《专题11.3二项式定理(讲)(解析版).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题11.3二项式定理(讲)(解析版).docx（5页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、专题11.3二项式定理1.能用计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.知识点一二项式定理nnrr(1)二项式定理：(ab)nC0anC1an1bCnanrbrCnbn(nN*)；(2)通项公式：Tr1Cnanrbr，它表示第r1项；nn(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0，C1，Cn.知识点二二项式系数的性质性质对称性性质描述与首末等距离的两个二项式系数相等，即CknCnk当k(nN*)时，是递增的当k(nN*)时，是递减的增减性二项式系数Cknn12n12二项式系nC2当n为偶数时，中间的一项n取得最大值n与Cn取得最大值数最大值当n为奇数时，中间的
2、两项Cn-12n+12知识点三各二项式系数和012(1)(ab)n展开式的各二项式系数和：CnCnCnCn2n.nnn135(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0C2C4CnCnCn2n1.【知识必备】(ab)n的展开式形式上的特点(1)项数为n1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.nn(4)二项式的系数从C0，C1，一直到Cn1，Cn.考点一通项公式及其应用【典例1】【2019年高考全国卷理数】（1+2x2)(1+x）4的展
3、开式中x3的系数为()A12B16C20D24xa6(2)在(1x)7的展开式中，若x2的系数为19，则a_.【答案】A【解析】由题意得x3的系数为C3+2C1=4+8=12，故选A44【举一反三】（浙江杭州高级中学2019届模拟）(1)(xy)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为_.3x【答案】(1)40(2)255【解析】(1)由二项式定理可得，展开式中含x3y3的项为xC3(2x)2(y)3yC2(2x)3(y)240x3y3，则x3y3的系数为40.xa6(2)(1x)73x3a171的展开式中x2的系数为C6(x)6C6(x)5x667C67x2C1x2a，则aC1C619，解得a
4、2.【方法技巧】求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r1，代回通项公式即可.【变式1】（安徽安庆一中2019届模拟）125(1)(x21)x的展开式的常数项是(A.5B.10C.32D.42)x110(2)332x的展开式中所有的有理项为_.(3)1x2(1x)6的展开式中x2的系数为(1)【答案】(1)D(2)x2，x2(3)C12515125【解析】(1)由于x的通项为Cr5x(2)rCr5(2)rx2，故(x21)x的展开式的常1(2)二项展开式的通项公式为Tk1Ck102xA.15B.20C.30
5、D.3545634548256rr55数项是C1(2)C5(2)542.k102k3.r(rZ)，则102k3r，k5r，44r2x2和12(1x)6展开式中含x2的项为1(3)因为(1x)6的通项为Cr所以CCx，因为C26x，66x2662130，所以x2(1x)展开式中x的系数为30.42C22C66由题意Z，且0k10，kN.令102k第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为x2，x2.102k3332kN，r应为偶数.r可取2，0，2，即k可取2，5，8，4563454825611x65121考点二二项式系数与各项的系数问题【典例2】（浙江镇海中学2019届模拟）(1)(ax)(1
6、x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a_.(2)若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2a8)2(a1a3a9)239，则实数m的值为_.【答案】(1)3(2)1或3【解析】(1)设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，令x1，得16(a1)a0a1a2a3a4a5，令x1，得0a0a1a2a3a4a5.，得16(a1)2(a1a3a5)，即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1a3a58(a1)，所以8(a1)32，解得a3.(2)令x0，则(2m)9a0a1a2a9，令x2，则m9a0a1a2a3a9，又(a0a2a8)2
7、(a1a3a9)2(a0a1a2a9)(a0a1a2a3a8a9)39，(2m)9m939，m(2m)3，m3或m1.【方法技巧】1.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，bR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法.a4，偶数项系数之和为a1a3a5.2.若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2f（1）f（1）f（1）f（1）22【变式2】（江苏扬州中学2019届模拟）2(1)已知x3x的展开式的各项系数和为243，则展开式中x7的系数为(n)A.5B.40C.20D.10
8、(2)若(1x)(12x)8a0a1xa9x9，xR，则a12a222a929的值为()A.29B.291C.39D.3912【解析】(1)由x3x的展开式的各项系数和为243，令x1得3n243，即n5，222x3xx3x，则Tr1Cr5(x3)5rx2rCr5x154r，令154r7，得r2，展开式中x7【典例3】（上海复旦大学附中2019届模拟）二项式3的展开式中只有第11项的二项式系【解析】根据3的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n20，3的展开1r式的通项为Tr1Cr20(3x)20r3(3)20rCr20x20，要使x的指数是整数，需r是3的倍数，r0，x1.二项式系数最大
9、项的确定方法：当n为偶数时，展开式中第1项的二项式系数最大，最大值为n；【答案】(1)B(2)Dnn5r的系数为22C2540.(2)(1x)(12x)8a0a1xa2x2a9x9，令x0，得a01；令x2，得a0a12a222a92939，a12a222a929391.考点三二项式系数的性质3x1nx数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为()A.3B.5C.6D.7【答案】D3x1n3x1nxx4r33，6，9，12，15，18，x的指数是整数的项共有7项.【方法技巧】nnC22当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为n或n.A1，A2，An1，且第k项系数最大，应用从而解出k来，即得.n-1n+1n1n3C2C2222.二项展开式系数最大项的求法如求(abx)n(a，bR)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为AkAk1，AkAk1，【变式3】（黑龙江大庆实验中学2019届模拟）已知m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a7b，则m()A.5B.6C.7D.8m！m！m！（m1）！7m1【答案】B22【解析】由题意可知，aCmm，bCmm1.（2m）！（2m1）！13a7b，137，132m1即，解得m6.