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1、第三讲求代数式的值用具体的数代替代数式里的字母进行计算， 求出代数式的值， 是一个由一般到特殊的过程具体求解代数式值的问题时， 对于较简单的问题， 代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧例 1 求下列代数式的值：分析 上面两题均可直接代入求值，但会很麻烦，容易出错我们可以利用已经学过的有关概念、法则，如合并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，然后再求值，这样会大大提高运算的速度和结果的准确性=0-4a 3b2-a 2b-5322=-41(-2) -1(-2)-5=-16+2-5=-19 (2) 原式 =3x2y-xyz+
2、(2xyz-x2z)+4x 2?3x 2 y-(xyz-5x2z)=3x 2y-xyz+2xyz-x 2z+4x2z-3x 2y+(xyz-5x 2z)=(3x 2y-3x 2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2 z-5x 2z)=2xyz-2x 2z=2 (-1) 2 (-3)-2 (-1)2 (-3)=12+6=18说明 本例中 (1) 的化简是添括号，将同类项合并后，再代入求值；(2) 是先去括号，然后再添括号，合并化简后，再代入求值去、添括号时，一定要注意各项符号的变化例 2 已知 a-b=-1 ，求 a3+3ab-b3 的值分析 由已知条件 a-b=-1 ，我们无
3、法求出 a，b 的确定值，因此本题不能像例 1 那样，代入 a，b 的值求代数式的值下面给出本题的五种解法解法 1 由 a-b=-1 得 a=b-1，代入所求代数式化简a3+3ab-b3 =(b-1) 3+3(b-1)b-b 3=b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3=-1 说明 这是用代入消元法消去a 化简求值的解法 2 因为 a-b=-1 ，所以原式 =(a 3-b 3 )+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab=-1 (a 2+ab+b2 )+3ab=-a 2-ab-b 2+3ab=-(a 2-2ab+b2 )=-(a-b)2=-(-1) 2=-1 说明 这种解法是利用了乘法
4、公式， 将原式化简求值的 解法 3 因为 a-b=-1 ，所以原式 =a3-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3=a 3-3a 2b+3ab2-b 3=(a-b) 3=(-1)3=-1 说明 这种解法巧妙地利用了 -1=a-b ，并将 3ab 化为 -3ab(-1)=-3ab(a-b)，从而凑成了 (a-b)3 解法 4 因为 a-b=-1 ，所以(a-b) 3 =(-1) 3=1，即 a 3+3ab2-3a 2b-b 3 =-1 ，a3-b 3 -3ab(a-b)=-1，所以 a 3-b 3-3ab(-1)=-1，即 a 3-b 3+3ab=-1说明 这种解法是由 a-b=-1
5、 ，演绎推理出所求代数式的值解法 5a3+3ab-b3 =a3+3ab2-3a 2b-b 3 -3ab 2+3a2b+3ab=(a-b) 3+3ab(a-b)+3ab=(-1) 3+3ab(-1)+3ab=-1 说明 这种解法是添项，凑出 (a-b) 3，然后化简求值通过这个例题可以看出，求代数式的值的方法是很灵活的，需要认真思考， 才能找到简便的算法 在本例的各种解法中，用到了几个常用的乘法公式，现总结如下：(a+b) 2=a2 +2ab+b2；(a-b) 2=a2 -2ab+b2；(a+b) 3 =a3+3a2b+3ab2+b3 ；(a-b) 3=a3 -3a 2b+3ab2 -b 3 ；
6、a3+b3=(a+b)(a 2-ab+b 2) ；a3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b2) 解 由已知， xy=2(x+y) ，代入所求代数式中，消去xy ，然后化简所以解 因为 a=3b，所以c=5a=5(3b)=15b 将 a，c 代入所求代数式，化简得解 因为 (x-5) 2， m都是非负数，所以由 (1) 有由 (2) 得 y+1=3，所以 y=2下面先化简所求代数式，然后再代入求值222=x y+5mx+10xy=522+0+10522=250例 6 如果 4a-3b=7，并且 3a+2b=19，求 14a-2b 的值分析 此题可以用方程组求出 a，b 的值，再分别代入 14a
7、-2b 求值下面介绍一种不必求出 a，b 的值的解法解 14a-2b=2(7a-b) =2(4a+3a)+(-3b+2b)=2(4a-3b)+(3a+2b)=2(7+19)=52 x + x-1 + x-2 +x-3 +x-4 +x-5 的值分析 所求代数式中六个绝对值的分界点，分别为： 0， 1， 2，据绝对值的意义去掉绝对值的符号， 将有 3 个 x 和 3 个-x ，这样将抵消掉x，使求值变得容易原式 =x+(x-1)+(x-2)-(x-3)-(x-4)-(x-5)=-1-2+3+4+5=9 说明 实际上，本题只要x 的值在 2 与 3 之间，那么这个代数式的值就是9，即它与 x 具体的
8、取值无关例 8 若 x:y:z=3:4:7 ，且 2x-y+z=18 ，那么 x+2y-z 的值是多少？分析 x:y:z=3:4:7 可以写成的形式，对于等比，我们通常可以设它们的比值为常数 k，这样可以给问题的解决带来便利x=3k，y=4k，z=7k因为2x-y+z=18 ，所以2 3k-4k+7k=18 ，所以 k=2，所以 x=6， y=8，z=14，所以x+2y-z=6+16-14=8 例 9 已知 x=y=11，求(xy-1) 2 +(x+y-2)(x+y-2xy)的值分析 本题是可直接代入求值的下面采用换元法，先将式子改写得较简洁，然后再求值解 设 x+y=m，xy=n原式 =(n-1) 2+(m-2)(m-2n)22=(n-1)+m-2m-2mn+4n22=n -2n+1+4n-2m-2mn+m=(n+1) 2-2m(n+1)+m2=(n+1-m) 2=(11 11+1-22) 2=(121+1-22) 2=100 2=10000说明 换元法是处理较复杂的代数式的常用手法，通过换元，可以使代数式的特征更加突出，从而简化了题目的表述形式