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1、初中数学几何问题中证明线段相等的分析方法田家炳实验中学 朱娜证明线段相等是初中数学中一个重要的知识，我们学习全等三角形的目的之一就是为证明线段相等提供一种重要的方法，它对培养学生的逻辑思维能力及推理能力大有益处，同时它也是中考考核的重点知识点之一，此外，有关全等和其它问题的分析方法技巧也很重要，我把它列在例题的分析之中，望读者能够体会分析的方法技巧。下面就证明线段相等的分析方法谈谈我个人的看法，愿与同志们商榷。一、运用“全等” 证明线段相等 要证明相等的两条线段位于两个三角形中，而且这两个三角形具备“全等”的条件时，考虑的分析思路是：运用“全等” 证明线段相等。例1. 如图所示，D是ABC的边
2、AB上一点，ABFC，DF交AC于点E，DEEF，求证：AECE.运用“分析法”分析：此题是AECE相等的问题，这两条线段分别在两个三角形中，而且这两个三角形具备“全等”的条件，所以就考虑 “全等” 来证明AECE.运用“综合法”分析：观察题中给出已知条件DEEF，给了我们一个提示，就是观察含有这些线段的三角形是否全等，由已知条件DEEF，使得我们想到要证明AED与CEF 全等，那么ABP与CQA 全等的条件还缺2个元素，没有边的条件，所以只能找2个角的条件了，由其它的条件ABFC知：AECF，FADE还有AEDFEC（对顶角相等），其中的2个角的条件就够了，进而证出AEDCEF，得出AECE
3、.证明： ABFC AECF， FADE在AED与CEF中AECF （已知）ADEF（已证） AEDCEF（AAS） AECE DEEF （已知）例2. 如图，在ABC中，BD、CE是ABC的高，在BD上取一点P，在CE的延长线上取点Q，使BPAC， ABCQ，探究：AQ与AP的大小和位置上有怎样的关系，并说明你的理由.运用“分析法”分析：此题是探究AQ与AP的大小的关系，大凡这样的问题都是相等；探究AQ与AP的位置的关系，一般这样的问题不是平行就是垂直。运用“综合法”分析：（1）探究AQ与AP的大小的关系，观察已知条件，题中给出的BPAC，ABCQ，又探究AQ与AP的大小的关系，这就给了我们
4、一个提示，观察含有这些线段的三角形是否全等，由已知条件BPAC，CQAB，使得我们想到要证明ABP与CQA 全等，那么ABP与CQA 全等的条件还缺一个元素，由已知的BPAC， ABCQ，使我们知道必须找到夹角等（因为另一边是我们要得到的结论），通过分析，证得夹角相等，进而证出ABPCQA ，所以AQ与AP的大小的关系是AQAP.（2）探究AQ与AP的位置的关系，由图形观察AQ与AP象垂直，那么怎样能证出来呢？要证AQ与AP垂直，就证PAQ900, 这就变成了几何问题中的求角度的问题，而几何问题中的求角度的问题的分析方法是：当题中有带角度的已知条件时，要与题中带角度的已知条件要联系起来，看所求
5、的角度与题中有带角度的已知条件有什么关联，进而求出几何问题中的求角度问题；当题中没有直接的角度的条件时，要与题中图形中的特殊角度条件要联系起来，看所求的角度与题中图形中的特殊角度有什么关系，进而求出几何问题中的角度问题。 而此题中没有直接的带角度的已知条件，因此要观察与图形中的特殊角度条件要联系起来，此题中的特殊角是直角，所以要想办法证得PAQ等于哪个直角或证PAQ900。而由（1）证出的ABPCQA得出BAP AQC，而AQCQAE900 所以QAEBAP900 ，即PAQ900 ，所以AQ与AP的位置的关系是AQAP.解：（1）AQ与AP的大小的关系是AQAP.理由：BD、CE是ABC的高
6、 BDAC， CEAB BDC900, BEC900 ， BDCBEC 而BPEDPC（对顶角相等） ABP ACQ 在ABP与QCA中BPAC（已知） ABP ACQ（已证） ABCQ（已知） ABP QCA （SAS） AQAP（2）AQ与AP的位置的关系是AQAP理由：由（1）ABPCQA得出BAP AQC，而AQCQAE900 所以QAEBAP900 ，即PAQ900 ，所以AQ与AP的位置的关系是AQAP.例3. 如图，等边ABC的边长为a，在BC的延长线上取一点D，使CDb，在BA的延长线上取点E，使AEab，求证：ECED 运用“分析法”分析：（注意与例5的区别）要证明相等的两条
7、线段EC、ED位于同一个三角形中时，考虑的分析思路是：运用“等角对等边”或全等。此题要证明相等的两条线段EC、ED位于同一个三角形中，但由已知的条件很难得到两个底角相等，所以要运用全等来证明.运用“综合法”分析：观察题中给出已知条件：由等边ABC得到B600,ABa，AEab，BE2ab，而BDab，所以延长BD到F，使DFBC，连结EF，则BF2ab，得到BEBF， BEF为等边三角形，EFBE，F600, BF，证得BCEFDE ECED证明：延长BD到F，使DFBC，连结EF，则BF2abABa，AEab， BEABAEaab2abBF，ABC为等边三角形，B600, BEBF， BEF
8、为等边三角形，EF2abBE， F600, BF 在BCE与FDE中BEEF（已证） BF（已证） BCEFDE （SAS） ECED BCFD（已作）二、运用“等量代换” 证明线段相等要证明相等的两条线段位于两个三角形中，但这两个三角形不具备“全等”的条件时，考虑的分析思路是：运用“等量代换” 证明线段相等。例4. （由南宁中考题改编）如图，已知：EGAF， ABAC ，DEDF 求证：BECF运用“分析法”分析：此题是要证明相等的两条线段位于两个三角形中，但这两个三角形 “不全等”时，考虑“等量代换”。运用“综合法”分析：（1）观察已知条件，题中给出的ABAC，提示我们运用等边对等角，得出
9、BACB；又由 EGAF得出 BGEACB ，GEDF （平行模块），运用等量代换得出BBGE，由等角对等边得出BEEG又由已知条件DEDF使得我们想到用1边2角进而证出EDG FDC，得出EGCF再运用等量代换得出BECF.证明： ABAC BACB（等边对等角）又 EGAF BGEACB ，GEDF（平行模块） BBGE （等量代换） BEEG （等角对等边）在EDG与FDC中EDGCDF（对顶角相等） DEDF（已知） GEDF（已证） EDG FDC （ASA） EGCF BECF（等量代换）三、运用“等角对等边” 证明线段相等要证明相等的两条线段位于同一个三角形中时，考虑的分析思路是
10、：运用“等角对等边” 证明线段相等。（注意：并不是要证明相等的两条线段位于同一个三角形中就一定用“等角对等边”来证明，还可能是其他方法，例如运用“全等”。）例5.如图，已知：EGAF， ABAC 求证： BEEG运用“分析法”分析：（注意与例3的区别）此题是要证明相等的两条线段BE、EG位于同一个三角形中，考虑“等角对等边”。运用“综合法”分析：（1）观察已知条件，题中给出的ABAC，提示我们运用等边对等角，得出BACB；又由 EGAF得出 BGEACB ，（平行模块），运用等量代换得出BBGE， 由等角对等边得出BEEG证明： ABAC BACB（等边对等角）又 EGAF BGEACB ，G
11、EDF（平行模块） BBGE （等量代换） BEEG （等角对等边）四、运用“角平分线上的点到角两边的距离相等” 证明线段相等要证明相等的两条线段在角分线上有公共点时，考虑的分析思路是：运用“角平分线上的点到角两边的距离相等” 证明线段相等。例6. 如图在ABC中， ABAC，ADBC，DEAB，DFAC，那么DE与DF相等吗？说明你的理由.运用“分析法”分析：此题是要证明两条线段DE与DF相等，这两条线段在角分线AD上有公共点D，考虑的分析思路是：运用“角平分线上的点到角两边的距离相等”来证明DEDF.运用“综合法”分析：（1）观察已知条件，题中给出的ABAC，提示我们ABC中是等腰三角形，
12、又由ADBC得出，AD是等腰ABC底边的高，所以就是顶角的平分线 ，又因为DEAB，DFAC得出DEDF.解： DEDF.理由： ABAC ABC中是等腰三角形ADBC AD是等腰ABC底边的高， AD还是顶角的平分线 ，又 DEAB，DFAC DEDF（ 角平分线上的点到角两边的距离相等）五、运用“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等” 得出线段相等 当已知条件中有线段垂直平分线或证出线段平分线时，得出线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，这同时也给我们引辅助线做了提示。例7.如图在ABC中， ABAC，BAC1200,AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，求证：BF2CF
13、.运用“综合法”分析：（1）观察已知条件，题中给出的ABAC，提示我们运用等边对等角，得出BC，又由BAC1200 ，得出BC300，运用300角所对的直角边等于斜边的一半得出AFBF，即： BF2 AF，由线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得出BF2 CF.证明： 连结AF ABAC，BAC1200 BC300，（等边对等角） BAF900 AFBF （300角所对的直角边等于斜边的一半） 即： BF2 AF EF是AC的垂直平分线 AFFC（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） BF2 CF （等量代换）例8. 如图，RtABC中，是斜边AB的中点，AD=AC，过点D作DEAB
14、，交BC于E.试说明（1）AE平分；（2）AE=BE.分析：（1）要证AE平分 DAECAERtADERtACE ADE与ACE是直角三角形（2）要证AE=BE. DE是线段AB的垂直平分线 D是斜边AB的中点 且 DEAB（已知）证明：（1） DEAB， ADE900 ADE是直角三角形 C900 ACE是直角三角形在RtADE与RtACE中AD=AC（已知） AEAE（公共边） RtADERtACE（HL） DAECAE AE平分（2） D是斜边AB的中点 且 DEAB DE是线段AB的垂直平分线 AE=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）六、运用“中点”或“中线” 得出线段相
15、等当已知条件中有中点或中线或证出中点或中线时，得出被分成的两段线段相等，同时中线或中点也给我们引辅助线做了提示。例9. 如图，经过ABC的顶点任作一直线AD，自B，C作AD的垂线BD，CE，D、E分别为垂足，M是BC的中点，求证MD ME，试说明的理由.运用综合法分析：观察已知条件，题中给出的M是BC的中点，提示我们得出BMMC，见到中点提示我们延长中线的辅助线，由线段相等提示我们要运用全等，证明其它的线段相等（MEMF），进而得出点M是RtFDE斜边上的中点，所以证得MD ME.解：延长EM、DB交于点F BDAD，CEAD DFEC FMEC又 M是BC的中点 BMMC在BMF与CME中FMEC（已证） BMFEMC（对顶角相等） BMMC（已证） BMFCME （AAS） MEMF 点M是RtFDE斜边上的中点，MD=EF ME.初中数学几何问题中证明线段相等的分析方法田家炳实验中学 教师：朱娜时间：2013-11-18