北京专版2019年中考数学一轮复习第七章专题拓展7.2尺规作图原理问题试卷部分课件.pptx

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1、1.(2017北京,16,3分)下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程. 已知:RtABC,C=90. 求作:RtABC的外接圆. 作法:如图. (1)分别以点A和点B为圆心,大于 AB的长为半径作弧, 两弧相交于P,Q两点; (2)作直线PQ,交AB于点O; (3)以O为圆心,OA长为半径作O.,好题精练,O即为所求作的圆. 请回答:该尺规作图的依据是 .,答案 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上;两点确定一条直线;直角三角形斜 边上的中线等于斜边的一半;圆的定义,2.(2015北京,16,3分)阅读下面材料: 在数学课上,老师提出如下问题: 尺规作图:作一条线段的垂直平

2、分线. 已知:线段AB. 求作:线段AB的垂直平分线. 小芸的作法如下:,如图, (1)分别以点A和点B为圆心,大于 AB的长为半径作弧,两弧 相交于C,D两点; (2)作直线CD. 所以直线CD就是所求作的垂直平分线. 老师说:“小芸的作法正确.” 请回答:小芸的作图依据是 .,答案 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,两点确定一条直线,解析 由小芸的作法可知,AC=BC,AD=BD,所以由“到线段两个端点距离相等的点在这条线 段的垂直平分线上”可知点C、D在线段AB的垂直平分线上,再由“两点确定一条直线”可 知直线CD就是所求作的垂直平分线.,思路分析 可以从为什么直线CD

3、是线段AB的垂直平分线来考虑,即需要思考如何证明、如 何连线.,解题关键 解决本题的关键是要明确作图过程中各步的依据,要熟练掌握基本作图的步骤和 依据.,3.(2018北京东城一模,16)已知正方形ABCD. 求作:正方形ABCD的外接圆. 作法:如图, (1)分别连接AC,BD,交于点O; (2) 以点O为圆心,OA长为半径作O. O即为所求作的圆. 请回答:作图的依据是 .,答案 正方形的对角线相等且互相平分和圆的定义,解析 圆是由到定点的距离等于定长的点构成的图形,而正方形的对角线交点到四个顶点的 距离相等,所以作图依据为正方形的对角线相等且互相平分和圆的定义.,解题关键 解决本题的关键

4、是要熟练掌握正方形的性质和圆的定义.,4.(2018北京西城一模,16)阅读下面材料: 在复习课上,围绕一道作图题,老师让同学们尝试应用学过的知识设计多种不同的作图方法,并 交流其中蕴含的数学原理.,已知:直线l和直线外的一点P. 求作:过点P且与直线l垂直的直线PQ,垂足为点Q. 某同学的作图步骤如下:,请你根据该同学的作图方法完成以下推理: PA=PB,APQ= , PQl .(依据: ),答案 BPQ;等腰三角形顶角的平分线与底边上的高重合,解析 PA=PB,PAB为等腰三角形,PQ为APB的平分线,根据等腰三角形顶角的平分 线与底边上的高重合可以得到PQl.,5.(2018北京海淀一模

5、,16)下面是“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程.,已知:O和O上一点P. 求作:O的切线MN,使MN经过点P. 作法:如图, (1)作射线OP; (2)以点P为圆心,小于OP的长为半径作弧,交射线OP于A,B两点; (3)分别以点A,B为圆心,大于 AB长为半径画弧,两弧交于M,N两点; (4)作直线MN.则MN就是所求作的O的切线.,请回答:该尺规作图的依据是 .,答案 到一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上;经过半径的外端并 且垂直于这条半径的直线是圆的切线;两点确定一条直线,解析 作切线需要用到切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 切线;同

6、时一定是作两个点,两点确定一条直线;根据“到一条线段的两个端点距离相等的点在 这条线段的垂直平分线上”获得垂直,进而证明了MN就是所求作的切线.,6.(2018北京朝阳一模,16)下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过 程. 已知:直线a和直线外一点P.,求作:直线a的垂线,使它经过点P. 作法:如图,(1)在直线a上取一点A,连接PA; (2)分别以点A和点P为圆心,大于 AP的长为半径作弧,两弧相交于B,C两点,连接BC交PA于点D;,(3)以点D为圆心,DP为半径作圆,交直线a于点E,作直线PE.直线PE就是所求作的垂线. 请回答:该尺规作图的依据是 .,答案 到一条线

7、段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上;直径所对的圆周角 是直角,解析 PEA=90是因为直径所对的圆周角是直角;通过构造垂直平分线,找到PA的中点D,依 据是到一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.,7.(2018北京丰台一模,16)下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程.,已知:A. 求作:一个角,使它等于A. 作法:如图,(1)以点A为圆心,任意长为半径作A,交A的两边于B,C两点; (2)以点C为圆心,BC长为半径作弧,与A交于点D,作射线AD.CAD就是所求作的角. 请回答:该尺规作图的依据是 .,答案 同圆的半径相等;三条边对应相等的两个三角形全等;

8、全等三角形的对应角相等,解析 通过圆规获得等线段,AB=AD,BC=DC,所以两个三角形全等,则对应角相等.,8.(2018北京石景山一模,16)小林在没有量角器和圆规的情况下,利用刻度尺和一副三角板画 出了一个角的平分线,他的作法是这样的: (1)如图,利用刻度尺在AOB的两边OA,OB上分别取点M,N,使OM=ON; (2)利用两个三角板,分别过点M,N画OM,ON的垂线,交点为P; (3)画射线OP.则射线OP为AOB的平分线. 请写出小林的作法的依据: .,答案 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等;全等三角形的对应角相等,解析 由操作(1)得到OM=ON,由操作(2)得到两个

9、90角,又OP=OP,所以两个三角形全等(HL), 由全等三角形的对应角相等得AOP=BOP.,9.(2018北京大兴一模,16)下面是“求作AOB的平分线”的尺规作图过程.,已知:如图,钝角AOB. 求作:AOB的平分线. 作法: 在OA和OB上,分别截取OD、OE,使OD=OE; 分别以D、E为圆心,大于 DE的长为半径作弧,在AOB内,两弧交于点C; 作射线OC.射线OC就是所求作的AOB的平分线.,请回答:该尺规作图的依据是 .,答案 三条边对应相等的三角形全等;全等三角形的对应角相等,解析 通过圆规截取获得等线段,OD=OE和CD=CE,再结合OC=OC,可证两个三角形全等,全 等三

10、角形的对应角相等,所以AOC=BOC.,10.(2018北京顺义一模,16)在数学课上,老师提出一个问题:用直尺和圆规作一个矩形.小华的 作法如下: (1)如图1,任取一点O,过点O作直线l1,l2; (2)如图2,以O为圆心,任意长为半径作圆,与直线l1,l2分别交于点A、C、B、D; (3)如图3,连接AB、BC、CD、DA.四边形ABCD即为所求作的矩形. 请回答: 小华的作图依据是 .,答案 同圆的半径相等;对角线相等且互相平分的四边形是矩形,解析 通过作圆,根据同圆的半径相等可以得到AO=CO=BO=DO,所以由“对角线相等且互相 平分的四边形是矩形”可得四边形ABCD为矩形.,一题

11、多解 直径所对的圆周角是直角,有三个角是直角的四边形是矩形.,11.(2018北京门头沟一模,16)下面是“已知一条直角边和斜边作直角三角形”的尺规作图过 程.,已知:线段a、b, 求作:RtABC.使得斜边AB=b,AC=a. 作法:如图. (1)作射线AP,在AP上截取线段AB=b; (2)以AB为直径作O;,(3)以点A为圆心,a的长为半径作弧交O于点C; (4)连接AC、CB.ABC即为所求作的直角三角形. 请回答:该尺规作图的依据是 .,答案 直径所对的圆周角是直角,三角形定义,解析 90是由“直径所对的圆周角是直角”提供的;通过直角三角形定义可知ABC即为所 求作的直角三角形.,1

12、2.(2017北京海淀一模,16)下面是“作三角形一边中线”的尺规作图过程. 已知:ABC. 求作:BC边上的中线AD. 作法:如图: (1)分别以点B,C为圆心,AC,AB长为半径作弧,两弧相交于P点; (2)作直线AP,AP与BC交于D点. 所以线段AD就是所求作的中线.,请回答:该作图的依据是 .,答案 两组对边分别相等的四边形是平行四边形,平行四边形的对角线互相平分,解析 由作图可知AB=CP,AC=BP,所以四边形ABPC为平行四边形.由平行四边形对角线互相 平分的性质可知BD=CD,所以AD是BC边上的中线.,13.(2017北京西城一模,16)下面是“经过已知直线外一点作这条直线

13、的平行线”的尺规作图 过程. 已知:如图,直线l和直线l外一点P. 求作:直线l的平行直线,使它经过点P. 作法:如图. (1)过点P作直线m与直线l交于点O;,(2)在直线m上取一点A(OAOP),以点O为圆心,OA长为半径画弧,与直线l交于点B; (3)以点P为圆心,OA长为半径画弧,交直线m于点C,以点C为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点 D; (4)作直线PD.直线PD就是所求作的平行线. 请回答:该作图的依据是 .,答案 三边分别相等的两个三角形全等;全等三角形的对应角相等;同位角相等,两直线平行; 两点确定一条直线,解析 通过画弧操作可知,OA=OB=PC=PD,AB=CD,所以

14、OABPCD(三边分别相等的两 个三角形全等).AOB=CPD(全等三角形的对应角相等).PDl(同位角相等,两直线平 行).最后要连接点P和点D,要画出直线的理由是两点确定一条直线.,14.(2017北京丰台一模,16)在数学课上,老师提出如下问题: 已知:线段a,b. 求作:等腰ABC,使AB=AC,BC=a,BC边上的高为b. 小姗的作法如下: 如图: (1)作线段BC=a; (2)作线段BC的垂直平分线MN交线段BC于点D;,(3)在MN上截取线段DA=b,连接AB,AC.ABC就是所求作的等腰三角形. 老师说:“小姗的作法正确.” 请回答:得到ABC是等腰三角形的依据是 .,答案 垂

15、直平分线上的点到线段两个端点的距离相等;到线段两个端点距离相等的点在这条 线段的垂直平分线上; 有两条边相等的三角形是等腰三角形,解析 由操作步骤可知,通过作垂直平分线(到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直 平分线上),再由垂直平分线的性质可得AB=AC.根据等腰三角形的定义可以判定ABC是等 腰三角形.,15.(2017北京东城一模,16)下面是“以已知线段为直径作圆”的尺规作图过程. 已知:线段AB. 求作:以AB为直径的O. 作法:如图: (1)分别以A,B为圆心,大于 AB的长为半径作弧,两弧相交于点C,D; (2)作直线CD交AB于点O; (3)以O为圆心,OA长为半径作圆.

16、则O即为所求. 请回答:该作图的依据是,.,答案 到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上;两点确定一条直线;同圆半径相等,且 圆心到圆周的距离相等,解析 由题意可知AC=BC,AD=BD,可知点C、D都在线段AB的垂直平分线上,所以直线CD是 线段AB的垂直平分线,点O为AB的中点,根据圆的定义,即可作出以AB为直径的圆.,16.(2016北京石景山一模,16)阅读下面材料: 在数学课上,老师请同学思考如下问题: 已知:在ABC中,A=90. 求作:P,使得点P在边AC上,且P与AB,BC都相切. 小轩的主要作法如下: 如图. (1)作ABC的平分线BF,与AC交于点P; (2)以点P为圆

17、心,AP长为半径作P. 所以P即为所求.,老师说:“小轩的作法正确.” 请回答:P与BC相切的依据是 .,答案 角平分线上的点到角两边的距离相等,若圆心到直线的距离等于半径,则这条直线为圆 的切线,解析 过点P作PDBC,垂足为D.由角平分线的性质可知PA=PD.由切线的判定可知P与BC 相切.,17.(2016北京朝阳一模,16)阅读下面材料: 数学课上,老师提出如下问题: 尺规作图:经过已知直线上一点作这条直线的垂线. 已知:直线AB和AB上一点C.求作:AB的垂线,使它经过点C. 小艾的作法如下: 如图, (1)在直线AB上取一点D,使点D与点C不重合,以点C为圆心,CD长为半径作弧,交

18、AB于点E; (2)分别以点D和点E为圆心,大于 DE长为半径作弧,两弧相交于点F; (3)作直线CF. 所以直线CF就是所求作的垂线.,老师说小艾的作法是对的. 请回答:小艾这样作图的依据是 .,答案 等腰三角形“三线合一”,两点确定一条直线,解析 由圆规作图可得等线段DF和EF,所以DEF是等腰三角形,因为CF是中线,所以CF DE.,18.(2016北京东城一模,16)阅读下面的材料: 在数学课上,老师提出如下问题: 如图,已知ABC,ABBC,用尺规作图的方法在BC上取一点P,使得PA+PC=BC. 甲、乙、丙、丁四位同学的主要作法如下: 甲同学的作法:如图甲,以点B为圆心,BA长为半

19、径画弧,交BC于点P,则点P就是所求的点. 乙同学的作法:如图乙,作线段AC的垂直平分线交BC于点P,则点P就是所求的点. 丙同学的作法:如图丙,以点C为圆心,CA长为半径画弧,交BC于点P,则点P就是所求的点. 丁同学的作法:如图丁,作线段AB的垂直平分线交BC于点P,则点P就是所求的点.,请你判断哪位同学的作法正确 ;这位同学作图的依据是 .,答案 丁;垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,等量代换,解析 题图甲由同圆的半径相等可以得到AB=PB,则AB+PC=BC,不符合题意.题图乙由垂直平 分线的性质可以得到PA=PC,则PB+PA=BC,不符合题意.题图丙由同圆的半径相等可以得到

20、AC=PC,则PB+AC=BC,不符合题意.题图丁由垂直平分线的性质可以得到PA=PB,则PA+PC= BC,符合题意.,思路分析 依次确定甲、乙、丙、丁四种作法中的等量关系,作出判断.,解题关键 熟练掌握线段的垂直平分线的性质.,1.(2018河北,6,3分)尺规作图要求:.过直线外一点作这条直线的垂线;.作线段的垂直平分 线;.过直线上一点作这条直线的垂线;.作角的平分线. 下图是按上述要求排乱顺序的尺规作图:,教师专用题组,则正确的配对是 ( ) A., B., C., D.,答案 D 根据尺规作图的方法可知正确的配对是,.故选D.,2.(2018河南,9,3分)如图,已知AOBC的顶点

21、O(0,0),A(-1,2),点B在x轴正半轴上.按以下步骤作 图:以点O为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边OA,OB于点D,E;分别以点D,E为圆心,大 于 DE的长为半径作弧,两弧在AOB内交于点F;作射线OF,交边AC于点G.则点G的坐标为 ( ) A.( -1,2) B.( ,2) C.(3- ,2) D.( -2,2),答案 A 如图,设AC与y轴交于点H. 在AOBC中,ACOB,AHy轴, A(-1,2),AO= = , 由作图知OF平分AOB,AOF=BOF=AGO, AG=AO= ,HG=AG-AH= -1, 点G的坐标为( -1,2).故选A.,思路分析 根据作图方法可知

22、OF平分AOB,在AOBC中判定AOG为等腰三角形,用勾股 定理可求相关边长度,进而求得点G的坐标.,方法总结 本题考查了平行四边形的性质、基本作图、勾股定理,主要载体为一种数学模型, 如下图,若存在3个条件:ABCD,CB平分ACD,AC=AB.取任意两个作条件,一定能得 出第三个.,3.(2018山西,14,3分)如图,直线MNPQ,直线AB分别与MN,PQ相交于点A,B.小宇同学利用尺规 按以下步骤作图:以点A为圆心,以任意长为半径作弧交AN于点C,交AB于点D;分别以C,D 为圆心,大于 CD长为半径作弧,两弧在NAB内交于点E;作射线AE交PQ于点F.若AB=2, ABP=60,则线

23、段AF的长为 .,答案 2,解析 过点B作BGAF交AF于点G, 由尺规作图可知,AF平分NAB,NAF=BAF. MNPQ,NAF=BFA,BAF=BFA,BA=BF=2. BGAF,AG=FG, ABP=60,BAF=BFA=30. 在RtBFG中,FG=BFcosBFA=2 = , AF=2FG=2 .,4.(2018陕西,17,5分)如图,已知:在正方形ABCD中,M是BC边上一定点,连接AM.请用尺规作图 法,在AM上求作一点P,使DPAABM.(不写作法,保留作图痕迹),解析 如图所示,点P即为所求. (5分),思路分析 过D点作DPAM于点P,进而可利用APD=B,DAP=AMB

24、判断DPAABM.,5.(2018江西,15,6分)如图,在四边形ABCD中,ABCD,AB=2CD,E为AB的中点.请仅用 分别按下列要求画图(保留画图痕迹). (1)在图1中,画出ABD的BD边上的中线; (2)在图2中,若BA=BD,画出ABD的AD边上的高.,解析 画法如图. (1)AF即为所求. (2)BF即为所求.,解题关键 本题考查复杂作图,解题的关键是灵活运用平行四边形的性质和三角形的重心及 等腰三角形三线合一等知识解决问题.,思路分析 (1)(见答案第一个图)连接EC,通过判断四边形BEDC是平行四边形得出EC和BD的 交点F为线段BD的中点,进而画出所求; (2)(见答案第

25、二个图)连接EC,ED,连接点A与EC和BD的交点,利用三角形重心的性质及等腰三 角形三线合一的知识画出ABD的AD边上的高.,6.(2018福建,20,8分)求证:相似三角形对应边上的中线之比等于相似比. 要求:根据给出的ABC及线段AB,A(A=A),以线段AB为一边,在给出的图形上用尺 规作出ABC,使得ABCABC,不写作法,保留作图痕迹; 在已有的图形上画出一组对应中线,并据此写出已知,求证和证明过程.,解析 如图, ABC即为所求作的三角形. 已知:如图,ABCABC, = = =k,AD=DB,AD=DB.求证: =k. 证明:AD=DB,AD=DB,AD= AB,AD= AB,

26、 = = , 又 = , = , ABCABC, A=A, CADCAD, = =k.,解后反思 本题考查尺规作图、相似三角形的性质与判定等基础知识,考查推理能力、化归 与转化思想.,7.(2017甘肃兰州,22,6分)在数学课上,同学们已经探究过 “经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程: 已知:直线l和l外一点P. 求作:直线l的垂线,使它经过点P. 作法:如图. (1)在直线l上任取两点A,B; (2)分别以点A,B为圆心,AP,BP长为半径画弧,两弧相交于点Q; (3)作直线PQ. 所以直线PQ就是所要求作的垂线.,参考以上材料作图的方法,解决以下问题: (1)以上材料作图的依据是: . (2)已知:直线l和l外一点P. 求作:P,使它与直线l相切.(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹),解析 (1)到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上;或线段垂直平分线的性质. (2)如图: 提示:在直线l上任取两点A,B,分别以A,B为圆心,AP,BP长为半径画弧,两弧相交于点Q; 作直线PQ交AB于点C; 以P为圆心,PC长为半径作圆. P就是所要求作的图形.,