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1、全国初中数学竞赛试题一、选择题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分. 每道小题均给出了代号为 A， B， C， D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的 . 请将正确选项的代号填入题后的括号里， 不填、多填或错填都得 0 分）a 2b+3c0ab bc ca设非零实数 a，b，c，满足则+）222 的值为（1ab+ c0a +b +c23411（A） 2（B）0（C）2（D）1已知 a，b，c 是实常数，关于 x 的一元二次方程ax2bx c有两个非零实根 x1，x2，则下2+ +=0列关于 x 的一元二次方程中，以12，12为两个实根的是（）x1x2（ A）c2 x2b2 ac
2、x a2=0（ ）c2x2b2 ac x a2=0+(2) +B(2) +（ C）c2 x2b2 ac xa2=0（ ）c2x2b2 ac xa2=0+(2)D(2)3如图，在 Rt ABC中，已知 O是斜边 AB的中点， CDAB，垂足为 D，DEOC，垂足为 E，若 AD，DB，CD的长度都是有理数，则线段 OD，OE，DE，AC的长度中，不一定 是有理数的为（）（ A）OD（ ）OE（ ）DE（ ）ACBCD如图，已知 ABC的面积为，点 D 在线段 AC上，点 F 在线段 BC的延长线上，且 BC CF，424=4DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）（A）3（B）4（C）6
3、（D）83x3y+3x2y2+xy3+455对于任意实数 x， y， z，定义运算“ * ”为： xy =( x+1) 3 +( y+1) 360，且 x y z= xy z ，则 201320123 2 的值为（）6071821546316389（A）967（B） 967（C） 967（ D） 967二、填空题（共5 小题，每小题7 分，共 35 分）6设 a= 3 3 ，b 是 a2 的小数部分，则 ( b+2) 3 的值为 _7如图，点 D，E 分别是 ABC的边 AC，AB上的点，直线 BD与 CE交于点 F，已知 CDF，BFE， BCF的面积分别为3， 4， 5，则四边形 AEFD
4、的面积是 _8已知正整数 a，b，c 满足 a+b2 2c 2=0，3a2 8b+c=0，则 abc 的最大值为 _9实数 a，b，c，d 满足：一元二次方程x2+cx+d=0 的两根为 a，b，一元二次方程x2+ax+b=0的两根为c ， d ， 则 所 有 满 足 条 件 的 数 组 （ a ， b ， c ， d ） 为10小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4 元，圆珠笔每支售 7 元开始时他有铅笔和圆珠笔共350 支，当天虽然笔没有卖完，但是他的销售收入恰好是2013 元，则他至少卖出了 _支圆珠笔AACDEEEDADOBBC FBC（第 3题 )（第 4题)（第 7题)三、解答
5、题（共4 题，每题 20 分，共 80 分）如图，抛物线y ax2bx ，顶点为 E，该抛物线与 x 轴交于 A，B 两点，与y轴交于点 C，11=+31y且 OB=OC=3OA，直线 y = x2+1 与 y 轴交于点 D，求 DBC CBE 3DxAOBCE12设 ABC的外心，垂心分别为O， H，若 B，C，H，O 共圆，对于所有的 ABC，求 BAC所有可能的度数13设 a，b，c 是素数，记 x=b+c a，y=c+ab，z=a+b c，当 z2=y，xy=2 时， a ， b ，c 能否构成三角形的三边长？证明你的结论14如果将正整数M放在正整数 m左侧，所得到的新数可被7 整除，
6、那么称 M为 m的“魔术数”（例如，把 86 放在 415 的左侧，得到的数86415 能被 7 整除，所以称 86 为 415 的魔术数）求正整数 n 的最小值，使得存在互不相同的正整数a1，a2 ， ， an，满足对任意一个正整数 m，在 a1 ，a2， ， an 中都至少有一个为m 的魔术数全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1【答案】 A【解答】 由已知得 abc (2 a3b4c)(a 2b3c) 0 ，故 ( abc)20于是abbcca1( a2b2c2 ) ，所以 abbcca1 2a2b2c222【答案】 B【解答】 由于 ax2bxc0 是关于 x 的一元二次方程，则 a
7、0 因为 x1x2b ，ax1 x2c，且 x1x20，所以 c0 ，且11( x1 x2 )22x1 x2b22ac，11a2a2222c222c2 ，x1x2x1 x2x1x2于是根据方程根与系数的关系，以 1， 1 为两个实根的一元二次方程是x12x22x2b22ac xa20 ，即 c2 x2(b22ac) xa20 c2c3【答案】 D【解答】 因 AD， DB，CD的长度都是有理数，所以，OAOBOC ADBD 是有理数于是， OD OAAD是有理数2由 Rt DOE RtCOD，知 OEOD 2， DEDC DO 都是OCOC（第 3题）（第 3 题答题）有理数，而 ACAD A
8、B 不一定是有理数4【答案】 CCF，且EFDC【解答】因为 DCFE是平行四边形，所以 DE连接 CE，因为 DECF，即/DE BF，所以 SDEB=S DEC，/ACE的面积因此原来阴影部分的面积等于连接 AF，因为 EF/ CD，即 EF/ AC，所以 SACE = S ACF因为 BC4CF ，所以SABC= 4S ACF故阴影部分的面积为65【答案】 C【解答】 设 201320124m ，则（第 4题）2013201243m3（第 4 题答题）3m333m29m27459 ，m33m23m16460于是 201320123292393239222923455463 1033360
9、967二、填空题6【答案】 9【解答】 由于 1 a 2 a 23 ，故 b a2233(39)399 2 ，因此 (b 2)7【答案】20413【解答】 如图，连接 AF，则有：S AEF4=SAEFS BFEBFS BCF5 ，S AFDS AFDFDS CDF3S AFD3SAFDS CDFCFS BCF5 ，S AEFS AEFFES BEF4解得 S AEF108 ， S AFD96 1313（第 7 题答题）所以，四边形 AEFD的面积是 204 138【答案】 2013【解答】 由已知 ab22c 2 0 ， 3a28b c 0 消去 c，并整理得b 82a66 由为正整数及 6
10、a2a 66，可得 1 36a2aa若 a1 ，则b259 ，无正整数解；8若 a2，则b240，无正整数解；8若 a3，则 b29 ，于是可解得 b11， b5 8（ i ）若 b11，则 c61 ，从而可得 abc31161 2013；（ ii）若 b5，则 c13 ，从而可得 abc3513195综上知 abc 的最大值为 20139 【答案】 (1， 2，1， 2)， (t，0， t，0)（ t 为任意实数）abc，【解答】 由韦达定理得abd，cda，cdb由上式，可知 bacd 若 bdd1，cb1，进而 bda c 2 0 ，则 adb若 bd0 ，则 ca ，有(a，b，cd
11、) (t，0， t，0)（ t 为任意实数）经检验，数组 (1， 2，1， 2)与 (t，0， t，0) （ t 为任意实数）满足条件10【答案】 207【解答】 设 x， y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则4x7 y 2013，xy350，所以 x20137 y(5032 y)y1 ，44于是 y1 是整数又 20134( xy) 3 y43503y ，4所以 y204 ，故 y 的最小值为，此时x141207三、解答题11如图，抛物线 yax2bx3，顶点为，该抛物线与 x 轴交于，B两点，与y轴交EA于点 C，且 OB OC3OA直线y11与y轴交于点xD求 DBC CBE3【
12、解答】 将 x0 分别代入 y1 x1， yax2bx 3 知，3D，1)， C，3)，(0(0所以B，0)，A，0)直线y1过点 (3(1x1B3将点C，3)的坐标代入ya( x1)(x3)，得a1(0（第 11 题）抛物线 yx22 x3的顶点为 E (1 ，4) 于是由勾股定理得（第 11 题答题）BC3 2，CE2 ，BE25222BCE90 因为 BCCEBE，所以， BCE为直角三角形，因此tanCBE =CE=1又 tan DBO OD1，则=CBECB3OB3DBO所以，DBCCBEDBCDBOOBC45 12设 ABC 的外心，垂心分别为O，H ，若 B， C， H ，O 共
13、圆，对于所有的ABC ，求 BAC 所有可能的度数【解答】 分三种情况讨论（ i ）若 ABC 为锐角三角形因为BHC180A，BOC2A ，所以由BHCBOC ，可得 180A2A，于是A60（第 12 题答题（ i）（第 12 题答题（ ii ）（ ii ）若 ABC 为钝角三角形当 A90 时，因为BHC 180A， BOC2180A ，所以由BHCBOC180 ，可得 3180A180 ，于是 A 120 。当A所以由90 时，不妨假设BHCBOCB18090 ，因为，可得3 ABHCA，180 ，于是BOC A 602A ，（ iii）若 ABC 为直角三角形当 A 90 时，因为
14、O 为边 BC 的中点， B， C， H，O 不可能共圆，所以 A 不可能等于 90 ；当A 90时，不妨假设B 90 ，此时点B 与 H 重合，于是总有，H，O共圆，BC因此A 可以是满足 0A90 的所有角综上可得，A 所有可能取到的度数为所有锐角及 120 13设 a ， ，c 是素数，记 x b ca， yc a b， za b c ，当2y, xy 2bz时， a ， b ， c 能否构成三角形的三边长？证明你的结论【解答】 不能依题意，得a1 ( yz)， b1(xz)， c1 ( xy) 222因为 y z2 ，所以 a1( y z)1( z2z)z( z1) 222又由于 z
15、为整数， a 为素数，所以 z2 或3 ， a3 当 z2 时， yz24，x(y2)216 进而， b9 ， c10 ，与 b ， c 是素数矛盾；当 z3 时， abc0 ，所以 a ， b ， c 不能构成三角形的三边长14如果将正整数 M放在正整数 m左侧，所得到的新数可被 7 整除，那么称 M为 m的“魔术数”（例如，把 86 放在 415 的左侧，得到的数 86415 能被 7 整除，所以称 86 为 415 的魔术数）求正整数 n 的最小值，使得存在互不相同的正整数a1a2an ，满足对任意一个正整数 m，在 a1a2an 中都至少有一个为m的魔术数【解答】 若 n6，取 m1，
16、2， ， 7，根据抽屉原理知，必有a1a2an 中的一个正整数 M是 ij (1 i j 7) 的公共的魔术数，即7|( 10Mi ) ， 7|( 10Mj ) 则有 7|( j i ) ，但 0 j i 6，矛盾故 n7又当 a1 a2an 为 1，2， ， 7 时，对任意一个正整数m，设其为 k 位数（ k 为正整数）则10ki 1 2i m （ ，7）被 7 除的余数两两不同若不然，存在正整数 i ， j (1 i j 7 ) ，满足 7|(10k j m) (10k im) ，即 7 |10 k ( ji ) ，从而 7|( j i ) ，矛盾故必存在一个正整数 i (1 i 7) ，使得 7|( 10kim) ，即i为的魔术数m所以， n 的最小值为 7