大学物理-力学中的刚体1.pdf

《大学物理-力学中的刚体1.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大学物理-力学中的刚体1.pdf（32页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、第二章第二章第二章第二章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动 1 刚体的运动刚体的运动 一、刚体（一、刚体（rigid body）：特殊的质点系，形状和体积不变化。）：特殊的质点系，形状和体积不变化。 理想化的模型。理想化的模型。 1. 平动（平动（translation）时，刚体上任意两点间的连线始终）时，刚体上任意两点间的连线始终 保持平行，其上所有点运动都相同。保持平行，其上所有点运动都相同。 二、平动与转动二、平动与转动 A BC A A B B C C 平动可以用质心的运动来代表。平动可以用质心的运动来代表。 平动和转动，可以描述所有质点系的运动。平动和转动，可

2、以描述所有质点系的运动。 2. 转动（转动（rotation） 最简单的是定轴转动（最简单的是定轴转动（ rotation about a fixed axis ) 转轴转轴 1 2 3 可以用质心的平动加绕质心的 转动来分析刚体的运动 可以用质心的平动加绕质心的 转动来分析刚体的运动 利用平动利用平动+转动，可以描述 所有质点系的运动。 转动，可以描述 所有质点系的运动。 三、角速度和角加速度三、角速度和角加速度 A0 (t =0) A A 1. 角速度角速度(angular velocity) ? : 位置角位置角 angular position ：角位移：角位移 (angular di

3、splacement) 对于刚体上各点相同对于刚体上各点相同 单位：弧度单位：弧度(rad) O A A角速度角速度(angular velocity) A0 (t = 0) ? 大小：大小： 方向：方向： tt t d d lim 0 = 与转动方向成右手螺旋关系与转动方向成右手螺旋关系. 转速转速 n（转分）（转分）( rmin) n n 30 60 2 = 角速度的唯一性角速度的唯一性 刚体在一个时刻只有一个角速度，角速度属于整个刚体； 从刚体上任意一点看，周围所有的质点均以同一角速度旋转。 刚体在一个时刻只有一个角速度，角速度属于整个刚体； 从刚体上任意一点看，周围所有的质点均以同一角

4、速度旋转。 const. = = = += += = += += )(2 )( 0 2 0 2 2 2 1 00 0 tt t 例：匀加速定轴转动例：匀加速定轴转动 td d = = 2 2 d d t = =大小：大小： ? 2. 角加速度角加速度(angular acceleration) ? ( rads 2 ) td d ? ? = = 同向与同向与 ? ? 反向与反向与 ? ? 方向：方向： 3. 角量与线量的关系角量与线量的关系 对于定轴转动对于定轴转动 r = =v ra = = t ra 2 n = = t a d d t v = = : 位置角位置角 ：角位移：角位移 td

5、d = = td d ? ? = = 方向：方向： 与转动方向成右手螺旋关系与转动方向成右手螺旋关系 td d = = 2 2 d d t = = r = =vra = = t ra 2 n = = 角量与线量的关系角量与线量的关系 定轴刚体转动角速度的方向？角加速度的方向？定轴刚体转动角速度的方向？角加速度的方向？ 转轴转轴 小结小结 刚体运动的描述刚体运动的描述 2 2 定轴转动刚体的角动量与转动惯量定轴转动刚体的角动量与转动惯量定轴转动刚体的角动量与转动惯量定轴转动刚体的角动量与转动惯量 mi ri 一、刚体对转动轴的角动量（一、刚体对转动轴的角动量（Angular momentum)

6、2 () i iO Oii m rrm = + ? = + ? v () iiii Lrm = ? = ? ? ? ? v i v ? i r ? 转轴转轴 O O i r ? ? 任取质元 任取质元 mi，它对，它对O点角动量为点角动量为 ()() iO Oii rrm =+ =+ ? ? v O O r ? ? ()() iiiO Oii rmrm = + = + ? ? vv 质元对质元对O 点的角动量点的角动量 沿转轴方向的分角动量沿转轴方向的分角动量 2 izi i Lm r = = ? ? ? ? ri：是质元到转轴的垂直距离。：是质元到转轴的垂直距离。 ? ? iz i LL=

7、= ? = i iir m ? 2 2 () i i i Lm r = ? ? ? ? 若质量连续分布若质量连续分布 ? ? )d( 2 = = V mrL ? J= = ? ? JL = = mi ri i v ? i r ? 转轴转轴 O O i r ? ? O O r ? ? 定轴转动刚体的定轴转动刚体的角动量（指沿转轴方向的）角动量（指沿转轴方向的）为为 ri：是质元到转轴的垂直距离。：是质元到转轴的垂直距离。 ? ? ? ? JL = = 二、二、转动惯量转动惯量 J(moment of inertia) 1. 定义定义 = = V mrJd 2 刚体对于转轴的转动惯量 刚体对于转轴

8、的转动惯量 离散型质量分布离散型质量分布 = i ii rmJ 2 m1 m2 m3 m4 r1 r2 r3 r4 2 44 2 33 2 22 2 11 rmrmrmrmJ+=+= 单位：千克单位：千克米米2kg m2 例：例： = = V mrJd 2 讨论讨论 1. r : 质量元质量元dm 到转轴的垂直距离到转轴的垂直距离. 设刚体的密度为设刚体的密度为 V m d d = = = = V VrJd 2 2. J 是由刚体各质元相对于固定轴的分布决定的， 与刚体的运动及所受的外力无关。 是由刚体各质元相对于固定轴的分布决定的， 与刚体的运动及所受的外力无关。 （1）与刚体的质量有关；）

9、与刚体的质量有关； （2）质量一定时，）质量一定时，J 与质量相对于转轴的分布有关；与质量相对于转轴的分布有关； （3）与转轴位置有关。）与转轴位置有关。 3 3 转动惯量的计算转动惯量的计算转动惯量的计算转动惯量的计算 2 () i i Jm r = 分立分立 dmm r = m mrJ)( d 2 连续连续 V m d d = = Vmdd = = s m d d = = smdd = = l m d d = = lmdd = = 体分布体分布 面分布面分布 线分布线分布 1.转动惯量的计算转动惯量的计算 例：求均匀细杆的转动惯量（长例：求均匀细杆的转动惯量（长 l，质量，质量 m，转轴，

10、转轴 O）。）。 O 解：解： x dm 线密度线密度 l m = = dm = dx = =mrJd 2 = = l xx 0 2 d 3 3 1 l = = 2 3 1 ml= = 若转动轴在杆的中心若转动轴在杆的中心 l x 0 3 3 1 = = 2 2 3 3 1 l l xJ = = 2 12 1 ml= = O 例：求质量为例：求质量为 m ,半径为半径为 R 的匀质薄圆环的转动惯量。（轴与 圆环平面垂直，并过圆心） 的匀质薄圆环的转动惯量。（轴与 圆环平面垂直，并过圆心） O = =mrJd 2 解：解： dm 22 dmRmR= 对圆筒对圆筒 = =mRJd 22 mR= =

11、 例：求质量为例：求质量为 m ,半径为半径为 R 的匀质薄圆筒对它的轴的转动惯 量。 的匀质薄圆筒对它的轴的转动惯 量。 解：解： 例：求质量为例：求质量为 m ,半径为半径为 R 的匀质薄圆盘的转动惯 量。（轴与圆盘平面垂直，并过圆心） 的匀质薄圆盘的转动惯 量。（轴与圆盘平面垂直，并过圆心） 解：解： r = =mrJd 2 rrmd2d = = = = R rrrJ 0 2 d2 = = R rr 0 3d 2 4 2 1 R = = 2 R m = = 2 2 1 mR= = O 例：求质量为例：求质量为 m, 半径为半径为 R、厚度为、厚度为 l 的匀质圆盘的转动惯量。 （轴与圆环

12、平面垂直，并过圆心） 的匀质圆盘的转动惯量。 （轴与圆环平面垂直，并过圆心） 解 ：解 ： 2 2 1 mRJ = = 2. 平行轴定理平行轴定理The parallel- axis theorem 建立坐标系，原点置于质心处。轴垂直屏幕。建立坐标系，原点置于质心处。轴垂直屏幕。 对过对过A点且平行于点且平行于Z 轴 的转轴，刚体的转动惯量为轴 的转轴，刚体的转动惯量为 +=+= i iii yyxxmJ)()( 2 A 2 A )(22)( 2 A 2 AAA 2 i 2 yxmymyxmxyxm i i i ii i ii i ii +=+= )(00)( 2 A 2 A 2 i 2 yx

13、myxm i i i ii +=+= 2 C mdJJ+=+= 4 4 刚体的定轴转动定律及其应用刚体的定轴转动定律及其应用刚体的定轴转动定律及其应用刚体的定轴转动定律及其应用 一、刚体的定轴转动定律 对质点 一、刚体的定轴转动定律 对质点 t L M d d ? ? = = 对刚体对刚体 = = i LL ? t L MM d d ? ? =+=+ 内外内外 对所有质点求和对所有质点求和 i F ? i f ? 一对内力力矩的大小一对内力力矩的大小 ij f ? ji f ? i r ? j r ? O jijiji frfr ? ? ? ? +=+= jiij ff ? = = ijji

14、frr ? ? =)(=0 M ? 合外力矩合外力矩 t L MM d d ? ? =+=+ 内外内外 i j t L M d d ? ? = = 外外 内力矩之和为零内力矩之和为零 作用于刚体上的合外力矩等于刚体角动量对时间的变化率。作用于刚体上的合外力矩等于刚体角动量对时间的变化率。 t L M d d ? ? = = 外外 JLz= = JM= = 外外 t L M z z d d = = 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 对于定轴转动的刚体，沿转轴方向得到对于定轴转动的刚体，沿转轴方向得到 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 Z JM= = 外外 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律

15、 讨论讨论1. amF ? ? = = mJaFM, M相同，相同，J 越大，越大， 越小，越小， J反映了定轴转动刚体的惯性。反映了定轴转动刚体的惯性。 2. M，两者方向相同。两者方向相同。 3.转动第一定律转动第一定律M = 0， = 0 刚体保持原有的角速度不变。刚体保持原有的角速度不变。 静止的仍静止，转动的保持角速度不变。静止的仍静止，转动的保持角速度不变。 F ? o r ? F ? ? / F ? ? z r ? r ? O FrM oo ? ? ? = / () oo MrFF =+ ? =+ ? ? ? /oo rFrF = =+ ? + ? ? ? ? 垂直于转轴垂直于转

16、轴 / () zo rrFrF = =+ ? ? ? ? ? ? ? /zo rFrFrF =+ ? =+ ? ? ? ? ? z MrF = ? ? ? ? ? Z 关于力矩沿转轴分量的讨论关于力矩沿转轴分量的讨论 O 平行于转轴，不会使刚体绕轴转动。 平行于转轴的力，对转轴的力矩为零。 平行于转轴，不会使刚体绕轴转动。 平行于转轴的力，对转轴的力矩为零。 r F ? 若外力在垂直于转轴的平面内若外力在垂直于转轴的平面内 r ? F ? FrM ? ? ? = 若外力不在垂直于转轴的平面内若外力不在垂直于转轴的平面内 F ? / F ? / FFF ? +=+= F ? / F ? ? Mr

17、F = ? ? ? ? ? 结论结论: 对于对于定轴转动定轴转动的刚体的刚体 sinrFM = =Fd= = d :力臂力臂 d 例：已知：轮例：已知：轮 R = 0.2m ,物体质量,物体质量 m = 1= 1kg，v0 = 0, ,h = 1.5m, 绳子与轮子间无相对滑动，绳子不可伸长，下落时间 , 绳子与轮子间无相对滑动，绳子不可伸长，下落时间 t = 3s。 求：轮对 。 求：轮对O 轴的转动惯量轴的转动惯量J = ？ 解： ？ 解： 定轴定轴O 5 转动定律应用举例转动定律应用举例 R t h m v0=0 绳绳 m 对轮：对轮：T R = J 对对m : mg T = m a R

18、 a = = 2 2 1 ath = = 2 2 )1 2 (mR h gt J= gm ? TT ? = = a ? N T G R =1.14 （kg m2） 分析：分析： 1. h、m一定，一定， ，正确。，正确。2. 若若J = = 0 ，得，得 J t ，合理；，合理； 2 2 )1 2 (mR h gt J= 2 2 2 . 01)1 5 . 12 3 . 08 . 9 ( = = 2 2 1 gth = = mg mRJ J T 2 + = + = g mRJ mR a 2 2 + = + = 3. 物体的运动物体的运动 若若J mR2, T mg and a 0 例：长度为例：

19、长度为 l，质量为，质量为 m 的均匀细棒，在竖直平面内摆动。棒 最初处于水平位置，求它下摆到 的均匀细棒，在竖直平面内摆动。棒 最初处于水平位置，求它下摆到 角时的角加速度和角速度。角时的角加速度和角速度。 解：解： dm x mgxMdd= = = =mxgMd c mgx= = m mx x = = d c cos 2 1 mgl= = 由转动定律由转动定律 JM = = 2 3 1 mlJ = = J M = = l g 2 cos3 = = 方向：方向： td d = = d d d d d d = t dd= = = = 00 dd = = 0 2 d 2 cos3 2 1 l g

20、 l g sin3 = = dm x 例：轻绳下挂一半径为例：轻绳下挂一半径为 R、质量为、质量为 M 的滑轮的滑轮 P ，如图 。轴处摩 擦忽略。 ，如图 。轴处摩 擦忽略。P上跨一长度变化可忽略的轻绳，绳两端挂上跨一长度变化可忽略的轻绳，绳两端挂m1、m2，且，且 m1 m2，求：，求：m1、m2 的加速度，悬挂的加速度，悬挂m1、m2绳子的张力。绳子的张力。 m2 m1 m2 Tp T2T1 T2 m2g m1 T1 m1g a2 a1 x 轻滑轮轻滑轮T1 = T2 =T 绳子不可伸长绳子不可伸长a1 = a2= a m1g T1= m1a T2m2g = m2a 解：解： Mg M1

21、M2 JRTRT= = 21 2 2 1 MRJ = = Raa= = = t 绳子与轮间无相对滑动绳子与轮间无相对滑动 P m1g T1= m1a T 2m2g = m2a JRTRT= = 21 2 2 1 MRJ = = Raa= = = t ) 2 1 ( )( 21 21 Mmm gmm a + = + = ) 2 1 ( ) 2 1 2( 21 21 1 Mmm gMmm T + + = + + = ) 2 1 ( ) 2 1 2( 21 12 2 Mmm gMmm T + + = + + = RMmm gmm ) 2 1 ( )( 21 21 + = + = 如图所示，如图所示，A、B为两个相同的绕着轻绳的定滑轮。为两个相同的绕着轻绳的定滑轮。A 滑轮挂一质量为滑轮挂一质量为的物体，的物体，B 滑轮受拉力滑轮受拉力F，而且，而且FMg。 设、 。 设、B两滑轮的角加速度分别为两滑轮的角加速度分别为 A和 和 B，不计滑轮轴的 摩擦，则有 ，不计滑轮轴的 摩擦，则有 (A) A= B (B) A B (C) A B (D) 开始时开始时 A = B， ， 以后以后 A B A B MF 答案： （答案： （C） #mechrb1