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1、2016年上海高考数学（理科）试卷一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1计算：3-i=（i为虚数单位）.1+i2若集合A=x|2x+10，B=x|x-12，则AIB=.3函数f(x)=2sinxcosx-1的值域是.4若n=(-2,1)是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.25在(x-)6的二项展开式中，常数项等于.x26有一列正方体，棱长组成以1为首项，1为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,Vn,，则lim(V1+V2+L+Vn)=.n7已知函数f(x)=e|x-a|（a为常数）.若f(x)在区间1,+)上是增函数，则a的取值范围是.8若一个圆锥的
2、侧面展开图是面积为2p的半圆面，则该圆锥的体积为.9已知y=f(x)+x2是奇函数，且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2，则g(-1)=.10如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角la=p.若将l的极坐标方程写成r=f(q)的形式，则6OMax12在平行四边形ABCD中，A=3,边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别f(q)=.11三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.p是边BC、CD上的点，且满足|BM|CN|=|BC|CD|，则AMAN的取值范围是.13已知函数y=f(x)
3、的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(1,5)，C(1,0).2函数y=xf(x)(0x1)的图像与x轴围成的图形的面积为.D14如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2.若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是.C二、选择题（本大题共有4题，满分20分）AB15若1+2i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）（A）b=2,c=3.（B）b=-2,c=3.（C）b=-2,c=-1.（D）b=2,c=-1.16在DABC中，若sin2A+sin2Bsin2C，则DABC的形状是（）（A）锐角三角形.
4、（B）直角三角形.（C）钝角三角形.（D）不能确定.17设10xxxx104，x=105.随机变量x取值x、x、x、x、x的123451123452、x4+x5、2的概率也为0.2.概率均为0.2，随机变量x取值x1+x2、x2+x3、x3+x42222若记Dx、Dx分别为x、x的方差，则1212x5+x1（）100中，正数的个数是（）（A）DxDx.（B）DxDx.（C）DxDx.121212（D）Dx与Dx的大小关系与x、x、x、x的取值有关.12123418设a=1sinnp，S=a+a+L+a.在S,S,L,Snn25n12n12（A）25.（B）50.（C）75.（D）100.三、解
5、答题（本大题共有5题，满分74分）19如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PPA底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，EAD=22，PA=2.求：AD（1）三角形PCD的面积；（6分）B（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分）C20已知函数f(x)=lg(x+1).（1）若0f(1-2x)-f(x)1，求x的取值范围；（6分）（2）若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0x1时，有g(x)=f(x)，求函数y=g(x)(x1,2)的反函数.（8分）21海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度
6、），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图.现假设：失事船的移动路径可视为抛物线y=12x2；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救49援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t.yP（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时O两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）Ax22在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:2x2-y2=1.1（1）过C的左顶点引C的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成11的三角形的面积；（4分）（2）设斜率为1的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相
7、切，求证：1OPOQ；（6分）（3）设椭圆C:4x2+y2=1.若M、N分别是C、C上的动点，且OMON，212求证：O到直线MN的距离是定值.（6分）23对于数集X=-1,x,x,L,x，其中0xxL0，B=x|x-12，则AIB=(-1,3).23函数f(x)=2sinxcosx-1的值域是-5,-3.224若n=(-2,1)是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为arctan2（结果用反三角函数值表示）.25在(x-)6的二项展开式中，常数项等于-160.x26有一列正方体，棱长组成以1为首项，1为公比的等比数列，体积分别记为7.V1,V2,Vn,，则lim(V1+V2+L+Vn)=n
8、87已知函数f(x)=e围是(-,1.|x-a|（a为常数）.若f(x)在区间1,+)上是增函数，则a的取值范8若一个圆锥的侧面展开图是面积为2p的半圆面，则该圆锥的体积为3p.39已知y=f(x)+x2是奇函数，且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2，则g(-1)=-1.10如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角lsin(p-q).a=p.若将l的极坐标方程写成r=f(q)的形式，则6f(q)=16OMax12在平行四边形ABCD中，A=3,边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别11三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的
9、项目完全相同的概率是2（结果用最简分数表示）.3p是边BC、CD上的点，且满足|BM|CN|=|BC|CD|，则AMAN的取值范围是2,5.13已知函数y=f(x)的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(1,5)，C(1,0).2函数y=xf(x)(0x1)的图像与x轴围成的图形的面积为5.414如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2.D若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为C常数，则四面体ABCD的体积的最大值是2ca2-c2-1.3二、选择题（本大题共有4题，满分20分）AB15若1+2i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（B）
10、（A）b=2,c=3.（B）b=-2,c=3.（C）b=-2,c=-1.（D）b=2,c=-1.16在DABC中，若sin2A+sin2Bsin2C，则DABC的形状是（C）（A）锐角三角形.（B）直角三角形.（C）钝角三角形.（D）不能确定.2、x4+x5、2的概率也为0.2.100中，正数的个数是（D）17设10xxxx104，x=105.随机变量x取值x、x、x、x、x的12345112345概率均为0.2，随机变量x取值x1+x2、x2+x3、x3+x4x5+x12222若记Dx、Dx分别为x、x的方差，则（A）1212（A）DxDx.（B）DxDx.（C）DxDx.121212（D）
11、Dx与Dx的大小关系与x、x、x、x的取值有关.12123418设a=1sinnp，S=a+a+L+a.在S,S,L,Snn25n12n12（A）25.（B）50.（C）75.（D）100.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PPA底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，EAD=22，PA=2.求：（1）三角形PCD的面积；（6分）AD（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分）B所以三角形PCD的面积为1223=23.6分C解（1）因为PA底面ABCD，所以PACD，又ADCD，所以CD平面PAD，从而CDPD.3分因为PD=
12、22+(22)2=23，CD=2，z2P（2）解法一如图所示，建立空间直角坐标系，则B(2,0,0)，C(2,22,0)，E(1,2,1)，AE=(1,2,1)，BC=(0,22,0).8分设AE与BC的夹角为q，则AEDyAEBC=4=，q=p.CB|AE|BC|x222cosq=224412分由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是p解法二取PB中点F，连接EF、AF，则PEFBC，从而AEF（或其补角）是异面直线BC与AE所成的角8分在DAEF中，由EF=2、AF=2、AE=2知DAEF是等腰直角三角形，FAED所以AEF=p.4因此异面直线BC与AE所成的角的大小是p420已知函数
13、f(x)=lg(x+1).BC12分3（1）若0f(1-2x)-f(x)0解（1）由，得-1x0由0lg(2-2x)-lg(x+1)=lg2-2x1得12-2x0，所以x+12-2x10x+10，-x1.33-1x1由得-2x1.6分-2x22），则直线OM的方程为y=-1x.k4x2+y2=1y2=y=kx由x2=，得14+k2k24+k21+k2，所以|ON|2=.4+k2同理|OM|2=1+k2.13分2k2-1设O到直线MN的距离为d，因为(|OM|2+|ON|2)d2=|OM|2|ON|2，3.所以1d2=1|OM|2+1|ON|2=3k2+3k2+1=3，即d=3具有性质P.例如X
14、=-1,1,2具有性质P.综上，O到直线MN的距离是定值.16分23对于数集X=-1,x,x,L,x，其中0xxLx，n2，定义向量集12n12nY=a|a=(s,t),sX,tX.若对于任意aY，存在aY，使得aa=0，则称X1212（1）若x2，且-1,1,2,x，求x的值；（4分）（2）若X具有性质P，求证：1X，且当xn1时，x1=1；（6分）（3）若X具有性质P，且x1=1，x2=q（q为常数），求有穷数列x1,x2,L,xn的通项公式.（8分）解（1）选取a=(x,2)，Y中与a垂直的元素必有形式(-1,b).2分11所以x=2b，从而x=4.4分（2）证明：取a=(x,x)Y.设
15、a=(s,t)Y满足aa=0.111212由(s+t)x=0得s+t=0，所以s、t异号.1因为-1是X中唯一的负数，所以s、t中之一为-1，另一为1，故1X.7分假设x=1，其中1kn，则0x1x.k1n选取a=(x,x)Y，并设a=(s,t)Y满足aa=0，即sx+tx=0，11n2121n则s、t异号，从而s、t之中恰有一个为-1.若s=-1，则2，矛盾；若t=-1，则x=sxqk-1，所以xk+1=qk.=-t2解法二设a=(s,t)，a=(s,t)，则aa=0等价于1s2.综上所述，x=qi-1x=qi-1，i=1,2,n.18分iis11122212t1记B=s|sX,tX,|s|t|，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于t原点对称.14分注意到-1是X中的唯一负数，BI(-,0)=-x,-x,L,-x共有n-1个数，23n所以BI(0,+)也只有n-1个数.xn-1xn-2Lx2x1，已有n-1个数，对以下三角数阵由于xnxnxnxnxnxn-1xnxn-2Lxnx2xnx1xn-1xn-2xn-1xn-3LLx1=，所以xnxn-2=L=x1，从而数列的通项公式为注意到xnx1xn-1x2xn-1xn-1x2x=x(x2)k-1=qk-1，k=1,2,n.18分k1x1