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1、水泥价格、广告费与利润问题 推销商品的重要手段之一是做广告，而做广告要出钱，利弊得失如何估计，需要利用有关数学模型作定量的讨论。某建材公司有一大批水泥需要出售，根据以往统计资料，零售价增高，则销量减少，具体数据见表三；如果做广告，可使销售量增加，具体增加量以售量提高因子k表示，k与广告费的关系列于表四。现在，已知水泥的进价是每吨250元。问如何确定该批水泥的出售价格和花多少广告费，可使公司获利最大？表1：水泥预期销售量与售价的关系单价（元/吨）250260270280290300310320售量（万吨）200190176150139125110100表2：售量提高因子k与广告费的关系广告费（万
2、元）060120180240300360420提高因子k1.001.401.701.851.952.001.951.80将表1（水泥预期销售量与价格的关系）中数据绘图如下图1可以看出销量与单价近似呈现线性关系，因此可设用最小二乘法，根据表1的数据可得正规方程组解此方程组，得到系数。即销量与单价的近似关系为：，将此结果与原数据点画在同一幅图形中比较如下图2：将表2（销售量提高因子与广告费的关系）中数据画图如下：图3：可以看出提高因子与广告费近似成二次关系，因此可设：用最小二乘法，根据表2中数据，可得正规方程组解此方程组得：。将拟合多项式图形与原数据画在同一幅图形中观察拟合效果：图4： 设实际销量为S，则。于是利润L可以表示为： 要求出利润最大值，只需令： 解得： 进一步求出利润L的二阶偏导数得： 当时，显然有，根据多元函数极值理论可知，在处，利润最大，最大利润为。 从而，可以预计，将单价定为316.93元/t，广告费花费282.21万元，实际销售量可望达到2105800吨，利润可望达到13209.6（万元）。