高考数学一轮复习第十章统计与统计案例10-3变量间的相关关系统计案例学案理练习.pdf

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1、欢迎下载。 1 / 19 高考数学一轮复习第十章统计与统计案例10-3 变量间的 相关关系统计案例学案理练习 考纲展示 ? 1. 会作两个相关变量的散点图，会利用散点图认识变量之间的相 关关系 2了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归系数公式建立 线性回归方程 3了解独立性检验 (只要求22 列联表 )的基本思想、方法及其 简单应用 4了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用 考点 1 变量间的相关关系 1. 常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是 _；与函数关系不同， _是一种非确定性关系 答案：相关关系相关关系 2从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变

2、量的这种相关关系称为_，点散布在左上角到右下角的区域 内，两个变量的相关关系为_ 答案：正相关负相关 对回归系数的理解：解释变量；预报变量 欢迎下载。 2 / 19 某工厂工人月工资y( 元)依劳动产值x( 万元) 变化的回归直线方程 为900 x600，下列判断正确的是 _ 劳动产值为 10 000 元时，工资为 500元； 劳动产值提高10 000 元时，工资提高 1 500 元； 劳动产值提高10 000 元时，工资提高 900元； 劳动产值为 10 000 元时，工资为 900元 答案： 解析：回归系数的意义为：解释变量每增加1 个单位，预报变量 平均增加 b 个单位 . 典题 1 (

3、1) 下列四个散点图中，变量x 与 y 之间具有负的线性 相关关系的是 ( ) A B C D 答案 D 解析 观察散点图可知，只有D 选项的散点图表示的是变量x 与 y 之间具有负的线性相关关系 (2) 四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y 之间的相关关 系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论： y 与 x 负相关且 2.347x 6.423 ； y 与 x 负相关且 3.476x 5.648 ； y 与 x 正相关且 5.437x 8.493 ； y 与 x 正相关且 4.326x4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) 欢迎下载。 3 / 19 A B C D 答案 D

4、 解析 由回归方程 x知，当 0 时，y 与 x 正相关，当 0 时，y 与 x 负相关，一定错误 点石成金 相关关系的直观判断方法就是作出散点图，若散点 图呈带状且区域较窄，说明两个变量有一定的线性相关性，若呈曲线 型也是有相关性，若呈图形区域且分布较乱则不具备相关性 考点 2 线性回归分析 1. 回归分析 对具有 _的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析其 基本步骤是： ()画散点图； ()求_；()用回归直线方程 作预报 答案：相关关系回归直线方程 2回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在_附近，就称这 两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线 答案：一条直线 3回归直

5、线方程的求法最小二乘法 设具有线性相关关系的两个变量x，y 的一组观察值为 (xi ，yi)(i 1,2 ， n) ，则回归直线方程x的系数为：其中i ，yi ， (，) 称为样本点的 _ 答案：中心 欢迎下载。 4 / 19 4相关系数 当 r0 时，表明两个变量 _； 当 r0 时，表明两个变量 _ r 的绝对值越接近于 1，表明两个变量的线性相关性 _ r 的绝对值越接近于 0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关 系通常|r| 大于 0.75 时，认为两个变量有很强的线性相关性 答案：正相关负相关越强 教材习题改编 已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的 中心为 (4,5) ，

6、则回归直线方程为 _ 答案： 1.23x 0.08 解析：设回归直线方程为1.23x ， 因为回归直线必过样本点的中心(x ，y) ， 将点(4,5) 代入回归直线方程得 0.08， 所以所求方程为 1.23x 0.08. 变量的相关关系：散点图；回归直线过( ，) 某工厂经过技术改造后，生产某种产品的产量x( 吨) 与相应的生产 能耗 y( 吨标准煤 )有如下几组样本数据 . x3456 y2.5344.5 据相关性检验， y 与 x 具有线性相关关系，通过线性回归分析，求 得回归直线的斜率为0.7，那么当产量 x10 吨时，估计相应的生产能 耗为_吨标准煤 答案：7.35 解析：先求得 4

7、.5 ，3.5 ，由 0.7x 过点(，) ，得 0.35， 欢迎下载。 5 / 19 所以回归直线方程是 0.7x 0.35. 当 x10 吨时， 70.357.35( 吨标准煤 ) 典题 2 (1) 已知 x，y 的取值如下表，从散点图可以看出y 与 x 线性相关，且回归方程为0.95x ，则 ( ) x0134 y2.24.34.86.7 A.3.25 B2.6 C2.2 D0 答案 B 解析 由已知得 2，4.5， 因为回归方程经过点 ( ，) ， 所以 4.5 0.9522.6. (2) 由某种设备的使用年限xi( 年) 与所支出的维修费yi( 万元) 的 数据资料算得如下结果，90

8、，iyi 112，i 20，i 25. 求所支出的维修费y 对使用年限 x 的线性回归方程 x； ( )判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关； ()当使用年限为 8 年时，试估计支出的维修费是多少 附：在线性回归方程 x中，其中，为样本平均值 解 i 20，i 25， i 4，i 5， 1.2， a 51.240.2. 线性回归方程为 1.2x 0.2. ( )由知， 1.20， 欢迎下载。 6 / 19 变量 x 与 y 之间是正相关 ()由知，当x8 时， 9.8 ，即使用年限为8 年时，支出维 修费约是 9.8 万元 点石成金 1. 正确理解计算，的公式和准确的计算是求线性回 归

9、方程的关键 2回归直线方程 x必过样本点的中心 ( ，) 3在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来 确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通 过线性回归方程来估计和预测. 某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据： 年份20062008201020122014 需求量 ( 万吨 )236246257276286 (1) 利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程x； (2) 利用(1) 中所求出的回归直线方程预测该地2016 年的粮食需求 量 解：(1) 由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升， 下面来配回归直线方程，为此对数据预处理

10、如下： 年份 2 01042024 需求量 25721 1101929 对预处理后的数据，容易算得， x0，3.2 ， b 219429503.2 2242502 6.5 ， 3.2. 由上述计算结果知，所求回归直线方程为 欢迎下载。 7 / 19 y 257(x 2 010) a 6.5(x 2 010) 3.2 ， 即6.5(x 2 010) 260.2. (2) 利用(1) 中所求回归直线方程，可预测2016 年的粮食需求量为 6.5(2 016 2 010) 260.2 6.56260.2299.2( 万吨) 考点 3 独立性检验 1. 分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别

11、，像这 类变量称为分类变量 2列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表假设有两 个分类变量 X和 Y，它们的可能取值分别为x1，x2 和y1，y2，其样 本频数列联表 ( 称为 22列联表) 为 22列联表： y1y2总计 x1abab x2cdcd 总计acbdabcd K2(其中 n_ 为样本容量) ，则利用独立性检验判断表来 判断“X 与 Y的关系” 答案： abcd (1) 教材习题改编 为调查中学生的近视情况，测得某校150 名男 生中有 80 名近视， 140 名女生中有 70 名近视在检验这些学生眼睛近 视是否与性别有关时，最有说服力的方法是_(填序号 ) 回归分析；期望与方

12、差；独立性检验；概率 答案： 欢迎下载。 8 / 19 解析：“近视”与“性别”是两个分类变量，其是否有关，应该 用独立性检验来判断 (2) 教材习题改编 在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数 据、整理分析数据得出“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99% 以上 的把握认为这个结论是成立的，有下列四种说法：100 个吸烟者中至 少有 99 人患有肺癌；1个人吸烟，那么这人有99% 的概率患有肺 癌；在 100 个吸烟者中一定有患肺癌的人；在100 个吸烟者中可 能一个患肺癌的人也没有其中正确说法的序号是_ 答案： 对独立性检验的理解： K2的计算；对 P(K2k0)的解释 2017湖南张家界模

13、拟 某高校教“统计初步”课程的教师随机 调查了选该课程的一些学生的情况，具体数据如下表： 专业 性别 非统计专业统计专业 男1310 女720 为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得 到 K2的观测值 k4.844. 因为 k3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判 断出错的可能性为 _ 附表： P(K 2 k0)0.0500.0100.001 k03.8416.63510.828 答案： 5% 解析： k3.841，查临界值表，得P(K23.841) 0.05，故这种 欢迎下载。 9 / 19 判断出错的可能性为5%. 典题 3 (1) 为了判断高中三年级学

14、生选修文理科是否与性别有 关，现随机抽取 50 名学生，得到 22列联表： 理科文科总计 男131023 女72027 总计203050 已知 P(K23.841) 0.05， P(K25.024) 0.025. 根据表中数据，得到K24.844，则认为选修文理科与性别有关 系出错的可能性约为 _ 答案 5% 解析 由 K24.8443.841. 故认为选修文理科与性别有关系出 错的可能性约为 5%. (2)2017 江西九江模拟 某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩 是否与性别有关，先统计本校高三年级每个学生一学期数学成绩平均 分(采用百分制 ) ，剔除平均分在40 分以下的学生后，共有男生3

15、00 名， 女生 200 名现采用分层抽样的方法，从中抽取了100 名学生，按性 别分为两组，并将两组学生的成绩分为6 组，得到如下所示的频数分 布表. 分数段 40 ， 50) 50 ， 60) 60 ， 70) 70 ， 80) 80 ， 90) 90 ， 100 男39181569 女64510132 估计男、女生各自的平均分( 同一组数据用该组区间中点值作代 欢迎下载。 10 / 19 表)，从计算结果看，数学成绩与性别是否有关； 规定 80 分以上为优分 ( 含 80 分) ，请你根据已知条件作出22 列联表，并判断是否有90% 以上的把握认为“数学成绩与性别有关”. 优分非优分总计

16、 男生 女生 总计100 附表及公式： P(K 2 k0)0.1000.0500.0100.001 k02.7063.8416.63510.828 K2. 解 男 450.05 550.15 650.3 750.25 850.1950.15 71.5， x女450.15550.1 650.125750.25850.325950.0571.5 ， 从男、女生各自的平均分来看，并不能判断数学成绩与性别有关 由频数分布表可知，在抽取的100 名学生中，“男生组”中的 优分有 15 人，“女生组”中的优分有15 人， 据此可得 22列联表如下： 优分非优分总计 男生154560 女生152540 总计

17、3070100 可得 K21.79， 因为 1.792.706 ，所以没有90% 以上的把握认为“数学成绩与性 别有关” 欢迎下载。 11 / 19 点石成金 1. 独立性检验的关键是正确列出22 列联表，并计 算出 K2的值 2弄清判断两变量有关的把握性与犯错误概率的关系，根据题目 要求作出正确的回答 . 2017广西玉林、贵港联考 某市地铁即将于2015 年 6 月开始运 营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随 机抽查了 50 人，他们的收入与态度如下； 月收入 ( 单位： 百元 ) 15 ， 25) 25 ， 35) 35 ， 45) 45 ， 55) 55 ， 6

18、5) 65 ， 75 赞成定 价者人数 123534 认为价 格偏高 者人数 4812521 (1) 若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，求参与调查的人 员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多 少(结果保留 2 位小数 ) ； (2) 由以上统计数据填写下面的22列联表分析是否有99% 的把握 认为“月收入以 55 百元为分界点对地铁定价的态度有差异”. 月收入低于 55 百元的人数 月收入不低于 55 百元的人数 总计 认为价 格偏高者 赞成 定价者 总计 欢迎下载。 12 / 19 附：K2. P(K 2 k0)0.050.01 k03.8416.635 解：(1

19、) “赞成定价者”的月平均收入为 x1 201302403505603704 12 3534 50.56. “认为价格偏高者”的月平均收入为 x2 2043084012505602701 48 125 21 38.75， “赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是1 250.56 38.7511.81( 百元) (2) 根据条件可得 22列联表如下： 月收入低于 55 百元的人数 月收入不低于55 百元的人数 总计 认为价格 偏高者 29332 赞成 定价者 11718 总计401050 K26.270，故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭 人均纯收入逐年增加，平均每

20、年增加0.5 千元 将 2015 年的年份代号 t 9 代入(1) 中的回归方程，得 y 0.592.3 6.8 ， 故预测该地区 2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8 千元 课外拓展阅读 统计案例问题的规范答题 典例 2013福建卷 某工厂有 25 周岁以上 (含 25 周岁)工人 300 名，25 周岁以下工人200 名为研究工人的日平均生产量是否与 年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100 名工人，先统计 了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上 ( 含 欢迎下载。 18 / 19 25 周岁)”和“25 周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产 件数分

21、成5 组：50,60) ，60,70) ，70,80) ，80,90) ，90,100 分 别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图 (1) 从样本中日平均生产件数不足60 件的工人中随机抽取2 人， 求至少抽到一名“ 25 周岁以下组”工人的概率； (2) 规定日平均生产件数不少于80 件者为“生产能手”，请你根 据已知条件完成22 列联表，并判断是否有90% 的把握认为“生产能 手与工人所在的年龄组有关”？ P(K 2 k0)0.1000.0500.0100.001 k02.7063.8416.63510.828 附：K2. 审题视角 由频率分布直方图列举基本事件，结合古典概型， 求概率利

22、用独立性检验公式计算K2. 解 (1) 由已知得，样本中有25 周岁以上组工人60 名，25 周岁 以下组工人40 名所以，样本中日平均生产件数不足60 件的工人 中，25 周岁以上组工人有600.053(人) ，记为 A1，A2，A3；25 周 岁以下组工人有 400.052( 人)，记为 B1，B2. 从中随机抽取2 名工人，所有的可能结果共有10 种，它们是 (A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)， (A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1， B2) 其中，至少有1 名“25 周岁以下组”工人的可能结果共有7 种， 它

23、们是 (A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3， B2)，(B1，B2) 欢迎下载。 19 / 19 故所求的概率 P. (2) 由频率分布直方图可知，在抽取的100 名工人中，“ 25 周岁以 上组”中的生产能手有600.2515(人) ，“25 周岁以下组”中的生 产能手有 400.37515( 人)，据此可得 22列联表如下： 生产能手非生产能手总计 25 周岁以上组154560 25 周岁以下组152540 总计3070100 所以 K2 1.79. 因为 1.792.706 ，所以没有90% 的把握认为“生产能手与工人所 在的年龄组有关” 答题模板 第 1 步：由分层抽样计算两组工人的数目； 第 2 步：由频率分布直方图计算两组不足60 件的人数； 第 3 步：列举 5 人抽取 2 人的基本事件数； 第 4 步，由古典概型计算概率； 第 5 步：统计生产能手与非生产能手，列22列联表； 第 6 步：由公式计算 K2，确定答案 归纳总结 (1) 分层抽样比为，故25 周岁以上有30060(人)，25 周岁 以下的 20040(人) ，然后再根据频率计算“不足60 件”的人数， 并设定符号 (2) 列 22 列联表时，其中的数字应先由频率分布直方图算出后 再列表