北京专版2019年中考数学一轮复习第七章专题拓展7.5代数压轴综合题试卷部分课件.pptx

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1、1.(2018北京,26,6分)在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y =ax2+bx-3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C. (1)求点C的坐标; (2)求抛物线的对称轴; (3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.,好题精练,解析 (1)将x=0代入y=4x+4得y=4, B(0,4). 点B向右平移5个单位长度得到点C, C(5,4). (2)将y=0代入y=4x+4得x=-1, A(-1,0). 将点A(-1,0)代入抛物线解析式y=ax2+bx-3a得0=a-b-3a,即b=-2a, 抛物线的对称轴为

2、直线x=- =- =1. (3)抛物线始终过点A(-1,0),且对称轴为直线x=1,由抛物线的对称性可知抛物线也过点A关于直 线x=1的对称点(3,0). a0时,如图1.,图1,将x=5代入抛物线的解析式得y=12a, 12a4, a . a0,且抛物线顶点不在线段BC上时,如图2. 图2 将x=0代入抛物线得y=-3a, 抛物线与线段BC恰有一个公共点,-3a4, a- . 若抛物线的顶点在线段BC上,则顶点为(1,4),如图3. 图3 将点(1,4)代入抛物线的解析式得4=a-2a-3a, a=-1. 综上所述,a 或a- 或a=-1.,思路分析 (1)先求B点坐标,由B点向右平移5个单

3、位长度确定C点坐标. (2)确定A点坐标,代入抛物线的解析式,利用公式确定对称轴. (3)结合图象和抛物线的对称性解答.,解题关键 解决本题第(3)问的关键是要先确定题目中抛物线所过的定点,进而通过临界点求 出a的取值范围.同时不要忽略抛物线顶点是公共点的情况.,2.(2017北京,27,7分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A,B(点A在点B的左 侧),与y轴交于点C. (1)求直线BC的表达式; (2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1,y1),Q(x2,y2),与直线BC交于点N(x3,y3).若x1x2x3,结合 函数的图象,求x1+x2+x3的取值

4、范围.,解析 (1)令y=0,即0=x2-4x+3, 解得x=1或x=3. 抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧), 点A,B的坐标分别为(1,0),(3,0). 令x=0,得y=3. 抛物线y=x2-4x+3与y轴交于点C, 点C的坐标为(0,3). 设直线BC的表达式为y=kx+b,k0, 解得 直线BC的表达式为y=-x+3. (2)y=x2-4x+3=(x-2)2-1, 抛物线的顶点坐标为(2,-1),对称轴为直线x=2.,由题意可知,点P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1x2)关于直线x=2对称, x2-2=2-x1, x1+x2=4. 由x1x2x3,结

5、合函数的图象,可得-1y30, 即-1-x3+30, 解得3x34. 7x1+x2+x38.,思路分析 (1)求出点B、C的坐标,用待定系数法求直线BC的表达式.(2)先借助抛物线的对称 性确定x1+x2的值,再画出函数图象,确定x3的范围,从而得解.,3.(2016北京,27,7分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2-2mx+m-1(m0)与x轴的交点为A,B. (1)求抛物线的顶点坐标; (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点. 当m=1时,求线段AB上整点的个数; 若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点,结合函数 的图象,求m的取值范围.,解析

6、 (1)y=mx2-2mx+m-1=m(x-1)2-1. 抛物线的顶点坐标为(1,-1). (2)当m=1时,抛物线的表达式为y=x2-2x. 令y=0,解得x1=0,x2=2. 线段AB上整点的个数为3. 当抛物线经过点(-1,0)时,m= . 当抛物线经过点(-2,0)时,m= . 结合函数的图象可知,m的取值范围为 m .,思路分析 (1)将抛物线的解析式变形得顶点坐标.(2)理解整点的含义,同时借助图象来观察 和验证.,4.(2015北京,27,7分)在平面直角坐标系xOy中,过点(0,2)且平行于x轴的直线与直线y=x-1交于 点A,点A关于直线x=1的对称点为B,抛物线C1:y=x

7、2+bx+c经过点A,B. (1)求点A,B的坐标; (2)求抛物线C1的表达式及顶点坐标; (3)若抛物线C2:y=ax2(a0)与线段AB恰有一个公共点,结合函数的图象,求a的取值范围. 备用图,解析 (1)由题意可得,点A的纵坐标为2. x-1=2.解得x=3. 点A的坐标为(3,2). 点B与点A关于直线x=1对称, 点B的坐标为(-1,2). (2)抛物线C1:y=x2+bx+c经过点A,B, 解得 抛物线C1的表达式为y=x2-2x-1. y=x2-2x-1=(x-1)2-2, 抛物线C1的顶点坐标为(1,-2). (3)由题意可知,a0. 当抛物线C2经过点B时,a=2,此时抛物

8、线C2与线段AB有两个公共点,不符合题意. 当抛物线C2经过点A时,a= .,结合函数的图象可知,a的取值范围为 a2.,5.(2014北京,23,7分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=2x2+mx+n经过点A(0,-2),B(3,4). (1)求抛物线的表达式及对称轴; (2)设点B关于原点的对称点为C,点D是抛物线对称轴上一动点,记抛物线在A,B之间的部分为 图象G(包含A,B两点).若直线CD与图象G有公共点,结合函数图象,求点D纵坐标t的取值范围.,解析 (1)点A,B在抛物线y=2x2+mx+n上, 解得 抛物线的表达式为y=2x2-4x-2. 抛物线的对称轴为直线x=1. (2

9、)由题意可知,点C的坐标为(-3,-4). 设直线BC的表达式为y=kx+b(k0). 解得 直线BC的表达式为y= x. 当x=1时,y= . 结合图象可知,点A在直线BC的下方,且抛物线的顶点坐标为(1,-4), -4t .,6.(2018北京东城一模,26)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-4ax+3a-2(a0)与x轴交于A,B 两点(点A在点B左侧). (1)当抛物线过原点时,求实数a的值; (2)求抛物线的对称轴; 求抛物线的顶点的纵坐标(用含a的代数式表示); (3)当AB4时,求实数a的取值范围.,解析 (1)点O(0,0)在抛物线上,3a-2=0,a= . (2)抛

10、物线的对称轴为直线x=2. 抛物线的顶点的纵坐标为-a-2. (3)(i)当a0时, 依题意得 解得a ; (ii)当a0时, 依题意得 解得a-2. 综上,a-2或a .,解题关键 解决本题第三问的关键是要借助抛物线的顶点坐标和与y轴的交点建立不等式组.,7.(2018北京西城一模,26)在平面直角坐标系xOy中,抛物线G:y=mx2+2mx+m-1(m0)与y轴交于 点C,抛物线G的顶点为D,直线l:y=mx+m-1(m0). (1)当m=1时,画出直线l和抛物线G,并直接写出直线l被抛物线G截得的线段长; (2)随着m取值的变化,判断点C,D是否都在直线l上,并说明理由; (3)若直线l

11、被抛物线G截得的线段长不小于2,结合函数的图象,直接写出m的取值范围.,解析 (1)当m=1时,抛物线G的函数表达式为y=x2+2x,直线l的函数表达式为y=x. 画出的两个函数的图象如图所示. (2)抛物线G:y=mx2+2mx+m-1(m0)与y轴交于点C, 点C的坐标为(0,m-1). y=mx2+2mx+m-1=m(x+1)2-1, 抛物线G的顶点D的坐标为(-1,-1). 对于直线l:y=mx+m-1(m0), 当x=0时,y=m-1;,当x=-1时,y=m(-1)+m-1=-1. 无论m取何值,点C,D都在直线l上. (3)m的取值范围是m- 或m . 提示:当m0时,截得的线段长

12、为 ,令 2,解得m ; 当m0时,截得的线段长为 ,令 2,解得m- .,思路分析 解决本题最后一问需要借助勾股定理,用含m的式子表示出截得的线段长.,8.(2018北京海淀一模,26)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2-2ax+b的顶点在x轴上,P(x1, m),Q(x2,m)(x1x2)是此抛物线上的两点. (1)若a=1, 当m=b时,求x1,x2的值; 将抛物线沿y轴平移,使得它与x轴的两个交点间的距离为4,试描述出这一变化过程; (2)若存在实数c,使得x1c-1,且x2c+7成立,则m的取值范围是 .,解析 抛物线y=x2-2ax+b的顶点在x轴上, =0,b=a2.

13、(1)a=1,b=1. 抛物线的解析式为y=x2-2x+1. m=b=1,令x2-2x+1=1,解得x1=0,x2=2. 依题意,设平移后的抛物线为y=(x-1)2+k. 抛物线的对称轴是直线x=1,平移后与x轴的两个交点之间的距离是4, (3,0)是平移后的抛物线与x轴的一个交点, (3-1)2+k=0,即k=-4. 变化过程:将原抛物线向下平移4个单位. (2)m16. 提示:根据题意可知,点P、Q间的距离大于8,又因为P、Q两点关于直线x=a对称,因此x2a+4, 将x=a+4,y=m代入函数解析式得m=16,所以m16.,9.(2018北京朝阳一模,26)在平面直角坐标系xOy中,抛物

14、线y=ax2-4ax-4(a0)与y轴交于点A,其 对称轴与x轴交于点B. (1)求点A,B的坐标; (2)若方程ax2-4ax-4=0(a0)有两个不相等的实数根,且两根都在1,3之间(包括1,3),结合函数的 图象,求a的取值范围.,解析 (1)y=ax2-4ax-4=a(x-2)2-4a-4. 令x=0,得y=-4,A(0,-4).抛物线的对称轴为直线x=2, B(2,0). (2)当抛物线经过点(1,0)时,a=- , 当抛物线经过点(2,0)时,a=-1. 结合函数图象可知,a的取值范围为- a1.,10.(2018北京丰台一模,26)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-4a

15、x+3a的最高点的纵坐标是 2. (1)求抛物线的对称轴及抛物线的表达式; (2)将抛物线在1x4之间的部分记为图象G1,将图象G1沿直线x=1翻折,翻折后的图象记为G2, 图象G1和G2组成图象G.过点(0,b)作与y轴垂直的直线l,当直线l和图象G只有两个公共点时,将 这两个公共点分别记为P1(x1,y1),P2(x2,y2),求b的取值范围和x1+x2的值.,解析 (1)抛物线y=ax2-4ax+3a=a(x-2)2-a, 抛物线的对称轴为直线x=2. 抛物线最高点的纵坐标是2, a=-2. 抛物线的表达式为y=-2x2+8x-6. (2)由图象可知,b=2或-6b0. 由图象的对称性可

16、得x1+x2=2.,思路分析 解决本题第二问需要先画出示意图,通过观察解决.,解题关键 解决本题第二问的关键是要根据示意图寻找临界点,求x1+x2时要借助抛物线的对 称性.,11.(2018北京石景山一模,26)在平面直角坐标系xOy中,将抛物线G1:y=mx2+2 (m0)向右平 移 个单位长度后得到抛物线G2,点A是抛物线G2的顶点. (1)直接写出点A的坐标; (2)过点(0, )且平行于x轴的直线l与抛物线G2交于B,C两点. 当BAC=90时,求抛物线G2的表达式; 若60BAC120,直接写出m的取值范围.,解析 (1)A( ,2 ). (2)设抛物线G2的表达式为y=m(x- )

17、2+2 , 如图所示, 由题意可得AD=2 - = . BAC=90,AB=AC, ABD=45, BD=AD= , 点B的坐标为(0, ).,点B在抛物线G2上, m(0- )2+2 = , 解得m=- . 抛物线G2的表达式为y=- (x- )2+2 , 即y=- x2+2x+ . - m- . 提示:当BAC=60时,ABD=60,可得BD=1,点B的坐标为( -1, ),进而可求得m=- 当 BAC=120时,ABD=30,可得BD=3,点B的坐标为( -3, ),进而可求得m=- ,所以m的取值 范围为- m- .,12.(2018北京通州一模,26)在平面直角坐标系xOy中,点C是

18、二次函数y=mx2+4mx+4m+1的图象 的顶点,一次函数y=x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A,B. (1)求点A,B,C的坐标; (2)若二次函数y=mx2+4mx+4m+1的图象与线段AB恰有一个公共点,求m的取值范围.,解析 (1)y=mx2+4mx+4m+1=m(x+2)2+1, 拋物线的顶点坐标为C(-2,1). 直线y=x+4与x轴、y轴的交点坐标分别为A(-4,0)和B(0,4). (2)把x=-4代入拋物线的表达式中得到y=4m+1. 当m0时,如图1,只需要当x=0时,拋物线的函数值y=4m+10,当0m 时,拋物线与线段AB只有一个交点. 当m0时,如图2,只需y=4

19、m+10即可, 图2 解得- m0. 综上,当0m 或- m0时,拋物线与线段AB只有一个交点.,13.(2018北京门头沟一模,26)有一个二次函数满足以下条件: 函数图象与x轴的交点坐标分别为A(1,0),B(x2,0)(点B在点A的右侧); 对称轴是x=3; 该函数的最小值是-2. (1)请根据以上信息求出二次函数表达式; (2)将该函数的x5部分的图象向下翻折,与原图象未翻折的部分组成图象G,平行于x轴的直线 与图象G相交于点C(x3,y3)、D(x4,y4)、E(x5,y5)(x3x4x5),结合画出的函数图象求x3+x4+x5的取值 范围.,解析 (1)由题意可知该函数图象的顶点坐

20、标为(3,-2), 设二次函数的表达式为y=a(x-3)2-2, 该图象过A(1,0), 0=a(1-3)2-2,解得a= , 二次函数的表达式为y= (x-3)2-2. (2)由题意可知,直线与图象G有三个交点. 由二次函数图象的轴对称性可得x3+x4=6,又x55, x3+x4+x511. 由翻折可以得到翻折后的图象对应的函数为y=- (x-3)2+2(x5). 令- (x-3)2+2=-2,解得x=3+2 或x=3-2 (舍去), x3+x4+x59+2 . 综上,11x3+x4+x59+2 .,14.(2018北京东城二模,26)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx-3(a

21、0)经过点A(-1,0)和 点B(4,5). (1)求该抛物线的表达式; (2)求直线AB关于x轴的对称直线的表达式; (3)点P是x轴上的动点,过点P作垂直于x轴的直线l,直线l与抛物线交于点M,与直线AB交于点N. 当PMPN时,求点P的横坐标xP的取值范围.,解析 (1)把点(-1,0)和(4,5)分别代入y=ax2+bx-3(a0), 得 解得 抛物线的表达式为y=x2-2x-3. (2)设点B(4,5)关于x轴的对称点为B, 则点B的坐标为(4,-5). 设所求直线的表达式为y=mx+n, 把点(-1,0)和(4,-5)分别代入y=mx+n, 得 解得 直线AB关于x轴的对称直线的表

22、达式为y=-x-1. (3)设直线AB与抛物线y=x2-2x-3交于点C, 直线l与直线AB的交点为N, 则PN=PN.,PMPN, PMPN. 点M在线段NN上(不含端点). 点M在抛物线y=x2-2x-3夹在点C与点B之间的部分上. 联立y=x2-2x-3与y=-x-1, 可得点C的横坐标为2. 又点B的横坐标为4, 点P的横坐标xP的取值范围为2xp4.,15.(2018北京石景山二模,26)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+4x+c(a0)经过点A(3,-4) 和B(0,2). (1)求抛物线的表达式和顶点坐标; (2)将抛物线在A、B之间的部分记为图象M(含A、B两点).将

23、图象M沿直线x=3翻折,得到图象N. 若过点C(9,4)的直线y=kx+b与图象M、图象N都相交,且只有两个交点,求b的取值范围.,解析 (1)抛物线y=ax2+4x+c(a0)经过点A(3,-4)和B(0,2),有 解得 抛物线的表达式为y=-2x2+4x+2,顶点坐标为(1,4). (2)设点B(0,2)关于x=3的对称点为B,则点B(6,2). 直线y=kx+b经过点C(9,4),若直线y=kx+b经过点B(6,2),则 可得b=-2. 若直线y=kx+b经过点A(3,-4),则 可得b=-8. 当直线y=kx+b平行x轴时,b=4,此时也满足题意. 综上,-8b-2或b=4.,16.(

24、2018北京西城二模,26)抛物线M:y=ax2-4ax+a-1(a0)与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧), 抛物线的顶点为D. (1)抛物线M的对称轴是直线 ; (2)当AB=2时,求抛物线M的函数表达式; (3)在(2)的条件下,直线l:y=kx+b(k0)经过抛物线的顶点D,直线y=n与抛物线M有两个公共点, 它们的横坐标分别记为x1,x2,直线y=n与直线l的交点的横坐标记为x3(x30),若当-2n-1时,总 有x1-x3x3-x20,请结合函数的图象,直接写出k的取值范围.,解析 (1)x=2. (2)抛物线y=ax2-4ax+a-1的对称轴为直线x=2,抛物线M与x轴的交点为

25、A,B(点A在点B左侧), AB=2, A,B两点的坐标分别为A(1,0),B(3,0), 点A在抛物线M上, 将A(1,0)的坐标代入抛物线的函数表达式,得a-4a+a-1=0,解得a=- . 抛物线M的函数表达式为y=- x2+2x- . (3)k . 提示:如下图,x30,直线l与y轴的交点在点(0,-2) 上方,又直线l过抛物线的顶点D , 根据图象可知,k = .,17.(2018北京海淀二模,26)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-3,1),B(-1,1),C(m,n),其中n1,以 点A,B,C为顶点的平行四边形有三个,记第四个顶点分别为D1,D2,D3,如图所示. (1)若

26、m=-1,n=3,则点D1,D2,D3的坐标分别是( ),( ),( ); (2)是否存在点C,使得点A,B,D1,D2,D3在同一条抛物线上?若存在,求出点C的坐标;若不存在,说 明理由.,解析 (1)D1(-3,3),D2(1,3),D3(-3,-1). (2)不存在.理由如下: 假设存在满足条件的点C,即A,B,D1,D2,D3在同一条抛物线上,则线段AB的垂直平分线x=-2即为 这条抛物线的对称轴,而D1,D2在直线y=n上,则D1D2的中点C也在抛物线的对称轴上,故m=-2,即 点C的坐标为(-2,n). 由题意得:D1(-4,n),D2(0,n),D3(-2,2-n). 注意到D3

27、在抛物线的对称轴上,故D3为抛物线的顶点. 设抛物线的表达式是y=a(x+2)2+2-n. 当x=-1时,y=1,代入得a=n-1. 所以y=(n-1)(x+2)2+2-n. 令x=0,得y=4(n-1)+2-n=3n-2=n,解得n=1,与n1矛盾. 所以不存在满足条件的C点.,18.(2017北京西城一模,27)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=mx2-(2m+1)x+m-5的图象与x轴 有两个公共点. (1)求m的取值范围; (2)若m取满足条件的最小的整数. 写出这个二次函数的解析式; 当nx1时,函数值y的取值范围是-6y4-n,求n的值; 将此二次函数图象平移,使平移后的图象经

28、过原点O.设平移后的图象对应的函数表达式为y =a(x-h)2+k,当x2时,y随x的增大而减小,求k的取值范围.,解析 (1)二次函数y=mx2-(2m+1)x+m-5的图象与x轴有两个公共点, 解得m- 且m0. m的取值范围是m- 且m0. (2)m取满足条件的最小的整数,m=1. 二次函数的解析式为y=x2-3x-4. 图象的对称轴为直线x= . 当nx1 时,函数值y随自变量x的增大而减小, 函数值y的取值范围是-6y4-n, 当x=1时,函数值为-6. 当x=n时,函数值为4-n. n2-3n-4=4-n,解得n=-2或n=4(不合题意,舍去). n的值为-2.,由知y=x2-3x

29、-4,故a=1. 函数图象经过原点, k=-h2, 当x2时,y随x的增大而减小, h2,k-4.,思路分析 (1)由抛物线与x轴有两个交点得 即可求出m的取值范围.(2)通过(1)可以确 定m的值.根据二次函数图象的增减性确定端点处函数值,列方程求解.画出图象,由图象过 原点得k=-h2,观察图象得到h的范围,从而求得k的范围.,19.(2016北京朝阳一模,27)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2+bx+c经过点(0,-3),(2,-3). (1)求抛物线的表达式; (2)求抛物线的顶点坐标及与x轴交点的坐标; (3)将y=x2+bx+c(y0)的函数图象记为图象A,图象A关于x轴对

30、称的图象记为图象B.已知一次函 数y=mx+n,设点H是x轴上一动点,其横坐标为a,过点H作x轴的垂线,交图象A于点P,交图象B于 点Q,交一次函数图象于点 N.若只有当1a3时,点Q在点N上方,点N在点P上方,直接写出n的 值.,解析 (1)把(0,-3)代入y=x2+bx+c, 得c=-3. 把(2,-3)代入y=x2+bx-3,得b=-2. y=x2-2x-3. (2)由(1)得y=(x-1)2-4. 顶点坐标为(1,-4). 令x2-2x-3=0,解得x1=3,x2=-1. 抛物线与x轴交点的坐标为(-1,0),(3,0). (3)n=6. 提示把(3,0),(1,4)代入y=mx+n

31、,得n=6; 把(3,0),(1,-4)代入y=mx+n,得n=-6, n=6.,20.(2016北京西城一模,27)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1:y=x2+bx+c经过点A(2,-3),且与x 轴的一个交点为B(3,0). (1)求抛物线C1的表达式; (2)D是抛物线C1与x轴的另一个交点,点E的坐标为(m,0),其中m0,ADE的面积为 . 求m的值; 将抛物线C1向上平移n个单位,得到抛物线C2.当0xm时,抛物线C2与x轴只有一个公共点, 结合函数的图象,求n的取值范围.,解析 (1)抛物线C1:y=x2+bx+c经过点A(2,-3),且与x轴的一个交点为B(3,0), 解得

32、 抛物线C1的表达式为y=x2-2x-3. (2)过A作AFx轴于点F,如图. y=x2-2x-3=(x-1)2-4, 抛物线C1的对称轴为直线x=1. 点D的坐标为(-1,0),OD=1. 点E的坐标为(m,0), 且m0,A(2,-3), SADE= DEAF= DE3= . DE= . m=OE=DE-OD= . 由题意知抛物线C2的表达式为y=(x-1)2-4+n.如图.,当抛物线C2经过点E 时, -4+n=0,解得n= ; 当抛物线C2经过原点O时,(-1)2-4+n=0,解得n=3; 当抛物线C2与x轴相切时,n=4. 结合图象可知, n3或n=4.,1.(2018天津,25,1

33、0分)在平面直角坐标系中,点O(0,0),点A(1,0).已知抛物线y=x2+mx-2m(m是常 数),顶点为P. (1)当抛物线经过点A时,求顶点P的坐标; (2)若点P在x轴下方,当AOP=45时,求抛物线的解析式; (3)无论m取何值,该抛物线都经过定点H.当AHP=45时,求抛物线的解析式.,教师专用题组,解析 (1)抛物线y=x2+mx-2m经过点A(1,0), 0=1+m-2m,解得m=1. 抛物线的解析式为y=x2+x-2. y=x2+x-2= - , 顶点P的坐标为 . (2)抛物线y=x2+mx-2m的顶点P的坐标为 . 由点A(1,0)在x轴正半轴上,点P在x轴下方,AOP

34、=45,知点P在第四象限. 过点P作PQx轴于点Q,则POQ=OPQ=45. 可知PQ=OQ,即 =- ,解得m1=0,m2=-10. 当m=0时,点P不在第四象限,舍去. m=-10. 抛物线的解析式为y=x2-10x+20.,(3)由y=x2+mx-2m=(x-2)m+x2可知, 当x=2时,无论m取何值,y都等于4. 点H的坐标为(2,4). 过点A作ADAH,交射线HP于点D,分别过点D,H作x轴的垂线,垂足分别为E,G,则DEA= AGH=90. DAH=90,AHP=45, ADH=45,AH=AD. DAE+HAG=AHG+HAG=90, DAE=AHG. ADEHAG. DE=

35、AG=1,AE=HG=4. 可得点D的坐标为(-3,1)或(5,-1). 当点D的坐标为(-3,1)时, 可得直线DH的解析式为y= x+ .,点P 在直线y= x+ 上, - = + . 解得m1=-4,m2=- . 当m=-4时,点P与点H重合,不符合题意, m=- . 当点D的坐标为(5,-1)时, 可得直线DH的解析式为y=- x+ . 点P 在直线y=- x+ 上, - =- + . 解得m1=-4(舍),m2=- . m=- .,综上,m=- 或m=- . 故抛物线的解析式为y=x2- x+ 或y=x2- x+ .,思路分析 (1)把点A(1,0)代入抛物线,求出m的值,确定抛物线

36、的解析式,可求出顶点P的坐标; (2)由函数解析式得出顶点坐标为 ,作PQx轴于点Q,则PQ=OQ,建立方程求出 m的值,得出抛物线的解析式;(3)由y=x2+mx-2m=(x-2)m+x2可知,定点H的坐标为(2,4),过点A作 ADAH,交射线HP于点D,分别过点D,H作x轴的垂线,垂足分别为E,G,由AHP=45,得出AH= AD,可证ADEHAG,再求得点D的坐标,分类讨论求出抛物线的解析式.,方法总结 本题为二次函数的综合题,属压轴题.三个问题分别给出不同条件,再用待定系数法 求二次函数关系式.第一问代入点A的坐标即可得解;第二问关键是构造直角三角形,根据顶点 P的位置特点,建立方程

37、求解;第三问难度较大,找到定点H的坐标是关键,再依据点H,点A的坐 标以及AHP=45构造“一线三等角”的模型确定点D的坐标,最后根据点P在直线DH上,分 类讨论求出m的值,即可求出抛物线的解析式.,2.(2018内蒙古包头,26,12分)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y= x2+ x-2与x轴交于A,B 两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,直线l经过A,C两点,连接BC. (1)求直线l的解析式; (2)若直线x=m(m0)与该抛物线在第三象限内交于点E,与直线l交于点D,连接OD.当ODAC 时,求线段DE的长; (3)取点G(0,-1),连接AG,在第一象限内的抛物线上,是否

38、存在点P,使BAP=BCO-BAG?若 存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.,解析 (1)当y=0时, x2+ x-2=0, 解得x1=1,x2=-4. A(-4,0),B(1,0). 当x=0时,y=-2,C(0,-2). 设直线l的解析式为y=kx+b(k0), 解得 直线l的解析式为y=- x-2. (3分) (2)ODAC,ADO=90, ADO=AOC=90. DAO=OAC,AODACO. = . AO=4,OC=2,在RtAOC中,AC= =2 . = ,AD= . 设直线x=m(m0)与x轴交于点F,则DFOC, = ,AF= ,OF=OA-AF= ,m=- . 直线x

39、=m(m0)交抛物线于点E,交直线l于点D, D ,E , DE=- m-2- =- m2-2m= . (7分) (3)假设存在点P,使BAP=BCO-BAG. A(-4,0),B(1,0),C(0,-2), AB=5,BC= . 在RtAOC中,AC=2 ,AB2=AC2+BC2, ACB=90,ACO+BCO=90. ACO+BAC=90,BCO=BAC,BAP=BAC-BAG. BAP=GAC. 过点G作GMAC于点M,过点P作PNx轴于点N, 在RtPAN和RtGAM中,tanBAP=tanGAC, = ,即GMAN=AMPN. G(0,-1),C(0,-2),OG=CG=1. OA=

40、4,在RtAOG中,AG= . 设AM=x,则CM=2 -x. GM2=AG2-AM2=CG2-CM2, ( )2-x2=1-(2 -x)2,解得x= ,AM= , GM= . 设P , PN= n2+ n-2,AN=n+4., (n+4)= . 解得n1=-4(舍去),n2= . 当n= 时, n2+ n-2= . P . 存在点P ,使BAP=BCO-BAG.,思路分析 (1)求出A,C两点坐标,用待定系数法求直线l的解析式;(2)由ODAC易得ACO AOD,再求得AD的长,即可求出点D的横坐标,用m表示出线段DE,代入m=- ,可得DE= ;(3) 由题意证得ACB=90,根据等角的余

41、角相等可得BAC=BCO,进而可得BAP=GAC,作 GMAC,PNx轴,构造RtPAN,RtGAM,由正切的定义可得GMAN=AMPN,分别表示出各 线段的长,可求得点P的坐标.,3.(2018湖北武汉,24,12分)抛物线L:y=-x2+bx+c经过点A(0,1),与它的对称轴直线x=1交于点B. (1)直接写出抛物线L的解析式; (2)如图1,过定点的直线y=kx-k+4(k0)个单位长度得到抛物线L1,抛物线L1与y轴交于点C,过点C 作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D.F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点,P为线段OC上一点.若 PCD与POF相似,并且符合条件的点P恰有2个,求m的值

42、及相应点P的坐标.,解析 (1)y=-x2+2x+1. 详解:由题意知 解得b=2,c=1,抛物线L的解析式为y=-x2+ 2x+1 (2)解法一:直线y=kx-k+4经过定点G(1,4), 易知B点坐标为(1,2), BG=2. SBMN=1,SBMN=SGBN-SGBM= BG(xN-xM)=xN-xM. xN-xM=1. 由 得x2+(k-2)x-k+3=0, xN= ,xM= . xN-xM= =1,k=3, k0,k=-3. 解法二:过点B作BRMN,交x轴于点R,连接MR,NR.,设MN交x轴于点Q,则Q . 直线BR的解析式为y=kx-k+2,则R的坐标为 . SBMN=SRMN

43、= RQ(yM-yN)=1. k(xM-xN)=1,即xN-xM=1.(以下同解法一) (3)依题意得,抛物线L1的解析式为y=-x2+2x+1+m. C(0,1+m),D(2,1+m),F(1,0). 设P(0,t), 当PCDFOP时, = , = ,t2-(1+m)t+2=0;,当PCDPOF时, = , = ,t= (m+1). (i)当方程有两个相等的实数根时, =(1+m)2-8=0,m=2 -1(舍负), 方程有两个相等的实数根t1=t2= , 此时,方程有一个实数根t= . m=2 -1,此时,点P的坐标是(0, )和 . (ii)当方程有两个不相等的实数根时, 把代入得, (

44、m+1)2- (m+1)2+2=0,解得m=2(舍负), 此时,方程有两个不相等的实数根t1=1,t2=2, 方程有一个实数根t=1, m=2,此时,点P的坐标是(0,1)和(0,2). 综上,当m=2 -1时,点P的坐标是(0, )和 ; 当m=2时,点P的坐标是(0,1)和(0,2).,思路分析 (1)根据对称轴为直线x=1且抛物线过点A(0,1)求解可得解析式; (2)直线y=kx-k+4=k(x-1)+4所过定点G的坐标为(1,4),从而得出BG=2,由SBMN=SGBN-SGBM= BG (xN-xM)=1得出xN-xM=1,联立直线和抛物线解析式求得x= ,根据xN-xM=1列出关

45、于k的 方程,得解; (3)设抛物线L1的解析式为y=-x2+2x+1+m,可得C(0,1+m)、D(2,1+m)、F(1,0),再设P(0,t),分 PCDFOP和PCDPOF两种情况,由对应边成比例得出关于t与m的方程,利用符合条 件的点P恰有2个,结合方程的解的情况求出结果.,方法指导 二次函数与相似三角形结合的解题方法: (1)确定一组固定角; (2)根据对应边进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件; (3)由相似三角形列出相应比例式; (4)将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来(其长度多借助勾股定理求得); (5)将所表示的线段代入比例式中,构造方程进行求解即可.,4.(2017陕

46、西,24,10分)在同一直角坐标系中,抛物线C1:y=ax2-2x-3与抛物线C2:y=x2+mx+n关于y轴 对称,C2与x轴交于A、B两点,其中点A在点B的左侧. (1)求抛物线C1,C2的函数表达式; (2)求A、B两点的坐标; (3)在抛物线C1上是否存在一点P,在抛物线C2上是否存在一点Q,使得以AB为边,且 以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出P、Q两点的坐标;若不存在, 请说明理由.,解析 (1)C1与C2关于y轴对称, C1与C2的交点一定在y轴上,且C1与C2的形状、大小均相同, a=1,n=-3. C1的对称轴为直线x=1. C2的对称轴为直线x=-

47、1. m=2. C1:y=x2-2x-3,C2:y=x2+2x-3. (2)令C2中y=0,则x2+2x-3=0. 解之,得x1=-3,x2=1. A(-3,0),B(1,0). (3)存在.设P(a,b),则Q(a+4,b)或(a-4,b). 当Q(a+4,b)时,得: a2-2a-3=(a+4)2+2(a+4)-3. 解之,得a=-2.,b=a2-2a-3=4+4-3=5. P1(-2,5),Q1(2,5). 当Q(a-4,b)时,得: a2-2a-3=(a-4)2+2(a-4)-3. 解之,得a=2. b=4-4-3=-3. P2(2,-3),Q2(-2,-3). 综上所述,所求点的坐标

48、为P1(-2,5),Q1(2,5);P2(2,-3),Q2(-2,-3).,思路分析 (1)由于抛物线C1、C2关于y轴对称,则两条抛物线的交点在y轴上,且C1,C2的形状、 大小均相同,可得a,n的值,由C1,C2的对称轴关于y轴对称可得m的值;(2)求抛物线与x轴的交点 坐标,令函数值y等于0,得到关于x的一元二次方程,求解即可.(3)以AB为边,且以A、B、P、Q四 点为顶点的四边形为平行四边形,则AB与PQ平行且相等,所以P、Q两点的纵坐标相等,PQ=AB =4.由于点P与点Q的位置不确定,故要分类讨论.,解后反思 (1)以形定数,抛物线与x轴交点的横坐标是对应的一元二次方程的两实数根;以数 定形,求出方程ax2+bx+c=0(a0