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1、北京市东城区 2015-2016 学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （理科）2016.1本试卷共 5 页， 150 分。考试时长120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分 （选择题共 40分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 .（ 1）已知集合 U1, 2, 3, 4 ，集合 A1, 3, 4 ， B 2 , 4 ，那么集合 (C A) IBU（A） 2（ B） 4（C） 1, 3（D）2, 4（ 2）已知某三棱锥的三视图(单位： cm)如图所示，那么该
2、三棱锥的体积等于3331正（主）视图侧（左）视图13俯视图（A） 3cm3（ B） 2 cm3（C） 3cm3（D） 9cm32（ 3）设 i 为虚数单位，如果复数z 满足 (12 i ) z5i ，那么 z 的虚部为（A） 1（B）1（ C） i（D ） i（ 4）已知 m(0 ,1) ，令 alo g m 2 ， b2mm ， c2 ，那么 a , b , c 之间的大小关系为（ A ） bca（ B） b a c（ C） ab c（D ） ca b（ 5）已知直线 l的倾斜角为，斜率为 k，那么“3”是“ k3 ”的（ A ）充分而不必要条件（ B）必要而不充分条件（ C）充分必要条件（
3、 D）既不充分也不必要条件110x 21,（ 6）已知函数 f ( x )x，如果关于 x 的方程 f ( x )k 有两个不同的实根，ln x ,x2那么实数 k 的取值范围是33（A） (1,),)（C） e 2 ,)（ D） ln 2,)（B） 2（ 7）过抛物线22 p x（ p0) 的焦点 F的直线交抛物线于A , B 两点，点 O 是原点，如y果 B F3， B FAF ，B F O2的值为，那么 AF3(A)13(C)3（D） 6( B )2（ 8）如图所示，正方体 A B C DA B C D 的棱长为 1, E,F 分别是棱AA ，CC的中点，过直线 E , F 的平面分别与
4、棱BB 、DD交于M,N，设BMx ， x( 0,1) ，给出以下四个命题：DC 四边形 M E NF 为平行四边形；N 若四边形 M EN F 面积 sf ( x ) , x( 0 ,1) ,则 f ( x ) 有最小AB值； 若四棱锥AM E NF 的体积 Vp ( x )， x( 0 ,1 ) ，则FEDCMp ( x ) 常函数；1 若多面体ABCDMENF的体积 Vh ( x ) ， x(,1) ，2AB则 h ( x ) 为单调函数其中假命题为(A)(B)(C )（D）2第二部分 （非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题5 分，共 30分 .（ 9） 在 A B C
5、 中， a 、 b 分别为角 A、 B 的对边，如果B3 00 ， C1 0 50， a4 ，那么 b.（ 10）在平面向量 a , b 中，已知 a(1, 3)， b ( 2,y). 如果 ab5 ，那么 y =；如果a + ba - b ，那么 y =.x + y1 0 ,（ 11）已知 x , y 满足满足约束条件xy2 , ，那么 zx2y2 的最大值为 _.x3（ 12）如果函数2xa的图象过点 ( ,1)且 f( t )2 那么 a；f ( x ) x sinf ( t )（ 13）如果平面直角坐标系中的两点A ( a1, a1)，B ( a , a ) 关于直线 l对称，那么直线
6、 l 的方程为 _.（ 14）数列 a n 满足： a n 1a n12 a n ( n1, nN * ) ，给出下述命题：若数列 a n 满足： a 2a1 ，则 a na n 1( n1, nN*成立；)存在常数 c ，使得 a nc ( n*成立；N )若 p*q m n ( 其 中 p , q , m , nN ) ，则 a pa qa m a n ；存在常数 d ，使得 a na 1( n1) d ( nN *) 都成立上述命题正确的是 _ ( 写出所有正确结论的序号)三、解答题共6 小题，共80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（ 15）（本小题共13 分）设 a n 是一
7、个公比为 q ( q 0, q1) 等比数列， 4 a1 , 3 a 2 , 2 a 3 成等差数列 , 且它的前4 项和 s 41 5 .（）求数列 a n 的通项公式；（）令 b na n 2 n , ( n 1, 2 , 3.),求数列 bn 的前 n 项和 .3（ 16）（本小题共13 分）已知函数22f ( x) sin x2 3 sin x cos x cos x ( x R ) （）求f ( x ) 的最小正周期和在 0 , 上的单调递减区间；（）若为第四象限角，且 co s37，求 f (21)的值.52（ 17）（本小题共14 分）如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD
8、为正方形，PEPA底面 ABCD ， ABAP ,E为棱PD的中点.（）证明 : A EC D ；（）求直线A E 与平面 P B D 所成角的正弦值；DCAB（）若 F为 A B 中点，棱 P C 上是否存在一点 M ，使得 F MA C ，若存在，求出 PM的值，若不存在，说明理由 .M C（ 18）（本小题共13 分）已知椭圆 x2y21221 （ ab 0 ）的焦点是 F1、 F 2 ，且 F1 F 22 ，离心率为ab2（）求椭圆 C 的方程；（）若过椭圆右焦点F2的直线 l 交椭圆于 A ， B 两点，求 | A F2|g| F 2 B | 的取值范围（ 19）（本小题共14 分）
9、xea ( x ln x ) 已知函数 f ( x )x（） 当 a1时，试求 f ( x ) 在 (1, f (1) 处的切线方程；（） 当 a0时，试求 f ( x ) 的单调区间；（） 若 f ( x )在 (0 ,1)内有极值，试求 a 的取值范围4（ 20）（本小题共13 分）nn已知曲线 C n的方程为：xy1 ( n N * ) .（）分别求出n1, n2 时，曲线 C n 所围成的图形的面积 ;（）若 S n ( nN) 表示曲线 C n所围成的图形的面积， 求证： S n ( n N) 关于 n 是递增的 ;(III) 若方程nnn2 , nN ) ， x y z 0 ，没有
10、正整数解，求证：曲线xyz ( nC n ( n 2 , nN) 上任一点对应的坐标( x , y ) ， x , y 不能全是有理数 .5东城区 2015-2016 学年第一学期期末教学统一检测参考答案高三数学 （理科）2016.1学校 _ 班级 _ 姓名 _ 考号 _本试卷共 5 页， 150 分。考试时长120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分 （选择题共 40 分）一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分 . 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 .题号12345678答案AABCBBAD第二部分 （非
11、选择题 共 110 分）二、填空题共6 小题，每小题5 分，共 30 分.1 ;2（9）2 2（11） 58（ 12） 1 ; 0 （13） x y 1 0（10）3（ 14）三、解答题共6 小题，共80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（ 15）（本小题共13 分）设 a n 是一个公比为 q ( q0 , q1) 等比数列， 4 a1 , 3 a 2, 2 a 3 成等差数列 , 且它的前 4 项和 s 41 5 .（）求数列 a n 的通项公式；（）令 b na n2 n , ( n 1, 2 , 3.),求数列 bn 的前 n 项和 .解：（）因为 a n 是一个公比为q (
12、q0, q 1)等比数列，所以 a na1 q n 1 因为 4 a1, 3 a 2, 2 a 3 成等差数列，所以 6 a 223q 20 4 a 1 2 a 3 , 即 q解得 q2 , q1(舍).a1 (14又它的前 4 和 s4q )0 , q 1) ，15，得1q1 5 ( q6a 11a nn 192.b na n2 nnnnn13i 1 bi1 a ii 1 2 i1) 1i2n (n1613f ( x )223 sin x cos x2x ( xR )sin xcosf ( x ) 0 , co s37f (2).51 2f ( x ) sin23 sin x c os xc
13、 o s2x 2x3 sin2 xco s 2 x2 sin ( 2 x).62 2 .T =2+ 2 k ? 2 x?3 2 k , k ? z .2622 + k x1 0 + k , k ? z36f ( x ) 0 , 159,36c o s34sin55f (7 = 2 sin (7 2 sin82)6)131 2651714PABCDABCDPPAABCDABAP,EPD.E:A EC DA EPB DDC7AB（）若 F为 A B 中点，棱 P C 上是否存在一点M ，使得 FMA C ，若存在，求出 PM的值，若不存在，说明理由 .M C（）证明：因为 PA 底面 ABCD ，
14、所以 PAC D 因为 ADC D ，所以 CD面PAD.由于 AE面PAD，所以有 CDA E zPE 分yC（）解：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），D不妨设 ABA P2，可得 B(2,0,0)， C(2,2,0) ， D (0, 2,0 ) ，ABxP(0, 0, 2) .由 E 为棱 P D 的中点，得 E (0 ,1,1) .uuuvA E( 0 ,1,1)uuuruur(2,0, 2) .向量 BD( 2, 2, 0) ,PBr( x , y , z ) 为平面 PB D 的法向量，则2 x2 y0 设 nnBD0即nPB02 x2 z0不妨令 y =1 ，可得
15、n（ 1,1,1）为平面 P B D 的一个法向量 .所以 c o suuuv uuuv6AE,EF3.所以，直线 E F 与平面 P BD 所成角的正弦值为6 .11 分3uuruuuruuur(2, 0, 0) .（）解：向量 C P (2,2,2)，AC(2, 2,0)，ABuuuruur.由点 M 在棱 PC 上，设 CMCP ,(01)uuuruuuruuur(12,22,2).故 F MFC CM由 FMAC ，得 FMAC0 ，因此， (1-2 )2(2-2) 20 ，解得3.48所以P M113 分.M C3（ 18）（本小题共13 分）已知椭圆 x2y21 221 （ ab
16、0 ）的焦点是 F1、 F 2 ，且F1F22 ，离心率为ab2（）求椭圆 C 的方程；（）过椭圆右焦点F 2 的直线 l 交椭圆于 A ， B 两点，求 | A F 2|g| F 2 B | 的取值范围x解（）因为椭圆的标准方程为a22yb21( ab0 ) ，2222abc ，由题意知c1解得 a2 , b3 ，a22 c222xy1 5 分所以椭圆的标准方程为34（）因为 F 2，当直线 l 的斜率不存在时，3)，B(1,3(1,0)A (1,) ，22则| AF29|g| F 2 B |，不符合题意 .4当直线 l的斜率存在时，直线l 的方程可设为yk ( x1) yk ( x1),2
17、22222（ *）消 y 得 ( 34 k ) x8 k x4 k1 2 0由 xy1,43设 A ( x1 , y 1 )， B ( x 2 ,y 2 ) ，则 x 1 、 x 2是方程（ * ）的两个根，22所以 x 2x 28 k， x 1 x 24 k122 324 k34 k所以|AF2|( x11)2212x 11 ，y1k所以|F2B |( x 21)2221y 21 kx 2所以 | A F 2 |g| F 2 B | (12( x 1x 2 )1k ) x1 x 221 22(124 k8 k1k )32324 k4 k929(1k)34 k2(12)9k34 k291(13
18、2 ).44 kk20| AF2|g| F 2 B |3| AF29|g| F 2 B |, 3 .4kA Bx| A F2|g| F 2 B |94| A F 2 |g| F 29.13B |, 341914x已知函数 f ( x )ea ( xlnx ) x当 a1时，试求 f( x )在 (1, f (1)处的切线方程；当 a0时，试求 f ( x )的单调区间；若 f( x )在 (0 ,1)内有极值，试求 a 的取值范围x当a1时， f/e( x 1)1/(1)0， f (1)e 1 解：( x )21， fxx方程为 ye14x( x1)1xfee ( x1)a x ( x1) ，
19、( x )x2a (1)2xx(xax)x(1)e2x当 a0时，对于x(0 ,) ， e xa x0 恒成立，0x1 ；00x1 0.f ( x )f ( x )单调增区间为 (1,) ，单调减区间为 (0 ,1)8若 f ( x ) 在 (0 ,1) 内有极值，则在 x(0 ,1)内有解f ( x )( exa x )( x1)xxe.令 f ( x )x20ea x0axx设g ( x )ex( 0, 1 )x10x所以 g ( x )e ( x 1) ,当 x(0 ,1)时， g ( x )0 恒成立，x所以 g ( x ) 单调递减 .又因为 g (1)e ，又当 x0时， g (
20、x ),即 g ( x ) 在 x(0 ,1) 上的值域为 ( e,) ,xa x )( x1)所以 当 a( e有解 .e 时， f ( x )20x设 H ( x )e xa x ，则 H( x )e xa0x(0 ,1) ，所以 H ( x )在 x(0 ,1) 单调递减 .因为 H (0)10，H (1)ea0 ,所以 H ( x )e xa x 在 x(0 ,1)有唯一解 x 0 .所以有：x( 0 , x 0 )x 0( x 0 ,1)H( x )0f0( x )f( x )极小值Z所以 当 ae 时， f ( x ) 在 (0 ,1)内有极值且唯一 .当 ae 时，当 x(0 ,
21、1)时，( x ) 0恒成立， f ( x )单调递增，不成立f综上， a的取值范围为 ( e ,)14分（ 20）（本小题共 13 分）nn*的方程 .已知曲线 C n 表示 x , y 满足 xy1 ( nN )（）求出 n1, 2时，曲线 C n 所围成的图形的面积;（）若 Sn ( nN) 表示曲线 C n 所围成的图形的面积，求证： Sn ( nN ) 关于 n 是递增的 ;(III) 若方程nnn( n2 , nN ) ， x y z0 ，没有正整数解，xyz求证：曲线 C n ( n2 , nN) 上任一点对应的坐标( x , y ) ， x ,y 不能全是有理数 .解 : （）当 n1, 2时,由图可知 C 11,C 2.3 分41122（ )要证 S n ( nN) 是关于 n 递增的，只需证明：S nSn 1 (nN) 由于曲线 C n具有对称性，只需证明曲线C n 在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递