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1、第三章 数值变量资料的 统计描述,1,培训类别,第一节 数值变量资料的频数表,频数就是观察值的个数。频数分布就是观察值在其取值范围内分布的情况。要了解数值变量资料的分布规律，当观察单位较多时，可编制频数分布表(简称频数表)和绘制直方图。,2,培训类别,一、频数表（frequency table）的编制,1、找出观察值中的最大值(Max)、最小值(Min)和极差(R) R=MaxMin 2、确定组段数（即组数）、组距： 频数表一般设 8 15个组段。 组距(class interval) = R / 组段数。往往取近似值。 3、确定组段，列表划记： 每个组段的起点称下限，终点称上限。 第一组段要
2、包括最小值，最后一个组段要包括最大值。 各组段从本组段的“下限”开始，不包括本组段的“上限”，最末一组段应同时写出其上下限。,3,培训类别,例 2.1 某市1982年110名7岁男童的身高（cm）资料,112.4 117.2 122.7 123.0 113.0 108.2 118.2 108.2 118.9 118.1 123.5 118.3 120.3 116.2 114.7 119.7 114.8 119.6 113.2 120.0 119.7 116.8 119.8 122.5 119.7 120.7 114.3 122.0 117.0 122.5 119.8 122.9 128.0 1
3、21.5 126.1 117.7 124.1 129.3 121.8 112.7 120.2 120.8 126.6 120.0 130.5 120.0 121.5 114.3 124.1 117.2 124.4 116.4 119.0 117.1 114.9 129.1 118.4 113.2 116.0 120.4 112.3 114.9 124.4 112.2 125.2 116.3 125.8 121.0 115.4 121.2 117.9 120.1 118.4 122.8 120.1 112.4 118.5 113.0 120.8 114.8 123.8 119.1 122.8 1
4、20.7 117.4 126.2 122.1 125.2 118.0 120.7 116.3 125.1 120.5 114.3 123.1 122.4 110.3 119.3 125.0 111.5 116.8 125.6 123.2 119.5 120.5 127.1 120.6 132.5 116.3 130.8,4,培训类别,2.1 110名7岁男童身高（cm）频数表,5,培训类别,二、频数分布的两个特征,从频数表可以看出频数分布的两个重要特征： 集中趋势（central tendency)：身高向中央部分集中，以中等身高者居多，是为集中趋势。 离散趋势(tendency of dis
5、persion):从中央部分到两侧频数分布逐渐减少，是为离散趋势。 集中和离散趋势是频数分布的两个重要侧面，其可较全面地分析所研究的事物。,6,培训类别,三、频数分布的类型：,对称分布：集中位置在正中左右两侧频数分布大体对称，如正态分布。 偏态分布：集中位置偏向一侧，频数分布不对称。 正偏态分布 负偏态分布 不同类型的分布，应采用相应的统计分析方法。,7,培训类别,四、频数表的用途：,1、揭示资料的分布特征和分布类型。 2、便于进一步计算指标和统计分析处理。 3、便于发现某些错误。,8,培训类别,第二节 集中趋势的描述,平均数（average）是用于描述一组同质的定量变量值集中趋势的一系列指标
6、，它反映一组变量值的平均水平。医学研究中常用的平均数有算术均数、几何均数、中位数。,9,培训类别,一、算术均数（简称均数mean）,总体均数记作 ，样本均数记作 。 该指标适用于对称分布，尤其是正态或近似正态分布的资料。,10,培训类别,计算方法：,l 直接法：当观察单位的个数不多时可直接计算。公式为： l 加权法：当资料中相同观察值的个数较多时，可将相同观察值的个数，即频数f，乘以该观察值X，以代替相同观察值逐个相加。 加权法用于频数表资料时，式中，f为组段频数，x为组中值，组中值 = 。,11,培训类别,例 2.2 对表2.1资料用加权法求平均身高,计算方法如下： 表 2.2 110名7岁
7、男童身高均数的计算（加权法）,12,培训类别,二、几何均数（geometric mean）,记作G。 该指标适用于： 变量值呈等比级数关系的资料，如血清抗体滴度的资料； 对数正态分布的资料，即某些偏态分布的资料，当将变量值取对数后又呈现正态分布的资料。,13,培训类别,计算方法,l 直接法：当观察单位的个数不多时可直接计算。公式为： l 加权法：当资料中相同观察值的个数较多时，如频数表资料，可用下式计算：,14,培训类别,例2.4 40名麻疹易感儿接种麻疹疫苗后一个月，血凝抑制抗体滴度见表2.3 第（1）、（2）栏，求平均滴度。,表2.3 平均滴度的计算 lgG = 72.2471 /40 =
8、1.8064 G = lg-1 1.8064 = 64 即平均抗体滴度为1：64,抗体滴度,（,1,）,人数，,f,（,2,）,滴度倒数，,X,（,3,）,lg,X,（,4,）,flgX,（,5,）,=,（,2,）（,4,）,1,：,4,1,4,0.6021,0.6021,1,：,8,5,8,0.9031,4.5155,1,：,16,6,16,1.2041,7.2246,1,：,32,2,32,1.5051,3.0102,1,：,64,7,64,1.8062,12.6434,1,：,128,10,128,2.1072,21.0720,1,：,256,4,256,2.4082,9.6328,1,
9、：,512,5,512,2.7093,13.5465,合,计,40,72.2471,15,培训类别,计算几何均数应注意的问题,数据中不能有零； 数据中不能同时有正值和负值；但若均为负值时，可先去掉负号进行计算，再在计算结果上加上负号。,16,培训类别,三、中位数(median)和百分位数（percentile）,中位数(median)：将一组观察值由小到大顺序排列，位次居中的变量值即为中位数。记作M。 中位数适用于： 明显偏态分布； 总体分布型不明的资料； 开放型数据。,17,培训类别,中位数的计算方法,l直接法 ：先将观察值按大小顺序排列，再按下式计算： n为奇数时 n为偶数时 l频数表法：
10、当观察值的个数较多时，可先将资料整理为频数表，再按下式计算： 式中，L 为中位数所在组段的下限； i为频数表中的组距； f 为中位数所在组段的频数； 为中位数所在组段以前的累积频数。,18,培训类别,例2.5 151例慢性胃炎患者住院时间如表2.4，求其平均住院天数。,表2.4 151例慢性胃炎患者住院时间的频数分布 平均住院天数为16.53天。,住院天数,0,15,30,45,60,75,90,105115,频,数,70,54,16,5,4,1,0,1,19,培训类别,百分位数（percentile）：以Px表示 一个百分位数Px将总体或样本的全部观察值分成两部分，理论上有x%的观察值比它小
11、，有（100-x）%的观察值比它大，故百分位数是一个界值，也是分布数列的百等份分割值，P50分位数也就是中位数，因此，中位数是一个特定的百分位数。,20,培训类别,百分位数计算方法,计算公式： Px = L + i/fx ( nx% - fL ) 式中，L为Px所在组段的下限； i为频数表中的组距； fx为Px所在组段的频数； fL为Px所在组段以前的累积频数。,21,培训类别,例2.6 某市大气中SO2的日平均浓度（g/m3）见表2.5第（1）、（2）栏，分别求第25、75、95百分位数和中位数。,表2.5 某市大气中SO2日平均浓度的百分位数和中位数计算,22,培训类别,计算累计频数及累计
12、频率，见第（3）、（4）栏; P25 = 50 + 25/67（361 25% - 39） = 69.12 P75 = 125 + 25/45（361 75% - 233） = 145.97 P95 = 250 + 25/6（361 95% - 341） = 258.12 P50=M = 100 + 25/63（361/2 170） = 104.17,23,培训类别,四、平均数指标的正确应用,上述各平均数指标，均有其相应的适用条件，应依据资料分布类型和数据情况正确选用。一般情况下可通过对同一资料中几个指标间的关系，粗略判断资料的分布类型： 对称分布，尤其是正态分布资料中，均数与中位数相接近（即
13、 ）。 偏态分布时，均数与中位数相差较大。对某一偏态分布资料，若其中位数与几何均数接近（即 ），则说明此资料为对数正态分布资料。 总之，对称分布（尤其正态或近似正态分）资料应首选均数；对数正态分布资料应首选几何均数；其它分布情况则使用中位数。,24,培训类别,第三节 离散程度的描述,集中趋势和离散趋势是频数分布的两个重要特征，要把两者结合起来才能全面地认识事物。,25,培训类别,离散趋势分析实例,例2.7 三组同性别、同年龄儿童的体重（Kg）如下，分析其集中趋势与离散趋势。 甲组 26 28 30 32 34 甲= 30 Kg 乙组 24 27 30 33 36 乙= 30 Kg 丙组 26
14、29 30 31 34 丙= 30 Kg 三组数据的集中位置都是30 Kg 。但三组数据的离散程度不同，这在分析资料时不能不加以考虑。说明离散程度的指标有极差、四分位数间距、方差、标准差、变异系数等，其中方差、标准差最为常用。,26,培训类别,一、极差（亦称全距range）,它反映一组观察值的波动范围，记作R 。 该指标适用于任何分布类型的资料。但因其只受两侧极端值的影响，故反映一组观察值的变异程度时较粗糙。,27,培训类别,二、四分位数间距（quartile）,四分位数间距（quartile）记作Q 。 公式表达为： Q = QU - QL 式中，QU为上四分位数，即P75； QL为下四分位
15、数，即P25。 四分位数间距可看成中间一半观察值的极差。它和极差类似，数值越大说明变异度越大。 如例2.6中，P25 = 69.12（g/m3），P75 = 145.97（g/m3），故其四分位间距为 Q = QU - QL = 145.97 69.12 = 76.85（g/m3） 该指标的适用条件同中位数，而且通常与中位数（亦称第50百分位数）结合，全面描述偏态及不明分布资料的特征。应用时需注意：当样本含量不够大时，该指标不够稳定，故不宜选用。,28,培训类别,三、方差（variance）,总体方差记作2，样本方差记作S2。计算公式为： 该指标常在方差分析中应用。,29,培训类别,四、标准差
16、（standard deviation）,将方差开平方即为标准差，总体标准差记作 ，样本标准差记作S。标准差的适用条件与均数相同，而且通常与均数结合全面描述正态或近似正态分布资料的特征。 标准差越大，说明变量值越分散，即变异度越大；反之，则说明变量值越集中，即变异度越小，此时样本均数对该组变量值的代表性就越好。,30,培训类别,样本标准差的计算,直接法： 求例2.7中甲、丙两组数据的标准差： 甲组 n = 5， X =26+28+30+32+34 = 150 X2 = 262+282+302+322+342 =4540 S = 3.16 丙组 n = 5 ， X = 150 ， X2 = 45
17、34 ， S = 2.92（kg） 甲组体重的标准差 3.16 kg，大于丙组的 2.92 kg，可见甲组的变异度大于丙组，也就是甲组均数的代表性比丙组均数的代表性差。,31,培训类别,加权法： 例2.8 求表2.2中110名7岁男童身高的标准差。由表2.2，已知f = 110，fx = 13194，再由（3）、（4）栏相乘后求和，得fx2 =1584990 ，代入公式得 =4.72（cm）,32,培训类别,五、变异系数(coefficient of variation),变异系数记作CV。 适用条件： 两观察指标单位不同。 单位相同但均数相差较大。 变异系数是相对数，没有单位。,33,培训类别,计算方法,例2.10 某地20岁男子100名，其身高均数为166.06 (cm)，标准差为4.95 （cm）；体重均数为53.72(kg)，标准差为4.96(kg)。欲比较身高与体重的变异度何者为大，由于度量单位不同，不能直接比较标准差而应比较其变异系数。 依据公式计算如下： 身高 CV = 4.95 / 166.06 100 % =2.98 % 体重 CV = 4.96 / 53.72 100 % = 9.23 % 由此可见，该地20岁男子体重的变异度大于身高的变异度。,34,培训类别,