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1、毕业论文（设计）学术承诺本人郑重承诺：所呈交的毕业论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不存在抄袭情况，论文中不包含其他人已经发表的研究成果，也不包含他人或其他教学机构取得的研究成果。作者签名： 日 期： 毕业论文（设计）使用授权的说明本人了解并遵守衡水学院有关保留、使用毕业论文的规定。即：学校有权保留或向有关部门送交毕业论文的原件或复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公开论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文及相关资料。作者签名： 指导教师签名： 日 期： 日 期： 论文题目：对称性在积分中的应用摘 要：积分
2、的计算是积分运用中的一个难点。在某些积分的计算过程中，若能利用对称性，则可以简化积分的计算过程。本文介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的几个重要结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性简化重积分，曲线积分，曲面积分的计算方法。另外，对于曲面积分的计算，本文还给出了利用积分曲面关于变量的轮换对称性简化曲面积分的计算，是曲面积分的计算更加便捷。关键词：对称性；积分；应用Title：Application of the symmetry inAbstract：Integration points used in the calculation is a difficu
3、lt point. Certain points in the calculation process, if use of symmetry, you can simplify the integral calculation. This article describes some common points of symmetry in the calculation process and its application in several conclusions, and through an example using the integral area of the symme
4、try and the parity of the integrand to simplify integration, the curve integral, surface integral calculated. In addition, the calculation for the surface integral, the paper also gives the surface integral on the variable use of symmetry simplifies the calculation of surface integrals is the surfac
5、e integral of the calculations are more convenient. Keywords: symmetry; points; application目 录摘 要IAbstract：II1 绪论82 相关的定理及应用82.1 相关的定义82.2.定积分的相关定理及证明92.3.重积分92.3.1二重积分的对称性定理92.4 三重积分121、 空间对称区域122、 空间对称区域上的奇偶函数123 奇偶函数在空间对称区域上的积分122.5曲线积分的对称性132.51第一型曲线积分的对称性定理132.5.2第二类曲线积分的对称性定理152.6.曲面积分的对称性162.
6、6.1第一类曲面积分对称性定理162.6.2第二类曲面积分的对称性定理18小结20参考文献21 1 绪论 积分在数学分析中时相当重要的一项内容，而在计算积分的过程中，我们经常会碰到积分区域或者被积函数具有耨中对称性的题型。那么，如果我们在解题中发掘或注意到问题的对称性，并巧妙地把它们应用到积分的计算过程中去，往往可以简化计算过程，收到意想不到的效果，引起感情激荡，造成感情上的共鸣，更好的感知、理解数学美。特别是对于有些题目，我们甚至可以不用计算就可以直接判断出其结果。在积分计算中利用对称性来解题这种方法，是一种探索性的发现方法，它与其他方法的不同之处主要体现在其创造性功能。因此，掌握和充分利用
7、对称性求积分这一方法，对于活跃和开拓我们学生的创造性思维，提高判断解题能力，探讨解题方法十分有益的。2 相关的定理及应用2.1 相关的定义定义1： 设平面区域为,若点 ,则关于直线对称，对称点与是关于的对称点.若点 ，则关于直线对称，称点与是关于的对称（显然当,对关于,轴对称）定义2: 设平面区域为,若点，则关于对称，称点与是关于的对称点.若点 ，则关于直线对称）注释：空间区域关于平行于坐标面的平面对称；平面曲线关于平行于坐标轴的直线对称；平面曲面以平行于坐标面对称，也有以上类似的定义.2.2.定积分的相关定理及证明定理1：设在区间上可积：若为奇函数，则;若为偶函数，则证明（1）当为奇函数时：
8、令则 所以：2=0 即=0.当是偶函数时：+。所以 。例1：计算积分 解：令则其中为偶函数，则。 令，则； 。2.3.重积分2.3.1二重积分的对称性定理定理1：设有界闭区域,与关于或轴对称.设函数在有界闭区域上连续，那么（）若是关于（或）的奇函数，则=0（）若是关于（或）的偶函数，则=2，注释：设函数在有界闭区域上连续（）若关于轴对称，则其中是的右半部分:=（ii）若D关于x轴对称，则其中是的上半部分：=定理2：设有界闭区域D关于x轴和y轴均对称，函数在D上连续且关和均为偶函数，则其中是的第一象限的部分：=定理3：则设有界闭区域D关于原点对称，函数在上连续，则其中=，=例1：计算，其中D由下
9、列双纽线围成：(1)(2) 解：（1）由于围成的区域关于x轴y轴均对称，而被积函数关于（或轴）为奇函数则有 （2）由围成的区域对称于原点，而被积函数是关于,的偶函数则有=由极坐标知，代入得且由，知则于是=定理4：设有界闭区域D关于对称, 函数在上连续，则=例2：设函数在上的正值连续函数证明：，其中为常数，证明：积分区域D关于对称=设由函数关于两个变量，以上两式相,得，从而一般地，有以下定理： 定理5：设有界闭区域，与关于直线对称，函数在上连续，那么：（）若是关于直线的奇函数，则（）若是关于直线的偶函数，则=2， 2.4 三重积分1、 空间对称区域若对则称空间区域关于面对称，利用相同的方法，可以
10、定义关于另外两个坐标面的对称性。若对，则称空间区域关于z轴对称；利用相同的方法，可以定义关于另外两个坐标面的对称性。若对则称关于坐标原点对称。2、 空间对称区域上的奇偶函数 设是定义在空间区域上的三元函数。若满足关系式，则称是关于z的奇函数；满足关系式，则称是关于z的偶函数。利用相同的方法，可以定义关于x或y的奇、偶函数的定义。若满足关系式，则称是关于x，y的奇函数；满足关系式，则称是关于x，y的偶函数。利用相同的方法可以定义关于y，z或z，x的奇、偶函数的定义。若满足关系式,则称是关于x，y，z的奇函数；满足关系式，则称是关于x，y，z的偶函数。3 奇偶函数在空间对称区域上的积分若空间区域关
11、于面对称，则当在上是z的奇函数时，=0；当在上是z的偶函数时，=2，其中是在面上侧的部分。若空间区域关于z轴对称，则当在上是x，y的奇函数时，=0；当在上是x，y的偶函数时，=2，其中是位于过z轴的平面一侧的部分。若空间区域关于坐标原点对称，则当在上是x，y，z的奇函数时，=0；当在上是x，y，z的偶函数时，=2，其中位于过原点o的平面一侧的部分。例1 计算三重积分，其中是有平面与三个坐标面所围成的四面体解：积分区域关于面对称，被积函数是z的奇函数，所以=0例2 计算三重积分，其中是由曲面及平面 和所围成的空间闭区域。解：积分区域关于z轴对称，被积函数是x，y的偶函数，将在第一象限中的部分记做
12、，则：=2=22.5曲线积分的对称性2.51第一型曲线积分的对称性定理定理7：设平面内光滑曲线,与关于（或）轴对称，函数在上连续，那么：（）若是关于(或)的奇函数，则（）若是关于(或)的偶函数，则=2,注：设平面分段光滑曲线关于轴对称，则 其中是的右半段：=定理8：设平面内光滑曲线,与关于轴对称且方向相反，函数在上连续，那么：（）若是关于的偶函数，则（）若是关于的奇函数，则=2,例4：求曲线积分，其中是单位圆周，方向为逆时针方向解： 曲线积分可分为上,下两个对称的部分，在对称点与上，函数大小相同，但投影元素在上半圆为负，下半圆为正在对称的两个半圆上大小相等，符号相反故类似可知因此定理9：设是平
13、面上关于直线对称的一条曲线弧（）若=,则（）若=,则=2例5：计算，其中是曲线所围成的回路 解： 关于轴及直线对称 设=则=设 =则=即=2.5.2第二类曲线积分的对称性定理定理1：对于第二类曲线积分还需考虑投影元素的符号.当积分方向与坐标正方向之间的夹角小于时，投影元素为正，否则为负.就而言，考察在对称点上的符号定理2：若积分曲线T关于,具轮换对称性，则定理3：设是平面上关于对称的一条光滑曲线弧，+，任意,有，且，在轴投影方向相反，则（）若=-,则（）若=,则=定理4中，若，在轴投影方向相同，其他条件不变，则有（）若=-,则（）若=,则=例：计算=,其中抛物线上从到的一段弧解：= 因为关于对
14、称= 由定理3有= 所以=0，即2.6.曲面积分的对称性 定义1：若有 成立，则称关于具有轮换对称性.定义2：若函数，则称函数关于函数具有轮换对称性.2.6.1第一类曲面积分对称性定理定理1：若积分曲面可以分成对称的两部分，在对称点上被积函数的绝对值相等即光滑曲面关于(或,或)坐标面对称，则有（）,在对称点上取相反的符号即关于 (或,或)的奇函数（）=2，在对称点上取相同的符号即为关于(或,或)的偶函数推论1：若光滑曲面可以分成对称的两部分,且关于原点对称，则（），为关于(或,或)的奇函数（）=8,为关于(或,或)的偶函数例1：计算下列面积的曲面积分，其中为球面上的部分解： 利用对称性知 设=
15、 则= = =例2:计算曲面积分,其中解： 令， 则 ， =关于原点对称，解被积函数=为关于的偶函数由推论1.1= = =定理2：若积分曲面关于,具有轮换对称性，则：= =+例3：计算曲面积分，其中是球面解：如果按照常规方法来解，计算量比较大，如果利用对称函数的特性，非常简捷 球面关于,具有对称性 =2.6.2第二类曲面积分的对称性定理利用对称性计算第二类曲面积分同样需要注意投影元素的符号.现以曲面积分为例来讨论.当曲面指定侧上动点的法线方向与轴正向成锐角时，面积元素在面上的投影为正减钝角时为负.一般地，有如下定理：定理1：若积分曲面可以分成对称的两部分，在对称点上|f|的值相等，则有（），在
16、对称点上取相反的符号（）=，在对称点上的符号相同,对于积分，也有类似的结论定理2：若积分曲面关于,具有轮换对称性，则： =例3：计算，其中是球面的外侧解： 球面关于,具有对称性先计算为此应分别考虑前半球面（记为）及后半球面（记为）上的曲面部分的方程为，它在平面上的投影域为圆域，因此，若用表示前半球面的外侧则有： =对于在后半球面上的曲面积分，由于的方程为：而外侧即后外侧，故关于后半球面外侧（记为）的曲面积分为：因此 小结应用对称性计算积分时应注意以下几点：1.必须兼顾被积函数和积分区域两个方面，只有当两个方面面都具有某种对称性是才能利用，如果只有积分区域具有某种对称性，这时根据具体情况，我们可
17、以把被积函数经过恒等变形使之具有某种对称性，在考虑利用上述结论2.对第二类曲线积分和第二类曲面积分，在利用对称性时，尚需考虑积分路线的方向和曲面的侧，确定投影元素的符号，需慎重3.有些问题利用轮换对称性可得到简便的解答对于重积分，曲线积分，曲面积分等定理的研究，是积分学运用的一个难点.本文在探讨相关定理的同时，特别是巧妙的运用其对称性的特点，通过具体实例对积分运用的几个重要的定理进行了一些列研究，发现积分区域与被积函数二者均具对称性时，运用上述对称性定理可以极大地简化计算过程，尤其对于第二类曲线积分和第二类曲面积分来说，应用此方法能够 方向和曲面侧的讨论，简化了计算的过程，给积分的运算带来了便
18、捷，.在以后的学习中，只要我们能把对称性这个重要的特点结合在实际中，相信一定会达到了事倍功半的效果. 参考文献1 同济大学应用数学系.高等数学M.北京：高等教育出版社.2002.2 北京大学数学科学学院.高等数学辅导M.北京：机械工业出版社.20033 魏平.关于曲线、曲面积分对称性的应用初探J.高等数学研究.1988（1）：30-324 陈云新.对称性在积分中的应用J.数学理论与应用.2000（4）：13-165 徐小洪.对称性在积分计算中的应用J.高等数学研究所.2001（1）：24-27 6 王寿生等编.130所高校研究生高等数学入学试题选解及分析M.沈阳：辽宁科技出版社. 7 王建刚.
19、轮换对称性在解题中的应用J.高等数学研究，2005（2）. 8 朱永厂.例谈数学美在数学解题中的导向功能J.数学通报，2005（2）. 9 张克新.高等数学.M.北京：中国农业出版社，2002. 10 华东师范大学.数学分析M.北京：高等教育出版社，2001. 11 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.北京：高等教育出版社，1993. 12 刘玉琏.傅沛仁.数学分析讲义M.第3版.北京：高等教育出版社，1992. 13 林源渠.方企勤.数学分析解题指南M.北京:北京大学出版社,2003. 14 王式安主编.考研数学基础教程M.北京：航空工业出版社，2004.15 曹荣荣.重几分钟轮换对称的应
20、用J.高等数学研究，2006（9） 16 凌明伟对称法求积分高等数学研究J，2003，6(1)：353817 林源渠高等数学复习指导与典型例题分析M机械工业出版社，200218 张云艳轮换对称性在积分计算中的应用毕节师范高等专科学校学报(综合版)J，2002，20(3)：90-9219 龚冬保数学考研典型题M西安交通大学出版社，200020 陈增政，徐进明利用对称性简化被积函数是线性函数解的计算J工科数学，1994，4(10)：181183谢辞经过半年的忙碌和工作，本次毕业论文设计已经接近尾声，作为一个本科生的毕业论文，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有导师的督促指导，以及一
21、起工作的同学们的支持，想要完成这个设计是难以想象的.在这里首先要感谢我的论文指导老师张璐老师.张老师平日里工作繁多，但在我做毕业设计的每个阶段，从选题到查阅资料，论文提纲的确定，中期论文的修改，后期论文格式调整等各个环节中都给予了我悉心的指导.除了敬佩张老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样，并将积极影响我今后的学习和工作，在此谨向张老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意！在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意!最后我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母，谢谢你们!最后，我要向在百忙之中抽时间对本文进行审阅、评议和参加本人论文答辩的各位师长表示感谢！