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1、3.2.33.2.4直线与平面的夹角二面角及其度量学习目标1.理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性.2.会求直线与平面的夹角 .3.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面 角的平面角.4.掌握求二面角的基本方法、步骤知识点一 直线与平面所成的角 1直线与平面所成的角2最小角定理知识点二 二面角及理解1二面角的概念(1)二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面从 一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角如图所示，其中，直线 l 叫做二面角 的棱，每个半平面叫做二面角的面，如图中的 ，.22(2) 二面角的记法
2、：棱为 l，两个面分别为 ， 的二面角，记作 l.如图，A，B， 二面角也可以记作 AlB，也可记作 l.(3) 二面角的平面角：在二面角 l 的棱上任取一点 O，在两半平面内分别作射线 OAl， OBl，则AOB 叫做二面角 l 的平面角，如图所示由等角定理知，这个平面角与 点 O 在 l 上的位置无关(4) 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角(5) 二面角的范围是0，180 2用向量夹角来确定二面角性质及其度量的方法(1)如图，分别在二面角 l 的面 ， 内，并沿 ， 延伸的方向，作向量 n l，n l，1 2则n ，n 等于该二面角的平面角1 2(2)如图，设 m ，m ，则角m
3、 ，m 与该二面角大小相等或互补1 2 1 21直线与平面所成的角 与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角 互余( )2 二面角的大小范围是 0， .( )3 二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小( )题型一 求直线与平面的夹角例 1 已知正三棱柱 ABC-A B C 的底面边长为 a，侧棱长为 2a，求 AC 与侧面 ABB A 所成1 1 1 1 1 1的角解建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，112 3 a a 222222222则 A(0,0,0)，B(0，a,0)，A (0,0， 2a)，C 3 a a， ， 2a ，2 2方法一 取 A B 的中点 M，1 1a则
4、M 0， ， 2a ，连接 AM，MC ，1 3 则MC a，0，0 ，AB(0，a,0)，AA (0,0， 2a) 1 2 1 MC AB0，MC AA 0，1 1 1 MC AB，MC AA ，1 1 1则 MC AB，MC AA .1 1 1又 ABAA A，1MC 平面 ABB A .1 1 1C AM 是 AC 与侧面 ABB A 所成的角1 1 1 1由于AC a， ， 2a ，AM 0， ， 2a ， 1 2 2 a 9aAC AM0 2a ，1 4 4|AC |1|AM|3a a 2a 3a， 4 4a 32a a， 4 29a2 4 3cosAC ，AM .1 3a 23a2
5、 AC ，AM0，180，AC ，AM30， 1 1又直线与平面所成的角在0，90 范围内，AC 与侧面 ABB A 所成的角为 30.1 1 11 3 a 方法二 AB(0，a,0)，AA (0,0， 2a)，AC a， ， 2a .1 1 2 2设侧面 ABB A 的法向量为 n(，y，z)，1 1 n AB0 且 n AA 0.ay0 且 2az0.1yz0.故 n(，0,0) n AC cosAC ，n ，1 2| |n |AC |1 1|cosAC ，n| .1 2又直线与平面所成的角在0，90 范围内，AC 与侧面 ABB A 所成的角为 30.1 1 1反思感悟 用向量法求线面角
6、的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角方法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求 平面法向量与斜线夹角，再进行换算跟踪训练 1 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面为直角梯形，ADBC，BAD90，PA 底面 ABCD，且 PAADAB2BC，M，N 分别为 PC，PB 的中点，求 BD 与平面 ADMN 所 成的角 .解如图所示，建立空间直角坐标系 Axyz，设 BC1，则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2) 则 N(1,0,1)，BD(2,2,0)，2|BD |n|2 2 2 22a a 2 2AD(
7、0,2,0)，AN(1,0,1)，设平面 ADMN 的法向量为 n(x，y，z)， nAD0，则由 nAN0得y0， xz0，取 x1，则 z1，n(1,0，1)， BD n 1cosBD，n ， 8 2 2 1sin |cosBD，n| .又 090，30.题型二 求二面角例 2 在底面为平行四边形的四棱锥 P-ABCD 中，ABAC，PA平面 ABCD，且 PAAB，E 是 PD 的中点，求平面 EAC 与平面 ABCD 的夹角解方法一 如图，以 A 为原点，分别以 AC，AB，AP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 Axyz.设 PAABa，ACb，连接 BD 与 A
8、C，交于点 O，取 AD 中点 F，连接 EF，EO，FO，则 C(b,0,0)，B(0，a,0)BACD，D(b，a,0)，P(0,0，a)，Eb a a b， ， ，O ，0，0 ，OE 0， ， ，AC(b,0,0) OE AC0， 1 a 2 b a a 2 2 22 2 2|m|AP|OEAC，OF BA 0， ，0 ，OF AC0.2 OFAC.EOF 等于平面 EAC 与平面 ABCD 的夹角 OE OF 2cosOE，OF . 2|OE|OF|平面 EAC 与平面 ABCD 的夹角为 45.方法二 建系如方法一，PA平面 ABCD，AP(0,0，a)为平面 ABCD 的法向量，
9、 AE ， ， ，AC(b,0,0)设平面 AEC 的法向量为 m(x，y，z)由得mAE0，mAC0，b a a x y z0， bx0.x0，yz.取 m(0,1,1)， m AP a 2cosm，AP . 2 a 2又平面 EAC 与平面 ABCD 所成角的平面角为锐角， 平面 EAC 与平面 ABCD 的夹角为 45.反思感悟(1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小 (相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐
10、二面角一般是明显的(2)注意法向量的方向：一进一出，二面 角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角跟踪训练 2 若 PA平面 ABC，ACBC，PAAC1，BC 2，求锐二面角 A-PB-C 的余 弦值解如图所示建立空间直角坐标系 Axyz，则 A(0,0,0)，B( 2，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)， 故AP(0,0,1)，AB( 2，1,0)，CB( 2，0,0)，CP(0，1,1)， 设平面 PAB 的法向量为m(x，y，z)，则即 mAP0， mAB0，z0，2xy0，令 x1，则 y 2，故 m(1， 2，0)设平面 PBC 的法向量为 n(x，y，z)
11、，则即nCB0， nCP0，2x0， yz0.令 y1，则 z1，故 n(0，1，1)，m n 3cosm，n .|m|n| 3锐二面角 APBC 的余弦值为33.题型三 空间角中的探索性问题例 3 如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD 为矩形，平面 PAD平面 ABCD.2222 3 32(1) 求证：ABPD；(2) 若BPC90，PB 2，PC2，问 AB 为何值时，四棱锥 PABCD 的体积最大？并求 此时平面 PBC 与平面 DPC 夹角的余弦值(1)证明 因为 ABCD 为矩形，所以 ABAD；又因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，AB 平面 ABC
12、D，所以 AB平面 PAD，故 ABPD.(2)解 过点 P 作 POAD 于点 O.则 PO平面 ABCD，过点 O 作 OMBC 于点 M，连接 PM.则 PMBC，因为BPC90，PB 2，PC2，2 3所以 BC 6，PM ，3设 ABt，则在 POM 中，PO43t ，1 4所以 V t 6 t P ABCD 3 3132 8 6 t ，2 6所以当 t ，即 t 时， 3 32 6V 最大为 .如图， P ABCD 9 1 12 2 2|m|n|5此时 POAB63，且 PO，OA，OM 两两垂直，以 OA，OM，OP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz
13、，则 P 0，0，6 2 6 ，D ，0，0 ，3 3 2 6 6 6 6 C ， ，0 ，B ， ，0 .3 3 3 3 2 6 6所以PD ，0， ，3 3 2 6 6 6 6 6 6 PC ， ， ，PB ， ， .3 3 3 3 3 3设平面 PCD 的法向量为 m(x ，y ，z )，1 1 1则即mPC0，mPD0，2x1y1z10， 2xz 0，令 x 1，则 m(1,0，2)，|m | 5； 1同理设平面 PBC 的法向量 n(x ，y ，z )，2 2 2nPC0，nPB0，即2x2y2z20， xyz 0，令 y 1，则 n(0,1,1)，|n| 2，2设平面 PBC 与平
14、面 DPC 的夹角为 ，显然 为锐角，|m n | 2 10所以 cos .5 2即平面 PBC 与平面 DPC 夹角的余弦值为105.反思感悟 利用空间向量解决空间角中的探索性问题，通常不需要复杂的几何作图，论证，推理，只需先假设结论成立，设出空间的坐标，通过向量的坐标运算进行推断，把是否存在 2 22 1 1 2 21 21PN AM EN EN问题转化为点的坐标是否有解的问题来处理跟踪训练 3如图，已知三棱柱 ABC A B C 的侧棱与底面垂直， AA ABAC 1 ，且1 1 1 1 ABAC，点 M 是 CC 的中点，点 N 是 BC 的中点，点 P 在直线 A B 上，且满足A
15、PA B .1 1 1 1 1 1(1) 证明：PNAM；(2) 当 取何值时，直线 PN 与平面 ABC 所成的角 最大？并求该角最大值的正切值(1)证明 以 A 为坐标原点，AB，AC，AA 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角1坐标系 Axyz，1 1 1则 P(，0,1)，N ， ，0 ，M 0，1， ，从而PN ， ，1 ，AM 0，1， ， 2 1 10 11 0，2 2所以 PNAM.(2)解 过点 P 作 PEAB 于 E，连接 EN， 则 PE平面 ABC，则PNE 为所求角 ，PE 1所以 tan ，1因为当点 E 是 AB 的中点时，EN .min 2ma
16、x21所以(tan ) 2，此时， .利用向量求二面角典例 如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，平面 ABEF 为正方形，AF2FD， AFD90，且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60.(1) 证明：平面 ABEFEFDC；(2) 求二面角 E-BC-A 的余弦值考点 向量法求平面与平面所成的角题点 向量法求平面与平面所成的角(1)证明 由已知可得 AFDF，AFFE，所以 AF平面 EFDC，又 AF平面 ABEF，故平 面 ABEF平面 EFDC.(2)解 过 D 作 DGEF，垂足为 G，由(1)知 DG平面 ABEF.以 G 为坐标原点，GF的方
17、向为 x 轴正方向，|GF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 Gxyz.由(1)知DFE 为二面 角 DAFE 的平面角，故DFE60，则 DF2，DG 3，可得 A(1,4,0)，B(3,4,0)，E(3,0,0)，D(0,0， 3)由已知 ABEF，AB平面 EFDC，EF平面 EFDC，所以 AB平面 EFDC，又平面 ABCD平面 EFDCCD，故 ABCD，CDEF， 由 BEAF，可得 BE平面 EFDC，所以CEF 为二面角 C-BE-F 的平面角，CEF60，从而可得 C(2,0， 3) 所以EC(1,0， 3)，EB(0,4,0)，AC(3，4， 3)，AB(4,0,0
18、)22 nEC0，设 n(x，y，z)是平面 BCE 的法向量，则 nEB0，即x3z0， 4y0.所以可取 n(3,0， 3)mAC0，设 m 是平面 ABCD 的法向量，则mAB0.n m 2 19同理可取 m(0， 3，4)，则 cosn，m .故二面角 E-BC-A 的余弦值为|n |m| 192 19.19 素养评析试题以一个面为正方形的五面体为载体，分层设计问题，由浅入深，给不同基础的考生提供了想象的空间和展示才华的平台第(1)问侧重对立体几何中线面垂直、面面垂直等基础知识的考查，题目比较简单求解第(2)问的关键是充分运用直观想象，把握图形的结构特征，构建空间直角坐标系，并针对运算
19、问题，合理选择运算方法，设计运算程序，解 决问题11已知向量 m，n 分别是直线 l 的方向向量和平面 的法向量，若 cosm，n ，则 l 与 所成的角为( )A30 B60 C120 D150答案 A解析 设 l 与 所成的角为 ，则1sin |cosm，n| .30.2正方体 ABCD-A B C D 中，直线 BC 与平面 A BD 所成的角的正弦值为( )1 1 1 1 1 1A.2 2 6 3B. C. D.4 3 3 2答案 C111 11 1|BC |AC |解析 建系如图，设正方体的棱长为 1，则 D(0,0,0)，A (1,0,1)，B(1,1,0)，C (0,1,1)，A
20、(1,0,0)，1 1 BC (1,0,1)，AC (1,1,1)，A B(0,1，1)，A D(1,0，1) 1 1 1 1 AC A B110，1 1 AC A D110.1 1AC A B，AC A D，又 A BA DA ，1 1 1 1 1 1 1AC 平面 A BD.AC 是平面 A BD 的法向量1 1 1 1 BC AC 6cosBC ，AC . 2 3 31 1直线 BC 与平面 A BD 所成的角的正弦值为 1 163.3已知两平面的法向量分别为 m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角为_ 答案 45或 135解析 设二面角的平面角为 ，1 2cosm，n
21、 ，45或 135.1 2 24正四面体 ABCD 中棱 AB 与底面 BCD 所成角的余弦值为_答案33解析 作 AO底面 BCD，垂足为 O，O 为BCD 的中心，设正四面体的棱长为 a，则 OB3 3 a，ABO 为所求角，cosABO .3 35已知点 A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面 ABC 与平面 xOy 所成锐二面角的余弦值为 _3 2 3 21 21 21 21 2 2答案27 解析 AB(1,2,0)，AC(1,0,3)设平面 ABC 的法向量为 n(x，y，z)由 n AB0，n ACx2y0， 20 知 令 x2，则 y1，z .x3z0.平面
22、 ABC 的法向量为 n 2，1， .平面 xOy 的法向量为OC(0,0,3)所以所求锐二面角|n OC| 2 2的余弦值 cos . 7 7|n |OC| 331 线面角可以利用定义在直角三角形中解决2 线面角的向量求法：设直线的方向向量为 a，平面的法向量为 n，直线与平面所成的角为|an|，则 sin |cosa，n| .|a|n |3二面角通常可通过法向量的夹角来求解，但一定要注意法向量的夹角和二面角的大小关系一、选择题1若直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于150，则直线 l 与平面 所成的角等于( ) 5A. B. C. D以上均错6 3 6答案 B解析 直线 l 与平
23、面 所成的角范围是 0， .2直线 l ，l 的方向向量分别是 v ，v ，若 v 与 v 所成的角为 ，直线 l ，l 所成的角为 ， 则( )ACcos |cos |B Dcos |cos |答案 D解析 或 ，且 0， ，因而 cos |cos |.3已知在正四棱柱ABCDA B C D 中，AA 2AB，则 CD 与平面 BDC 所成角的正弦值是( )1 1 1 1 1 12 3 2 1A. B. C. D.3 3 3 3答案 A解析 以 D 为原点，分别以 DA，DC，DD 为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标1系 Dxyz.设 AA 2AB2，1则 B(1,1,0)
24、，C(0,1,0)，D(0,0,0)，C (0,1,2)，1 故DB(1,1,0)，DC (0,1,2)，DC(0,1,0)，1设平面 BDC 的法向量为 n(x，y，z)，1nDB0， xy0，则 即nDC10， y2z0，令 z1，则 y2，x2，所以 n(2，2,1)设直线 CD 与平面 BDC 所成的角为 ，1 |n DC| 2则 sin |cosn，DC| . 3|n |DC|4.已知在棱长为 2 的正方体 ABCDA B C D 中，E 是 DC 的中点，建立如图所示的空间直角1 1 1 1坐标系 Cxyz，则 AB 与 ED 所成角的余弦值为( )1 1A.10101 11 1|
25、AB |ED |B.105C D 1010105答案 A解析 A(2,2,0)，B (2,0,2)，E(0,1,0)，D (0,2,2)，1 1 AB (0，2,2)，ED (0,1,2)，1 1 |AB |2 2，|ED | 5，1 1 AB ED 0242，1 1 AB ED 2 10 cosAB ，ED ， 2 2 5 10 1 1AB 与 ED 所成角的余弦值为 1 110.105在边长为 1 的菱形 ABCD 中，ABC60，将菱形沿对角线 AC 折起，使折起后 BD1， 则二面角 BACD 的余弦值为( )1 1 2 3 3A. B. C. D.3 2 3 2答案 A解析 设菱形对
26、角线 AC 与 BD 交于 O 点，则BOD 为二面角 BACD 的平面角，由余弦1定理可得 cosBOD .36A，B 是二面角 l 的棱 l 上两点，P 是平面 上一点，PBl 于 B，PA 与 l 成 45角， PA 与平面 成 30角，则二面角 l 的大小是( )A30 B60 C45 D75答案 C解析 如图，作 PO 于 O，连接 AO，BO，则PAO 为 PA 与平面 所成角，PBO 为二面角 l 的平面角，由PAO30，PAB45，取 PA2a，则 POa，PB 2a， PO 2sinPBO ，PBO45.PB 22 2 2180 22852 2二、填空题7平面 的一个法向量
27、n (1,0,1)，平面 的一个法向量 n (3,1,3)，则 与 所成的角1 2是_答案 90解析 由于 n n (1,0,1)(3,1,3)0，1 2所以 n n ，故 ， 与 所成的角是 90.1 28若二面角内一点到两个面的距离分别为 5 和 8，两垂足间的距离为 7，则这个二面角的大 小是_答案 60或 120解析 设二面角大小为 ，由题意可知|cos |8 5 7 | 642549 ，1所以 cos ，所以 60或 120.9在矩形 ABCD 中，AB1，BC 2，PA平面 ABCD，PA1，则 PC 与平面 ABCD 所成 的角是_答案 30解析 建立如图所示的空间直角坐标系 A
28、xyz，则 P(0,0,1)，C(1， 2，0)，PC(1， 2， 1)，平面 ABCD 的法向量为 n(0,0,1)， 所以 cosPC，nPC n 1 ， |PC|n |22222 2 22所以PC n 120，所以斜线 PC 与平面 ABCD 的法向量所在直线所成的角为 60，所以斜线 PC 与平面 ABCD 所 成的角为 30.10在正三棱柱 ABCA B C 中，侧棱长为 2，底面边长为 1，则 BC 与侧面 ACC A 所成1 1 1 1 1 1的角是_.答案6解析 在正三棱柱 ABCA B C 中，取 AC 的中点 O，连接 OB，OBAC，1 1 1则 OB平面 ACC A ，
29、1 1BC O 就是 BC 与平面 AC 所成的角OB 1 1 13，BC 3， 2 1OB 1sinBC O ，1 BC 21BC O .1 6三、解答题11二面角的棱上有 A，B 两点，直线 AC，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂 直于 AB.已知 AB4，AC6，BD8，CD2 17，求该二面角的大小解 由题意知，CA AB0，AB BD0， CDCAABBD， |CD| |CA| |AB| |BD| 2CA AB2AB BD2CA BD 6 4 8 268cosCA，BD(2 17) . 1cosCA，BD ，2 又CA，BD0，180， CA，BD120， 22 2 2
30、226二面角的大小为 60.12.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PD平面 ABCD.PDDC，E 是 PC 的中点求 EB 与平面 ABCD 夹角的余弦值解 取 CD 的中点 M，则 EMPD， 又PD平面 ABCD，EM平面 ABCD，BE 在平面 ABCD 上的射影为 BM，MBE 为 BE 与平面 ABCD 的夹角 如图建立空间直角坐标系 Dyxz，设 PDDC1，则 P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，1 1 1M 0， ，0 ，E 0， ， ，1 1 1BE 1， ， ，BM 1， ，0 ， BE BMcosBM，BE |BE|BM|
31、114 30 ，3 52 2EB 与平面 ABCD 夹角的余弦值为306.13.如图，在直棱柱 ABC-A B C 中，D，E 分别是 AB，BB 的中点，AA ACCB1 1 1 1 122AB. (1)证明：BC 平面 A CD；1 1(2)求二面角 D-A C-E 的正弦值1(1)证明 连接 AC ，交 A C 于点 F，连接 DF，则 F 为 AC 的中点，因为 D 为 AB 的中点，1 1 1所以 DFBC ，1又因为 DF平面 A CD，BC 平面 A CD，1 1 1所以 BC 平面 A CD.1 1(2)解 由 AA ACCB12AB，2可设 AB2a，则 AA ACCB 2a
32、，1所以 ACBC，又由直棱柱知 CC 平面 ABC，所以以点 C 为坐标原点，分别以 CA，CB，1CC 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Cxyz 如图1则 C(0,0,0)，A ( 2a，0, 2a)，D12 2 a， a，0 ，2 2E 0，2a，2 a ，CA ( 2a,0, 2a)， 2 1 2 2 CD a， a，0 ，CE 0，2 22a，2 a ，2 2 A E 2a， 2a， a .1 2设平面 A CD 的法向量为 n(x，y，z)， 1 则 n CD0 且 n CA 0，133，0，0 ，F 0，0， ， 0， ，0 ，D ，0，0 .BC 1 3
33、 1 2可解得 yxz，令 x1，得平面 A CD 的法向量为 n(1，1，1)， 1同理可得平面 A CE 的法向量为 m(2,1，2)，1则 cosn，m3，又因为n，m0，180，所以 sinn，m6，所以二面角 D-A C-E 的正弦值为16.314.如图所示，已知点 P 为菱形 ABCD 外一点，且 PA平面 ABCD，PAADAC，点 F 为 PC 的中点，则二面角 C-BF-D 的正切值为( )A.36B.34C.332D. 33答案 D解析 如图所示，连接 BD，ACBDO，连接 OF.以 O 为原点，OB，OC，OF 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz.设 PA AD AC 1 ，则 BD 3. 所以 3 1 1 3 2 2 2 2 结合图形可知， OC 0， ，0 且OC为平面 BOF 的法向量，由 BC ， ，0 ，FB2 23 3 3 3 3 3 3 1，0， ，2 2可求得平面