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1、线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。一、求线性目标函数的取值范围例1、 若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）xyO22x=2y =2x + y =2BAA、2,6B、2,5C、3,6D、（3,5解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A例2. 在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围是（ ）A. 6，15B. 7，15C. 6，8D. 7，8解：由则由题意知A（0，
2、2），B（，），C（0，s），D（0，4）。（1）当时可行域是四边形OABC，此时，；（2）当时可行域是，此时，。由以上可知，正确答案为D。二、求可行域的面积2x + y 6= 0 = 5xy 3 = 0OyxABCMy =2例2、不等式组表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|y|2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）xyOA、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|y|2等价于作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整
3、点个数为13个，选D四、求线性目标函数中参数的取值范围x + y = 5x y + 5 = 0Oyxx=3例4、 已知平面区域D由以A（1，3）、B（5，2）、C（3，1）为顶点的三角形内部和外界组成。若在区域D内有无穷多个点（x，y）可使目标函数取得最小值，则m=（ ）A. B. C. 1D. 4解：由A（1，3）、B（5，2）、C（3，1）的坐标位置知，所在的区域在第一象限，故。当时，z=x，只有一个点为最小值，不合题意。当时，由z=x+my得，它表示的直线的斜率为。（1）若，则要使取得最小值，必须使最小，此时需，即m=1；（2）若m0，则要使取得最小值，必须使最大，此时需与m0矛盾。综上
4、可知，m=1。点评：本题主要考查同学们运用线性规划的基础知识与分类讨论的数学思想综合解决问题的能力。五、求非线性目标函数的最值例6、已知x、y满足以下约束条件，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）2x + y - 2= 0 = 5x 2y + 4 = 03x y 3 = 0OyxAA、13，1 B、13，2C、13， D、，解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2xy2=0的距离的平方，即为，选C六、求约束条件中参数的取值范围O2x y = 0y2x y + 3 = 0例7、已知
5、|2xym|3表示的平面区域包含点（0,0）和（1,1），则m的取值范围是（）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2xym|3等价于由右图可知 ,故0m3，选C例8. 已知变量x，y满足约束条件。若目标函数（其中）仅在点（3，1）处取得最大值，则a的取值范围为_。解：由已知变量满足约束条件，。在坐标系中画出可行域，如图为四边形ABCD，其中A（3，1），。目标函数（其中）可转化为表示斜率为的直线系中的截距的大小，若仅在点A处取得最大值，则斜率应小于，即，所以a的取值范围为（1，）七比值问题当目标函数形如时,可把z看作是动点与定点连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。例 8已知变量x，y满足约束条件则 的取值范围是（ ）.（A），6 （B）（，6，）（C）（，36，） （D）3，6解析 是可行域内的点M（x，y）与原点O（0，0）连线的斜率，当直线OM过点（，）时，取得最小值；当直线OM过点（1，6）时，取得最大值6. 答案A