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1、面积法一、内容提要1. 因为面积公式是用线段的代数式表示的，所以面积与线段可以互相转换。运用面积公式及有关面积性质定理解答几何题是常用的方法，简称面积法。2. 面积公式（略）3. 两个三角形的面积比定理 等高（底）的两个三角形的面积比， 等于它们对应的底（高）的比 有一个角相等或互补的两个三角形面积的比等于夹这个角两边的乘积的比 相似三角形面积的比等于它们的相似比的平方有公共边的两个三角形面积的比等于它们的第三顶点连线被公共边分成的两条线段的比（内分比或外分比） 。A如图 ABC和 ADC有公共边 AC，M内A分 BD第三顶点连线 BD被公共边内分或外分于点 M，则 SABC BM S ADC
2、 MDM外分 BDMDABACCDBMDBMCAMDCBC定理是以公共边为底，面积的比等于它们的对应高的比换成对应线段的比二、例题例 1.求证有一个 30 度角的菱形，边长是两条对角线的比例中项已知：菱形 ABCD中，DAC 30D2AC求证： ABAC BDEB证明：作高 DE， DAE 30DE1112ADABS菱形 ABCDABDE2ABS222AC BD， AB ACBD菱形 ABCD例 2.求证：等边三角形内任一点到各边的距离的和是一个定值已知： ABC中，AB BCAC，D 是形内任一点， DE BC，DF AC，ADGAB，E， F，G是垂足求证： DE DFDG是一个定值证明：
3、连结GFDA， DB，DC，设边长为 a,S ABCSDBCS DCASDABD11BECah a（DE DFDG）2a2DEDF DGha等边三角形的高 ha 是一个定值， DEDF DG是一个定值本题可推广到任意正 n 边形 , 其定值是边心距的 n 倍例 3.已知： ABC中， ADBECF1ABBCCA3求： S DEF 的值S ABCA解： ADF和 ABC有公共角 AD1 AB2 ACF SADF ADAF33S ABCABACAB ACBEC 2，9同理S BED2，S CFE2，SDEF1S ABCS ABC99S ABC3（本题可推广到：当 AD1，BE1，CF1 时，ABm
4、BCnCApSDEF mnpm np mn mp np ）S ABCmnp例 4. 如图 Rt ABC 被斜边上的高 CD 和直角平分线 CE分成 3 个三角形，已知其中两个面积的值标在图中，求第三个三角形的面积 x。C解： CE平分 ACB，6x30AEDBS CAE30CACECAS CEB6 xCBCECBCD是 Rt ABC的高 CAD BCD， 306( CA)230630xCB)2解得 x = 4,x=9 ( 两解都适合 )(21x 6 x例 5. 设一直线截 ABC三边 AB，BC， CA或延长线于 D，E，F 那么ADBECF1（梅涅劳斯 Menelaus 定理）DBECFA证
5、明：连结AAE，根据三角形面积比定理得S AEFADS BEFBES CEFCFSBEFDDB S CEFCE S AEFFACBBEESAEF SBEF SCEF 1 ADCFDBECFASBEFFSCEFSAEF例 6. 已知 MN 是 ABC的中位线， P 在 MN上， BP，CP交对边于 D，E求证AEAD1BEDC证明：连结并延长AP交 BC于 F，则 APPFA S CPAS CPF， S BPAS BPFEAEADDS BPASCPFS BPFS CPA1BEMNS BPCSBPCDCPS BPCB例 7. 如图已知： ABC中，ABCRt，AC2AB， ACM和 BCNCF都是
6、等边三角形求证： MN被 AC平分证明：连结 AN， ABC中 ABC Rt， AC2ABMbC ACB=30 CAN=90 BCM90603060a S 1=1Sb Kba, Sab Sa ACM2CAN ACM CAN，N2AB ACM， CAN有公共边 AC， MKKNAEBDC三、练习1. 如图 ABC面积是 96，D 分 BC为 21， E 分 AB为 31 则 ADE面积是2.几条直线都平行于三角形的同一边，并分其它两边为10 个相等的线段，同时把三角形分成10 个不同的部分，已知这些部分中最大的面积是38，那么原三角形的面积是3. ABC三边 a,b,c 上的高分别是 ha=6,
7、 hb=4, hc =3, 那么 a b c=4. S 正方形 ABCDk,M，N 分别是边 AB，BC的中点 AN，CM相交于 O，那么 S 四边形 AOCD5. 平行四边形 ABCD中， E 分 AB为 1 2， F 分 BC为 2 1， DE和AF 交于 G，那么 SAEG S AGD6. 如图平行四边形 ABCD中 P， Q 分别是 BC， CD的中点，写出和 ABP等积的三角形D4（5）（6）CAADDENGQOAMBFCBPCB7. 已知： ABC中 AB10， D， E 分别在边 AB，AC上，且在 DE BC，SADE SBDC2，求 S ADES ABC8. 如图经过 ABC
8、内一点 O，与各顶点 A，B，C 的直线，把三角形分成 6 个小三角形，其中的 4 个面积已标在图中，求 ABC 的面积9. 如图已知：平行四边形求证： AGB BGCA84xABCD中， AECF， AE，CF交于 GEDGCFEODy354030ABBFC10. 已知： ABC中， O 是形内任一点， AO，BO，CO延长线交对边于 D，E，F求证： ODOEOF1 AEAFAOADBECFECFBOD211. 如图已知： AC平分 BAD， AC ABAD求证： BC 2BECD 2EDDACEFOEBDCAB12. 如图已知： ABC中， P，Q在 BC上，且 BAP CAQ 求证： ABAC13. ABC内一点 P，过 P 作三边的平行线，所得的小三角形面积分别为 4， 9， 49 那么 ABC面积是多少？14. ABC中，点 D，E，F 分别分 BC，CA，AB为 12，AD，BE，CF相交于 P，Q，R 求 PQR与 ABC的面积比C13A14IMF49ERDPE49PQAJNBBDC