)1 ax 2bx(a0) 的图象 C2 交于2P, Q，过PQ的中点 R作x轴的垂线分别交C1，于点M , N，问是否存在点 R ，C2使 C1 在 M 处的切线与 C2 在 N 处的切线平行？若存在， 求出 R 的横坐标；若不存在，请说明理由 .四、招式演练来源 :学 科 网 过点作曲线的切线 （ 1）求切线的方程；（ 2）若直线与曲线交于不同的两点，求证：极值点偏移问题在近几年高考及各种模考， 作为热点以压轴题的形式给出， 很多学生对待此类问题经常是束手无策， 而且此类问题变化多样， 有些题型是不含参- 3 -数的，而更多的题型又是含有参数的 . 其实，此类问题处理的手段有很多，方法也就有很多，下面我们来逐一探索！- 4 -