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1、精品文档用心整理人教版高中数学必修四知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习平面向量的数量积【学习目标】1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；【要点梳理】要点一：平面向量的数量积1.平面向量数量积(内积)的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角是q，则数量abcosq叫a与b的数量积，记作ab，即有ab=abcosq(0qp).并规定0与任何向量的数量积为0.2.一向量在另一向量方向上的投影：bcosq叫做向量b在a方向上
2、的投影.要点诠释：1.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定.(2)两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积ab，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替.(3)在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cosq有可能为0.2.投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q=0时投影为b；当q=180时投影为-b.要点二：平面向
3、量数量积的几何意义数量积ab表示a的长度|a|与b在a方向上的投影bcosq的乘积，这是ab的几何意义图（1）（2）（3）所示分别是两向量a,b夹角为锐角、钝角、直角时向量b在向量a方向上的投影的情形，其中|a|OB=|b|cosq，它的意义是，向量b在向量a方向上的投影是向量OB的数量，即OB=OBa1111资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理事实上，当q为锐角时，由于cosq0，所以OB0；当q为钝角时，由于cosq0，所以OB0；11当q=900时，由于cosq=0，所以OB=0，此时O与B重合；当q=00时，由于cosq=1，所以11OB=|b|；当q=1800时，由于cos
4、q=-1，所以OB=-|b|11要点三：平面向量数量积的性质设a与b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1.ea=ae=acosq2.abab=03.当a与b同向时，ab=ab；当a与b反向时，ab=-ab.特别的aa=a或a=2aa4.cosq=abab()()()()()()5.abab要点四：向量数量积的运算律1.交换律：ab=ba2.数乘结合律：lab=lab=alb3.分配律：a+bc=ac+bc要点诠释：1.已知实数a、b、c(b0)，则ab=bca=c.但是ab=bca=c；2.在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是abcabc显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与
5、a共线的向量，而一般a与c不共线.要点五：向量数量积的坐标表示1.已知两个非零向量a=(x,y)，b=(x,y)，ab=xx+yy11221212资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理a/ba=lb(b0)(x,y)=l(x,y)2.设a=(x,y)，则|a|2=x2+y2或|a|=x2+y23.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x,y)、(x,y)，那么1122|a|=(x-x)2+(y-y)2(平面内两点间的距离公式).1212要点六：向量在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件1122(2)证明垂直问题，常用垂直的充要条件
6、abab=0xx+yy=01212(3)求夹角问题由向量a，b数量积可知，若它们的夹角为q，则ab=|a|b|cosq，ab=利用cosq=abxx+yy1212x2+y2x2+y11222(4)求线段的长度，可以利用a=a2或PP=(x-x)2+(y-y)2122121【典型例题】类型一：平面向量数量积的概念例1已知a、b、c是三个非零向量，则下列命题中正确的个数为（）ab=|a|b|ab；a、b反向ab=|a|b|；ab|a+b|=|ab|；|a|=|b|ac|=|bc|A1个B2个C3个D4个【答案】C（【解析】1）ab=|a|b|cosq，由ab=|a|b|及a、b为非零向量可得cos
7、q=1，q=0或，ab，且以上各步均可逆，故叙述是正确的（2）若a、b反向，则a、b的夹角为，ab=|a|b|cos=|a|b|且以上各步均可逆，故叙述是正确的（3）当ab时，将向量a、b的起点确定在同一点，则以向量a、b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长相等，即有|a+b|=|ab|反过来，若|a+b|=|ab|，则以a、b为邻边的四边形为矩形，ab，故叙述是正确的cccc（4）当|a|=|b|，但a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有|a|b|，反过来的由|a|=|b|资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理也推不出|a|=|b|故叙述是不正确的综上所述
8、，在四个叙述中，前3个是正确的，而第4个是不正确的【总结升华】需对以上四个叙述逐一判断，依据有两条，一是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则举一反三：【变式1】如果ab=ac，且a0，那么（）Ab=cBb=lcCbcDb、c在a方向上的投影相等【答案】D类型二：平面向量数量积的运算例2已知|a|=4，|b|=5，当（1）ab，（2）ab，（3）a与b的夹角为30时，分别求a与b的数量积【思路点拨】已知向量|a|与|b|，求ab，只需确定其夹角q【解析】（1）当ab时，有q=0和q=180两种可能若a与b同向，则q=0，ab=|a|b|cos0=451=20；若a与b反向，则q=
9、180，ab=|a|b|cos180=45(1)=20（2）当ab时，q=90，ab=|a|b|cos90=0（3）当a与b的夹角为30时，ab=|a|b|cos30=453=1032【总结升华】（1）在表示向量的数量积时，a与b之间必须用实心圆“”来连接，而不能用“”连接，也不能省略（2）求平面向量数量积的步骤是：求a与b的夹角q，q0，180分别求|a|和|b|求它们的数量积，即ab=|a|b|cosq举一反三：【变式1】已知|a|=5，|b|=4，a，b=【答案】35【解析】p3，求（a+b）a.（a+b）a=aa+ab=|a|2+|a|b|cosp3=35例3（1）若|a|=4，ab=
10、6，求b在a方向上的投影；（2）已知|a|=6，e为单位向量，当它们之间的夹角q分别等于60、90、120时，求出a在e方资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理向上的正投影，并画图说明【答案】（1）32（2）略【解析】（1）ab=|a|b|cosq=6，又|a|=4，4|b|cosq=6，|b|cosq=32（2）a在e方向上的投影为|a|cosq如上图所示，当q=60时，a在e方向上的正投影的数量为|a|cos60=3；当q=90时，a在e方向上的投影的数量为|a|cos90=0；当q=120时，a在e方向上的正投影的数量为|a|cos120=3【总结升华】要注意a在b方向上的投影与
11、b在a方向上的投影不是不同的类型三：平面向量模的问题例4（2015春甘肃临夏州期末）已知向量a，b的夹角为60，且|a|=2，|b|=1，（1）求ab；（2）求|a+b|【答案】（1）1；（2）|a+b|=7（2）|a+b|2=(a+b)2=a+2ab+b【解析】（1）ab=|a|b|cos60=2122=4+21+1=7所以|a+b|=712=1举一反三：【平面向量的数量积395485例4】【变式1】已知|a|=2,|b|=5,ab=-3，求|a-b|,|a+b|【答案】3523【解析】资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理(ab)2a22abb2425635，|ab|35同理，|a
12、b|23【变式2】（2016广西钦州月考）设向量a,b满足|a|b|1及|3a2b|（1）求a,b的夹角大小；（2）求|3ab|的值【答案】（1）；（2）133【解析】（1）设a与b夹角为，7向量a,b满足|a|b|1及|3a2b|7，9a24b212ab7，91+411211cos=7cos12又0，a与b夹角为3（2）|3ab|9a2b26ab911611cos313类型四：向量垂直（或夹角）问题例5已知a,b是两个非零向量，同时满足abab，求a与ab的夹角.【思路点拨】利用cosababx21xx12y21yy12x22y2求出两个向量的夹角2【解析】法一：将abab两边平方得aba2
13、1122b2，aba22abb23aa2a2a(ab)aab2则cos12aabaaba3a32，故a与ab的夹角为30.法二：数形结合法如图，a,b,ab构成一个等边三角形，向量ab是向量a与向量b夹角的角平分线，所以向量a与向量ab所成的夹角为30资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理【答案】（1）q=120；（2）a=(-8545【解析】（1）(2a-3b)(2a+b)=4a-4ab-3b【总结升华】注意两个向量夹角共起点，灵活应用两个向量夹角的两种求法.举一反三：【变式1】（2015山东高密市月考）已知|a|=4，|b|=3，(2a-3b)(2a+b)=61，（1）求a与b的夹
14、角q；（2）若c=(1,2)，且ac，试求a8545,)或(,-)555522=416-443cosq-39=61，（2）设a=(x,y)，则，解得或cosq=-12q=120所以，a=(-，85x=-x2+y2=425x+2y=0y=45585458545,)或(,-)555585x=5y=-455例6已知a、b都是非零向量，且a+3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直求a与b的夹角a【思路点拨】由题意知，(a+3b)(7a-5b)=0，(a-4b)(7a-2b)=0，解得|a|=|b|【解析】a+3b与7a5b垂直，(a+3b)(7a5b)=0a4b与7a2b垂直，(a4b)(7a2b)
15、=07a2+16ab-15b2=0于是有7a2-30ab+8b2=0由得2ab=b2将代入得a2=b2，|a|=|b|资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理cosa=ab|b|21=|a|b|2|b|220a180，a=60【总结升华】正确理解和把握向量数量积性质的运用，以及向量夹角的范围，由2ab=b2，不能得出2a=b，同样由a2=b2，也不能得出a=b或a=b举一反三：【变式1】已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向a+b与向量kab垂直，则k=_【答案】1【变式2】设非零向量a,b,c,d，满足d=(ac)b-(ab)c，求证：ad【证明】ad=a(ac)b-(ab)
16、c=(ac)(ab)-(ab)ca=(ac)(ab)-(ac)(ab)=0ad类型五：平面向量数量积的坐标表示及运算例7已知向量a与b同向，b=（1，2），ab=10（1）求向量a的坐标；（2）若c=（2，1）求（bc）a【解析】（1）a与b同向，又b=（1，2），设a=lb，则a=（l，2l）又ab=10，1l+22l=10，解得l=20l=2符合a与b同向的条件，a=（2，4）（2）bc=12+2(1)=0，（bc）a=0【总结升华】（1）注意本题由a与b共线且同向的设法及验证；（2）通过本题可以看出（bc）a=0，ab）c=10（2，1）=（20，10），显然（bc）a（ab）c，即向量
17、运算结合律一般不成立举一反三：【变式1】已知向量a=(3,-1)和b=(1,3)，若ac=bc，试求模为2的向量c的坐标资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理【解析】设c=（x，y），则ac=(3,-1)(x,y)=3x-y，bc=(1,3)(x,y)=x+3y，3x-y=x+3y2y=3-1x=-3+1x=由ac=bc及|c|=2，得，解得x2+y2=22或3+12y=-3-123+13-13+13-1-2,-22,2所以c=或c=【总结升华】涉及向量数量积的坐标运算的问题，关键是熟练掌握数量积的坐标运算公式以及相关的模长公式和夹角公式，在这个过程中还要熟练运用方程的思想；值得注意的
18、是，对于一些向量数量积坐标运算的问题，有时考虑其几何意义可使问题快速获解例8已知三个点A（2，1），B（3，2），D（1，4）（1）求证：ABAD；（2）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值【思路点拨】（1）先用坐标把两条直线用向量表示来，然后利用向量数量积等于零证明2）利用向ab=量相等求出C点的坐标，利用cosq=abxx+yy1212x2+y2x2+y11222求出两条对角线的夹角得，即C点坐标为（0，5）y-4=1y=5【答案】（1）略（2）45【解析】（1）A（2，1），B（3，2），D（1，4），AB=(1,1)，AD=(-3,3)又ABA
19、D=1(-3)+13=0，ABAD，即ABAD（2）ABAD，四边形ABCD为矩形，AB=DC设C点坐标为（x，y），则由AB=(1,1)，DC=(x+1,y-4)，x+1=1x=0从而AC=(-2,4)，BD=(-4,2)，且|AC|=25，|BD|=25ACBD=8+8=16，设AC与BD的夹角为q，则cosq=ACBD|AC|BD|164=，205求得矩形的两条对角线所夹锐角的余弦值为45资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理【总结升华】在求两向量夹角的余弦值时，要注意根据题意选取向量的方向举一反三：【变式1】已知a=（1，1），b=（0，2）当k为何值时，（1）kab与a+b共线；（2）kab与a+b的夹角为120【解析】a=（1，1），b=（0，2），kab=k（1，1）（0，2）=（k，k+2）a+b=（1，1）+（0，2）=（1，1）（1）kab与a+b共线，k+2(k)=0k=1（2）|ka-b|=k2+(k+2)2，|a+b|=12+(-1)2=2，(kab)(a+b)=(k，k+2)(1，1)=kk2=2，而kab与a+b的夹角为120，cos120=(ka-b)(a+b)|ka-b|a+b|，即-12=-22k2+(k+2)2化简，整理得k2+2k2=0，解之得k=-13资料来源于网络仅供免费交流使用