《北师大版八年级下册《第1章三角形的证明》2014年单元检测卷(含答案详解).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版八年级下册《第1章三角形的证明》2014年单元检测卷(含答案详解).docx（23页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、北师大版八年级下册第1 章 三角形的证明 2014 年单元检测卷一、选择题（每小题 4 分，共48 分）1（ 4 分）（ 2013?）等腰三角形的一个角是80，则它顶角的度数是（）A 80B 80或 20C 80或 50D 202（ 4 分）下列命题的逆命题是真命题的是（）A 如 果 a 0， b 0，则 a+b0B直角都相等C 两直线平行，同位角相等D 若 a=6，则 |a|=|b|3（ 4 分）ABC 中， A ： B ： C=1：2：3，最小边 BC=4 cm ，最长边 AB 的长是（）A 5cmB 6cmC 7cmD 8cm4（ 4 分）（ 2013?）如图，已知AE=CF ， AFD
2、= CEB ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 ADF CBE 的是（）A A= CB A D=CBC BE=DFDADBC5（ 4 分）（ 2012?）如图，在 ABC 中，B=30 ，BC 的垂直平分线交AB 于 E，垂足为 D若ED=5 ，则 CE 的长为（）A 10B 8C 5D 2.56（ 4 分）（ 2013?一模）如图， D 为 ABC 一点， CD 平分 ACB ， BE CD ，垂足为 D，交 AC 于点 E，A= ABE 若AC=5 ， BC=3 ，则BD的长为（）A 2.5B 1.5C 2D 17（ 4 分）如图， AB=AC ， BE AC 于点 E， CF AB 于
3、点 F，BE 、CF 相交于点D，则 ABE ACF ； BDF CDE； 点 D 在 BAC 的平分线上以上结论正确的是（）A B C D 8（ 4 分）如图所示， AB BC ， DC BC， E 是 BC 上一点， BAE= DEC=60 ，AB=3 ，CE=4，则 AD 等于（）A 10B 12C 24D 489（ 4 分）如图所示，在 ABC 中， AB=AC ， D、 E 是 ABC两点， AD 平分BAC EBC= E=60 ，若 BE=6 ， DE=2 ，则 BC 的长度是（）A 6B8C9D1010（4 分）（ 2013?）如图，在 ABC 中， C=90 ， B=30 ，以
4、 A 为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB 、AC 于点 M 和 N，再分别以 M 、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，连结 AP 并延长交BC 于点 D，则下列说法中正确的个数是（） AD 是 BAC 的平分线； ADC=60 ； 点 D 在 AB 的中垂线上； S DAC ：S ABC =1：3A 1B 2C 3D 412（4 分）（ 2013?）如图，在平面直角坐标系xOy 中， A（ 0，2），B（ 0，6），动点线 y=x 上若以A 、 B、 C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C 的个数是（C 在直）A 2B 3C 4D 513（ 4 分）（ 2009?）
5、如图，在等腰RtABC 中， C=90 ， AC=8 ， F 是 AB 边上的中点，点 D ，E 分别在 AC ， BC 边上运动，且保持 AD=CE 连接 DE， DF，EF 在此运动变化的过程中，下列结论： DFE 是等腰直角三角形； 四边形 CDFE 不可能为正方形， DE 长度的最小值为4； 四边形 CDFE 的面积保持不变； CDE 面积的最大值为8其中正确的结论是（）A B C D 二、填空题（每小题4 分，共24 分）14（4 分）用反证法证明命题角形中 _ “三角形中必有一个角小于或等于60”时，首先应假设这个三15（ 4 分）（ 2013?）若（ a 1） 2+|b 2|=0
6、，则以 a、b 为边长的等腰三角形的周长为_16（ 4 分）如图，在 Rt ABC 中， ABC=90 ， DE 交 BC 于点 E， BAE=20 ，则 C= _ 是 AC的垂直平分线，交AC于点D ，17（ 4 分）如图，在 ABC 中， BI 、 CI 分别平分 ABC 、 ACF ， DE 过点 I，且 DE BC BD=8cm ， CE=5cm ，则 DE 等于 _ 18（ 4 分）（ 2013?东营）如图，圆柱形容器中，高为 1.2m ，底面周长为 1m，在容器壁离容器底部 0.3m 的点 B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿 0.3m 与蚊子相对的点 A 处，则
7、壁虎捕捉蚊子的最短距离为 _ m（容器厚度忽略不计） 19（ 4 分）（ 2013?资阳）如图，在 RtABC 中， C=90， B=60 ，点 D 是 BC 边上的点， CD=1 ，将 ABC 沿直线 AD 翻折，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，若点 P 是直线 AD 上的动点，则 PEB 的周长的最小值是_三、解答题（每小题7 分，共 14 分）20（ 7 分）（ 2013?）如图， C 是 AB 的中点， AD=BE ， CD=CE 求证： A= B21（ 7 分）（ 2013?）如图， 两条公路 OA 和 OB 相交于 O 点，在 AOB 的部有工厂 C 和 D ，现要修建一个
8、货站 P，使货站 P 到两条公路 OA 、OB 的距离相等，且到两工厂 C、D 的距离相等，用尺规作出货站 P 的位置（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）四、解答题（每小题10 分，共 40 分）22（ 10 分）（ 2013?模拟）在四边形ABCD分 DCB ， AD=4cm ，求 AB 的长度？中， AB CD ， D=90 ， DCA=30， CA平23（ 10 分）（ 2013?）如图，在 ABC 中， C=90 ， AD 平分 CAB ，交 CB 于点 D ，过点 D 作 DEAB 于点 E（ 1）求证： ACD AED ；（ 2）若 B=30 ， CD=1，求 BD 的长24
9、（ 10 分）（ 2013?）如图，把一个直角三角形ACB （ ACB=90 ）绕着顶点B 顺时针旋转 60，使得点 C 旋转到 AB 边上的一点 D ，点 A 旋转到点 E 的位置 F， G 分别是 BD ， BE 上的点， BF=BG ，延长 CF 与 DG 交于点 H（ 1）求证： CF=DG ；（ 2）求出 FHG 的度数25（ 10 分）已知：如图， ABC 中， ABC=45 ，DH 垂直平分 BC 交 AB 于点 D，BE 平分 ABC ，且 BE AC 于 E，与 CD 相交于点 F（ 1）求证： BF=AC ；（ 2）求证：五、解答题（每小题12 分.共24 分）26（ 12
10、 分）如图，在 ABC中， D是BC是中点，过点D 的直线GF交AC于点F，交AC的平行线 BG 于点 G， DE DF 交 AB 于点 E，连接 EG、 EF（ 1）求证： BG=CF ；（ 2）求证： EG=EF；（ 3）请你判断 BE+CF 与 EF 的大小关系，并证明你的结论27（ 12 分） ABC 中， AB=AC ，点 D 为射线 BC 上一个动点（不与 B 、C 重合），以 AD 为一边向 AD 的左侧作 ADE ，使 AD=AE ， DAE= BAC ，过点 E 作 BC 的平行线，交直线 AB 于点 F，连接 BE（1）如图 1，若 BAC= DAE=60 ，则 BEF 是
11、_三角形；（ 2）若 BAC= DAE 60 如图 2，当点 D 在线段 BC 上移动，判断 BEF 的形状并证明； 当点 D 在线段 BC 的延长线上移动， BEF 是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形北师大版八年级下册 第 1 章 三角形的证明 2014 年单元检测卷 A （一）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4 分，共48 分）1（ 4 分）（ 2013?）等腰三角形的一个角是 A 80 B 80或 2080，则它顶角的度数是（C 80或 50）D 20考点 ：等腰三角形的性质专题 ：分类讨论分析：分 80角是顶角与底角两种情况讨论求解解答：解： 80角是顶角时，三角形的顶角
12、为80， 80角是底角时，顶角为180 802=20 ，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80或 20故选 B点评：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论求解2（ 4 分）下列命题的逆命题是真命题的是（ A 如 果 a 0， b 0，则 a+b0 C 两直线平行，同位角相等）B直角都相等D 若 a=6，则 |a|=|b|考点 ：命题与定理分析：先写出每个命题的逆命题，再进行判断即可解答：解； A 如果 a 0， b 0，则 a+b 0：如果 a+b 0，则 a 0，b 0，是假命题；B 直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题；C两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相
13、等，两直线平行，是真命题； D 若 a=6，则 |a|=|b|的逆命题是若 |a|=|b|，则 a=6，是假命题故选： C点评：此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题其中一个命题称为另一个命题的逆命题正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理3（ 4 分）ABC A 5cm中， A ： B ： C=1：2：3，最小边B 6cmC 7cmBC=4 cm ，最长边 ABD 8cm的长是（）考点 ：含 30 度角的直角三角形分析：三个角的比以及三角形的角和定理
14、，得出各个角的度数以及直角三角形中角30所对的直角边是斜边的一半解答：解：根据三个角的比以及三角形的角和定理，得直角三角形中的最小角是30，根据30所对的直角边是斜边的一半，得最长边是最小边的 2 倍，即 8，故选点评：此题主要是运用了直角三角形中角 30所对的直角边是斜边的一半D4（ 4 分）（ 2013?）如图，已知法判定 ADF CBE 的是（AE=CF）， AFD= CEB ，那么添加下列一个条件后，仍无A A= CB A D=CBC BE=DFDADBC考点 ：全等三角形的判定分析：求出 AF=CE ，再根据全等三角形的判定定理判断即可解答：解： AE=CF ， AE+EF=CF+E
15、F ， AF=CE ，A 、 在ADF 和 CBE 中 ADF CBE （ ASA ），正确，故本选项错误；B 、根据 AD=CB ，AF=CE ， AFD= CEB 不能推出 ADF CBE ，错误，故本选项正确；C、 在ADF 和 CBE 中 ADF CBE （ SAS），正确，故本选项错误；D、AD BC ， A=C， 在 ADF 和 CBE 中 ADF CBE （ ASA ），正确，故本选项错误；故选 B点评：本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有 SAS ， ASA ， AAS ， SSS5（ 4 分）（ 2012?）如图，在 ABC中，B=30
16、，BC的垂直平分线交AB于 E，垂足为D若ED=5 ，则 CE 的长为（）A 10B 8C 5D 2.5考点 ：线段垂直平分线的性质；含30 度角的直角三角形分析：根据线段垂直平分线性质得出BE=CE ，根据含30 度角的直角三角形性质求出长，即可求出CE 长BE 的解答：解： DE 是线段 BC 的垂直平分线， BE=CE ， BDE=90 （线段垂直平分线的性质） ， B=30 ， BE=2DE=2 5=10（直角三角形的性质） ， CE=BE=10 故选 A点评：本题考查了含30 度角的直角三角形性质和线段垂直平分线性质的应用，关键是得到BE=CE和求出BE长，题目比较典型，难度适中6（
17、 4 分）（ 2013?一模）如图， D 为 ABC 一点，交 AC 于点 E， A= ABE 若 AC=5 ， BC=3 ，则CD BD平分 ACB ， BE CD ，垂足为的长为（）D，A 2.5B 1.5C 2D 1考点 ：等腰三角形的判定与性质分析：由已知条件判定 BEC 的等腰三角形，且BC=CE ；由等角对等边判定AE=BE ，则易求 BD=BE=AE= （ AC BC ）解答：解：如图， CD 平分 ACB ， BE CD， BC=CE 又 A= ABE ， AE=BE BD=BE=AE= （AC BC ） AC=5 ， BC=3 ， BD= （ 5 3） =1故选 D点评：本题
18、考查了等腰三角形的判定与性质注意等腰三角形“三合一 ”性质的运用7（ 4 分）如图， AB=AC ， BE AC 于点 E， CF AB 于点 F，BE 、CF 相交于点D，则 ABE ACF ； BDF CDE； 点 D 在 BAC 的平分线上以上结论正确的是（）A BC D 考点 ：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质专题 ：常规题型分析：从已知条件进行分析， 首先可得 ABE ACF 得到角相等和边相等， 运用这些结论，进而得到更多的结论，最好运用排除法对各个选项进行验证从而确定最终答案解答：解： BE AC 于 E，CF AB 于 F AEB= AFC=90 ， AB=AC ， A=
19、A ， ABE ACF （ 正确） AE=AF ， BF=CE ， BE AC 于 E， CF AB 于 F， BDF= CDE， BDFCDE（ 正确） DF=DE ，连接 AD， AE=AF ， DE=DF ，AD=AD ， AED AFD ， FAD= EAD ，即点 D 在 BAC 的平分线上（ 正确）故选 D点评：此题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定方法等知识点，要求学生要灵活运用，做题时要由易到难，不重不漏8（ 4 分）如图所示，CE=4，则 AD 等于（AB BC，DCBC，E 是）BC上一点， BAE= DEC=60 ，AB=3 ，A 10B 12C 24D 48考点 ：
20、勾股定理；含30 度角的直角三角形分析：本题主要考查勾股定理运用，解答时要灵活运用直角三角形的性质解答：解： AB BC， DC BC ， BAE= DEC=60 AEB= CDE=30 30所对的直角边是斜边的一半 AE=6 ，DE=8又 AED=90 根据勾股定理 AD=10 故选 A点评：解决此类题目的关键是熟练掌握运用直角三角形两个锐角互余，斜边的一半，勾股定理的性质30所对的直角边是9（ 4 分）如图所示，在 ABC 中， AB=AC ， D、 E 是 ABCBAC EBC= E=60 ，若 BE=6 ， DE=2 ，则 BC 的长度是（两点， AD）平分A 6B 8C 9D 10考
21、点 ：等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质分析：作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE=6 ，DE=2 ，进而得出 BEM角形， EFD 为等边三角形，从而得出BN 的长，进而求出答案为等边三解答：解：延长 ED 交 BC 于 M，延长 AD 交 BC 于 N，作 DFBC ， AB=AC ， AD 平分 BAC ， AN BC ，BN=CN ， EBC= E=60， BEM 为等边三角形， EFD 为等边三角形， BE=6 ，DE=2 ， DM=4 ， BEM 为等边三角形， EMB=60 ， AN BC ， DNM=90 ， NDM=30 ， NM=2 ， BN=4 ， BC=2BN
22、=8 ，故选 B点评：此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出MN的长是解决问题的关键10（4 分）（ 2013?）如图，在 ABC 中， C=90 ， B=30 ，以 A 为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB 、AC 于点 M 和 N，再分别以 M 、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，连结 AP 并延长交BC 于点 D，则下列说法中正确的个数是（） AD 是 BAC 的平分线； ADC=60 ； 点 D 在 AB 的中垂线上； S DAC ：S ABC =1：3A 1B 2C 3D 4考点 ：角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图基本作图专题 ：压轴
23、题分析： 根据作图的过程可以判定AD 是 BAC 的角平分线； 利用角平分线的定义可以推知 CAD=30 ，则由直角三角形的性质来求ADC 的度数； 利用等角对等边可以证得 ADB 的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一 ”的性质可以证明点D 在 AB 的中垂线上； 利用 30 度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比解答：解： 根据作图的过程可知，AD 是 BAC 的平分线故 正确； 如图， 在 ABC 中， C=90， B=30 ， CAB=60 又 AD 是 BAC 的平分线， 1=2= CAB=30 ， 3=90 2=60，即 ADC=60 故 正确；
24、1= B=30 ， AD=BD ， 点 D 在 AB 的中垂线上故 正确； 如图，在直角 ACD 中， 2=30， CD=AD ， BC=CD+BD=AD+AD=AD ， SDAC =AC ?CD=AC ?AD SABC =AC ?BC=AC ?AD=AC ?AD ， SDAC ： S ABC=AC ?AD ：AC ?AD=1 ：3故 正确综上所述，正确的结论是：，共有 4 个故选 D点评：本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图基本作图解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质12（4 分）（ 2013?）如图，在平面直角坐标系xOy 中， A（ 0，2），B（ 0，6），动点 C
25、 在直线 y=x 上若以A 、 B、 C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C 的个数是（）A 2B3C4D5考点 ：等腰三角形的判定；坐标与图形性质专题 ：压轴题分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB 的垂直平分线与直线y=x 的交点为点C，再求出AB 的长，以点A 为圆心，以AB 的长为半径画弧，与直线 y=x 的交点为点 C，求出点 B 到直线 y=x 的距离可知以点 B 为圆心，以 AB 的长为半径画弧，与直线没有交点解答：解：如图， AB 的垂直平分线与直线y=x 相交于点 C1， A（ 0， 2）， B（ 0， 6）， AB=6 2=4，以点 A 为圆心，以
26、 AB 的长为半径画弧，与直线y=x 的交点为 C2，C3， OB=6 ， 点 B 到直线 y=x 的距离为 6=3， 34， 以点 B 为圆心，以 AB 的长为半径画弧，与直线y=x 没有交点，所以，点 C 的个数是 1+2=3故选 B点评：本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观13（ 4 分）（ 2009?）如图，在等腰RtABC 中， C=90 ， AC=8 ， F 是 AB 边上的中点，点 D ，E 分别在 AC ， BC 边上运动，且保持 AD=CE 连接 DE， DF，EF 在此运动变化的过程中，下列结论： DFE 是等腰直角三角形；
27、 四边形 CDFE 不可能为正方形， DE 长度的最小值为4； 四边形 CDFE 的面积保持不变； CDE 面积的最大值为8其中正确的结论是（）A B C D 考点 ：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形专题 ：压轴题；动点型分析：解此题的关键在于判断DEF 是否为等腰直角三角形，作常规辅助线连接CF，由 SAS定理可证 CFE 和 ADF 全等， 从而可证 DFE=90 ，DF=EF 所以 DEF 是等腰直角三角形可证 正确， 错误，再由割补法可知 是正确的；判断 ， 比较麻烦，因为DEF 是等腰直角三角形DE=DF ，当 DF 与 BC 垂直，即 DF 最小时， DE 取最
28、小值4，故 错误， CDE 最大的面积等于四边形CDEF 的面积减去 DEF 的最小面积，由 可知 是正确的故只有正确解答：解：连接 CF； ABC 是等腰直角三角形， FCB= A=45 ， CF=AF=FB ； AD=CE ， ADF CEF； EF=DF ， CFE= AFD ； AFD+ CFD=90 ， CFE+ CFD= EFD=90 ， EDF 是等腰直角三角形因此 正确当 D、 E 分别为 AC 、BC 中点时，四边形 CDFE 是正方形因此 错误 ADF CEF， SCEF=SADF S 四边形 CEFD=S AFC，因此 正确由于 DEF 是等腰直角三角形，因此当DE 最小
29、时， DF 也最小；即当 DF AC 时， DE 最小，此时DF=BC=4 DE=DF=4 ；因此 错误当 CDE 面积最大时，由 知，此时 DEF 的面积最小此时 SCDE=S 四边形 CEFD SDEF=SAFC SDEF=16 8=8；因此 正确故选 B点评：本题考查知识点较多，综合性强，能力要求全面，难度较大但作为选择题可采用排除法等特有方法，使此题难度稍稍降低一些二、填空题（每小题4 分，共 24 分）14（4 分）用反证法证明命题“三角形中必有一个角小于或等于60”时，首先应假设这个三角形中每一个角都大于60 考点 ：反证法分析：熟记反证法的步骤，直接填空即可解答：解：根据反证法的
30、步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的每一个角都大于60故答案为：每一个角都大于60点评：此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（ 1）假设结论不成立； （2）从假设出发推出矛盾；（ 3）假设不成立，则结论成立在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定215（ 4 分）（ 2013?）若（ a 1） +|b 2|=0，则以a、b 为边长的等腰三角形的周长为5考点 ：等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形三边关系专题 ：分类讨论分析：先根据非负数的性质列式求出a、 b 再分情况讨论求
31、解即可解答：解：根据题意得，a 1=0， b 2=0 ，解得 a=1， b=2 ， 若 a=1 是腰长，则底边为2，三角形的三边分别为1、1、 2， 1+1=2， 不能组成三角形， 若 a=2 是腰长，则底边为1，三角形的三边分别为2、2、 1，能组成三角形，周长 =2+2+1=5 故答案为： 5点评：本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，以及三角形的三边关系，难点在于要讨论求解16（ 4 分）如图，在Rt ABC 中， ABC=90 ， DE交 BC 于点 E， BAE=20 ，则 C=35 是 AC的垂直平分线，交AC于点D ，考点 ：线段垂直平分线的性质分析：由 DE 是 AC 的垂
32、直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得Rt ABC 中， ABC=90 ， BAE=20 ，即可求得 C 的度数解答：解： DE 是 AC 的垂直平分线，AE=CE ，又由在 AE=CE ， C=CAE ， 在 Rt ABE 中， ABC=90 ， BAE=20 ， AEC=70 ， C+ CAE=70 ， C=35故答案为： 35点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用17（ 4 分）如图，在 ABC 中， BI 、 CI 分别平分 ABC 、 ACF ， DE 过点 I，且 DE BC BD=8cm ， CE=5cm ，则 DE 等
33、于 3cm 考点 ：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质分析：由 BI 、CI 分别平分 ABC 、 ACF ， DE 过点 I，且 DE BC ，易得 BDI 与 ECI是等腰三角形，继而求得答案解答：解： BI 、 CI 分别平分 ABC 、 ACF ， ABI= CBI ，ECI=ICF ， DE BC ， DIB= CBI ，EIC=ICF ， ABI= DIB ， ECI= EIC ， DI=BD=8cm ， EI=CE=5cm ， DE=DI EI=3 （ cm）故答案为： 3cm点评：此题考查了等腰三角形的性质与判定以及平行线的性质注意由角平分线与平行线，易得等腰三角形18（ 4
34、 分）（ 2013?东营）如图，圆柱形容器中，高为1.2m ，底面周长为1m，在容器壁离容器底部0.3m 的点 B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m 与蚊子相对的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为1.3m（容器厚度忽略不计） 考点 ：平面展开 -最短路径问题专题 ：压轴题分析：将容器侧面展开， 建立 A 关于 EF 的对称点A ，根据两点之间线段最短可知A B 的长度即为所求解答：解：如图： 高为 1.2m ，底面周长为 1m，在容器壁离容器底部 0.3m 的点 B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿 0.3m 与蚊子相对的点 A 处， AD=0.5m ， BD=1.2m ， 将容器侧面展开，作 A 关于 EF 的对称点 A ，连接 A B，则 A B 即为最短距离，A B=