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1、1.4 1.4 角动量角动量角动量角动量 Angular Momentum of a Particle prL ? ? = sinrmLv= = 方向：方向： 大小大小: 惯性系中具有动量的质点 对某一固定点的角动量为： 惯性系中具有动量的质点 对某一固定点的角动量为： p ? p ? r ? O L ? 1.4.1 质点的角动量质点的角动量 右手螺旋法则。右手螺旋法则。垂直于位矢和动量确定的平面。垂直于位矢和动量确定的平面。 单位：单位：kg m2/s yzx zpypL = = zxy xpzpL = = xyz ypxpL = = 直角坐标系中直角坐标系中 Ox y 1 2 3 Exam
2、ple Particles 1, 2, and 3 have equal masses and equal speeds. The angular momentum with respect to the origin for these three masses is A) the same for each particle. B) greatest for particle 1. C) greatest for particle 2. D) greatest for particle 3. E) least for particle 2. Ans: C 例：一质点质量为例：一质点质量为1
3、200kg，沿，沿 y = 20m的直线以的直线以15m/s的速率 在 的速率 在xOy平面内运动，方向沿平面内运动，方向沿x轴负向。求它对坐标系原点轴负向。求它对坐标系原点O的 角动量 。 的 角动量 。 x y O v ? r ? 20m 解解1：L = r mv sin = ymv L =3.6105kgm2/s kL 106 . 3 5 = ? (kgm2/s) 解解2：prL ? ? = =) () (ij yi xmv+=+= kmy v= = k )15(120020= O 例：一质点在例：一质点在xy平面内绕平面内绕O点作逆时针圆周运动。已知圆的半 径为 点作逆时针圆周运动。已
4、知圆的半 径为r，质点的质量为，质点的质量为m，角速度的大小为，角速度的大小为 。求它对于圆心的 角动量。 。求它对于圆心的 角动量。 v ? r ? x O y 解：解： prL ? ? = =kmr v= =kmr 2 = = ? 2 mr= = 例： 一质量为例： 一质量为m的质点在的质点在xOy 平面内以角速度平面内以角速度 沿圆心位于沿圆心位于O 点、半径为点、半径为r 的圆周运动，方向如图所示。求：该质点相对于的圆周运动，方向如图所示。求：该质点相对于O 点正下方点正下方O 点的角动量在点的角动量在z轴上的分量轴上的分量Lz。 O v ? r ? r ? d ? O 解：解： pr
5、L ? ? =v ? ? ? +=+=)(drm vv z ? ? ? +=+=dmrmrvkv mdrm= rk 2 ? mdmr= 2 mrL z = = 质点相对于质点相对于z轴上的各个点的角动量不同轴上的各个点的角动量不同 质点相对于质点相对于z轴上的各点的角动量沿轴上的各点的角动量沿z轴的 分量相同 轴的 分量相同 L ? 定义：力对于 固定点定义：力对于 固定点O 的力矩的力矩 M ? 方向方向: 右手定则右手定则 FrM ? ? ? = = 大小大小: sinrFM = =Fd= = d : 力臂力臂 ? r F ? O d F ? ? M ? ? 单位单位: Nm yzx zF
6、yFM = = zxy xFzFM = = xyz yFxFM = = 直角坐标系中直角坐标系中 t p rp t r t L d d d d d d ? ? ? ? +=+= t L M d d ? ? = = 1.4.2 角动量定律角动量定律 Frp ? ? +=+= v FrM ? ? ? = = 合力矩：合力矩： prL ? ? = 角动量定律角动量定律 Fr ? ? = = 1. 质点的角动量定律质点的角动量定律 2. 2. 质点系的质点系的质点系的质点系的角动量定理角动量定理角动量定理角动量定理 +=+= ji ijiii fFrM)( ? ? ? 内力矩内力矩 = iji iji
7、 frM)( in ? ? ? jijiji frfr ? ? ? ? + = i ii i i i i L t FrMM)( d d ? ? ? i j O i p ? i r ? j r ? i F ? ij f ? ji f ? ijji frr ? ? =)(为零为零 0 in = =M ? t L M d d ? ? = = t Li d d ? = = 合外力矩合外力矩 )( ijjiji frfr ? ? ? ? +=+= 1.4.3 角动量守恒定律角动量守恒定律 (Conservation of Angular Momentum) 0= =M常矢量= 常矢量=L ? sinrm
8、Lv= = 是常量，得到了开普勒第二定律。是常量，得到了开普勒第二定律。 行星受力方向与矢径在一条直线 （中心力），故角动量守恒。 行星受力方向与矢径在一条直线 （中心力），故角动量守恒。 t L M d d ? ? = = 1 ds sin 2 2 d r m t = = A: 阴影面积阴影面积 合合外力矩为零外力矩为零，质点系总角动量守恒。，质点系总角动量守恒。 m ? Lv ? ? r ds sin d d r t s m= = d 2 d A m t = = 考虑行星做椭圆运动时，对于恒星考虑行星做椭圆运动时，对于恒星O点的角动量点的角动量 d d A t O 例： 两个小球固定在长为
9、例： 两个小球固定在长为 a 的的轻质轻质细杆两端，静止于光滑水平面 内。杆可在水平面内绕过其中点的轴自由转动。一泥球以水平速 度 细杆两端，静止于光滑水平面 内。杆可在水平面内绕过其中点的轴自由转动。一泥球以水平速 度v0， 垂直于杆的方向与一个小球碰撞，碰后二者粘在一起。设 两小球和泥球的质量均为 ， 垂直于杆的方向与一个小球碰撞，碰后二者粘在一起。设 两小球和泥球的质量均为 m，求碰撞后杆转动的角速度。，求碰撞后杆转动的角速度。 O m1 m2 m3 v1 v2 v3 解：解： 相对于杆中点，小球相对于杆中点，小球+泥球泥球+杆系统的合外力矩为零，系统 的角动量守恒。 杆系统的合外力矩为
10、零，系统 的角动量守恒。 323222111023 vvvv + + + + = =rmrmrmrm 2 321 a =vvv mmmm= = = = 213 2 21 a rr= a3 2 0 v = = 1 r 思考：系统的动量是否守恒？思考：系统的动量是否守恒？ ? 2 r ? v0 = i ii prL ? ? ii rrr + += = ? c cc prLL ? ? +=+= = i i L ? = i iiir mv ? ii vvv + += = ? c +=+= i iii rrm)()( cc vv ? iiiiiii rmrmmrmrvvvv += += ? cccc )
11、()( c L ? 零零零零 p ? 质心系：质心系： z y x x y z mi i r ? i r ? C O O c r ? 0 d d c = P t r ? ? cc prLL ? ? +=+= d )(d d d d d cc t pr t L t L ? ? += +=p t r t p r t L? ? ? ? + d d d d d d c c c = = t p r t L t L d d d d d d c c ? ? ? +=+=M ? = = = ii FrM ? ? ? ii Frr ? ? +=+= )( c t p rFr i i d d c ? ? ? ? +=+= c M ? +=+= iii FrFr ? ? ? ? c 质心系中：质心系中： t L M d d c c ? ? = =