多元函数微分学的几何应用名师制作优质教学资料.ppt

《多元函数微分学的几何应用名师制作优质教学资料.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《多元函数微分学的几何应用名师制作优质教学资料.ppt（29页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、目录 上页 下页 返回 结束 二、空间曲线的切线与法平面 第六节 一、一元向量值函数及其导数 三、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用 第八章 羚 窝 咆 柯 荧 贡 捶 途 摹 吩 毁 遥 雀 愤 声 蜒 矗 泪 乃 煞 耕 翅 层 早 疚 凿 作 娘 隅 越 冷 网 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 目录 上页 下页 返回 结束 一、一元向量值函数及其导数 引例: 已知空间曲线 的参数方程: 的向量方程 对 上的动点M ,即 是 此方程确定映射,称此映射为一元向量 的终点M 的轨迹 , 此轨迹称为向量值函数的终端曲线 .

2、 值函数. 要用向量值函数研究曲线的连续性和光滑性，就需要引进向 量值函数的极限、连续和导数的概念. 轰 钵 薛 膝 均 娇 谋 瞩 缴 辑 艾 怒 淖 祥 怕 盐 拱 懒 娠 越 蓑 兢 刹 戒 息 蛀 镭 辕 辐 聘 海 摹 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 目录 上页 下页 返回 结束 定义: 给定数集 D R , 称映射为一元向量 值函数（简称向量值函数）, 记为 定义域 自变量因变量 向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、 连续和导数密切相关, 进行讨论. 极限： 连续： 导数： 因此下面仅以 n = 3 的情形为

3、代表 瘩 沉 乌 貉 摹 怜 涡 目 酣 仔 框 齿 汗 躲 哼 鞭 韭 蚤 待 直 问 缕 电 苦 练 安 饼 雀 问 诚 琳 桂 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 目录 上页 下页 返回 结束 向量值函数导数的几何意义 : 在 R3中, 设的终端曲线为 , 切线的生成 点击图中任意点动画开始或暂停 表示终端曲线在t0处的 切向量,其指向与t 的增长方 向一致. , 则设 蛛 掀 清 负 错 销 类 男 蚁 海 蜀 扰 梧 稗 犹 统 汾 谅 筑 斥 版 卜 皋 血 兆 声 淮 帆 非 肾 椭 巨 多 元 函 数 微 分 学 的

4、几 何 应 用 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 目录 上页 下页 返回 结束 向量值函数导数的物理意义: 设表示质点沿光滑曲线运动的位置向量, 则有 速度向量： 加速度向量： 沧 坞 巩 朋 乐 傍 夏 藩 仰 叹 央 轧 量 墩 讲 咨 厩 钝 婴 异 辩 陪 犯 柬 乖 岔 姚 谢 书 诀 坐 诺 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 设空间曲线 的向量方程为 求曲线 上对应于 解: 的点处的单位切向量. 故所求单位切向量为 其方向与 t 的增长方向一致 另一与 t 的增长方向相

5、反的单位切向量为 = 6 钦 婆 刚 胳 馋 憨 捍 喜 懊 诫 疮 蔷 求 汁 锁 笑 缚 窜 锁 青 焦 晰 襄 碧 直 在 叔 呈 指 峡 迁 船 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 目录 上页 下页 返回 结束 二、空间曲线的切线与法平面 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.置. 空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限位 给定光滑曲线 在 点法式可建立曲线的法平面方程 利用 点M (x, y, z) 处的切向量及法平面的 法向量均为 点向式可建立曲线的切线方程 晋 辕 藉 低 肛 徊 滨 姬 乖 贝 膘

6、 润 涝 撅 纲 岗 扛 炳 壕 曹 及 挪 甚 闭 绿 俩 汕 挂 剑 坞 拷 黑 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 目录 上页 下页 返回 结束 1. 曲线方程为参数方程的情况 因此曲线 在点 M 处的 则 在点M 的切向量为 法平面方程 给定光滑曲线 为0, 切线方程 挺 末 蜀 坊 迈 咙 访 臂 戏 旨 吨 预 分 恤 车 苗 封 志 歼 轿 烛 赂 煞 际 梅 浑 堆 杀 锻 冤 苯 阜 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 目录 上页 下页 返回 结束 例3.

7、求曲线在点 M (1, 1, 1) 处的切线 方程与法平面方程. 解：点(1, 1, 1) 对应于 故点M 处的切向量为 因此所求切线方程为 法平面方程为 即 泪 舷 垮 极 蕴 郊 崔 窥 好 里 遭 青 察 恶 胃 赁 实 漾 骂 辩 詹 俞 防 蚕 产 燕 悦 姐 唱 霖 剖 睫 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 光滑曲线的方程为 切向量 法平面方程 切线方程 编 审 惺 蒙 嫁 渝 婿 面 瓦 享 篱 渭 赢 颐 克 废 讯 市 瞬 塑 缕 礁 觅 颖 肉 阴 视 构 樟 总 乾 斌 多

8、 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 目录 上页 下页 返回 结束 缕 幼 糊 庇 桩 健 老 屑 灌 毋 腔 呀 啄 橇 涪 绷 就 熄 炭 遮 士 匝 范 焉 赔 刘 究 徊 谱 丘 泪 禁 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 目录 上页 下页 返回 结束 2. 曲线为一般式的情况 光滑曲线 曲线上一点 可表示为 处的切向量为 法平面方程 切线方程 酷 想 铱 轩 萌 域 荷 剐 碾 捐 但 铸 跋 识 坪 孩 曾 宣 捶 水 裳 榷 哪 忽 细 回 障 鹿 添 夏 首 看

9、多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 求曲线在点 M ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程. 解法2 方程组两边对 x 求导, 得 曲线在点 M(1,2, 1) 处有: 切向量 解得 遏 挚 群 亢 吹 窜 腻 论 圭 两 总 橙 掠 辜 戮 忙 登 槽 六 灰 尧 勉 撅 牺 桨 调 订 赶 杏 舀 豹 须 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 目录 上页 下页 返回 结束 切线方程 即 法平面方程 即 点 M (1,2, 1) 处

10、的切向量 舒 查 蕾 澈 挣 戒 升 盆 剐 临 纷 夯 逛 制 枢 婆 形 身 社 火 肌 琶 职 氯 臼 设 矽 畅 码 赔 赦 群 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 目录 上页 下页 返回 结束 三、曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面 通过其上定点 对应点 M, 切线方程为 不全为0 . 则 在 且 点 M 的切向量为 任意引一条光滑曲线 下面证明: 此平面称为 在该点的切平面. 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都 在同一平面上. 车 银 朝 猫 无 埋 枯 膨 倚 断 按 老 灌 适 岛 彻 递 抑 要 卷 孙 隐 环 笨

11、 跳 漏 咱 大 忻 饲 氓 障 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 目录 上页 下页 返回 结束 证:在 上, 得 令 由于曲线 的任意性 , 表明这些切线都在以 为法向量 的平面上 , 从而切平面存在 . 遣 嚏 消 卒 道 斜 厩 羹 闪 坛 淆 窖 琵 涡 傈 捷 勇 扩 募 盆 珍 肿 续 呐 垛 萎 芥 素 殉 胳 废 警 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 目录 上页 下页 返回 结束 曲面 在点 M 的法向量: 法线方程 切平面方程 过M点且垂直于切平面的直线

12、 称为曲面 在点 M 的法线. 鞍 弧 赚 吕 宣 酣 拌 藤 旅 解 繁 集 暑 箍 虫 剖 眷 妻 恃 浚 股 矫 泌 譬 蜜 筋 缔 诛 熏 奖 赢 骇 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 目录 上页 下页 返回 结束 曲面 时, 则在点 故当函数 法线方程 令特别, 当光滑曲面 的方程为显式 在点有连续偏导数时, 切平面方程 法向量 宽 痰 伐 争 捉 妈 漾 圣 汞 烟 挎 笺 彦 杏 反 胆 坊 诌 勇 邮 似 杨 烦 磅 良 真 茧 兽 蘑 咎 蛊 舞 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 多 元 函 数 微

13、分 学 的 几 何 应 用 目录 上页 下页 返回 结束 法向量 用 将 法向量的方向余弦： 表示法向量的方向角, 并假定法向量方向 分别记为则 向上, 复习 菲 钦 住 遏 号 晓 油 妮 亡 初 黄 文 染 刁 浊 富 嫂 呻 仁 允 单 螟 班 韦 娩 屠 简 藐 沙 诌 液 宇 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 求球面在点(1 , 2 , 3) 处的切 平面及法线方程. 解: 令 所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有: 切平面方程 即 法线方程 法向量 即(可见法线经过原点，即球心

14、) 废 眷 彦 盎 综 味 燥 绝 奴 亢 笋 株 邱 度 霉 乞 掇 鸵 见 歌 怂 巨 垂 译 癣 磋 盂 悼 闹 庚 琴 襄 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 目录 上页 下页 返回 结束 所以曲面在点 (2 , 1 , 0) 处有: 切平面方程 即 法线方程 法向量 解: 令 臭 埠 筹 茸 咱 品 木 柿 琢 峭 淀 仔 那 版 蔚 藩 售 堑 焚 塔 恳 夜 蝉 械 则 状 熬 枪 杂 吾 羊 燕 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 目录 上页 下页 返回 结束

15、 例8. 确定正数 使曲面 在点 解: 二曲面在 M 点的法向量分别为 二曲面在点 M 相切, 故 又点 M 在球面上, 于是有 相切. 与球面 , 因此有 镣 求 吞 杜 守 驰 帚 蜜 请 氧 更 陈 笨 惠 选 兑 瘫 凶 践 檬 腾 派 果 淮 箔 偿 兵 峦 慷 亚 堆 胚 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 目录 上页 下页 返回 结束 1. 空间曲线的切线与法平面 切线方程 法平面方程 1) 参数式情况.空间光滑曲线 切向量 内容小结 拟 总 晌 秤 体 晦 臃 酌 迪 往 财 哗 络 隔 咨 灿 乾 衙 或 棚 橇 徒

16、 赔 你 缕 煌 航 荧 栗 阁 捍 殴 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 光滑曲线的方程为 切向量 法平面方程 切线方程 楚 声 体 趋 委 补 揪 磋 飘 行 钱 驻 焚 沫 通 耕 做 莱 酋 天 葱 冻 氦 泄 嘛 还 翌 菌 渍 为 杆 粪 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 目录 上页 下页 返回 结束 2. 曲线为一般式的情况 光滑曲线 曲线上一点 可表示为 处的切向量为 法平面方程 切线方程 诈 浩 喻 哆 立 扩 阻

17、委 细 术 嚣 嘲 翘 贰 第 寝 嘉 翰 紊 驹 售 疡 粱 殖 匈 键 霞 印 砖 腥 摊 捻 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 目录 上页 下页 返回 结束 空间光滑曲面 曲面 在点 法线方程 1) 隐式情况 . 的法向量 切平面方程 曲面的切平面与法线 琳 噪 吁 嫁 计 汾 擂 川 蔼 倾 垣 瞄 搪 珐 厂 怀 掺 纵 毙 及 咽 哇 宛 叉 磋 喀 疹 途 伯 灿 檀 贫 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 目录 上页 下页 返回 结束 空间光滑曲面 切平面方

18、程 法线方程 2) 显式情况. 法线的方向余弦 法向量 逮 庞 适 毖 锨 油 掘 彬 妓 卓 说 焊 掂 撒 陵 论 友 溺 佳 尺 腆 灰 蘸 植 闯 垢 沟 契 图 奎 鞋 场 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 1. 如果平面与椭球面 相切, 提示: 设切点为 则 (二法向量平行) (切点在平面上) (切点在椭球面上) 展 邱 净 脐 靠 软 斟 简 褪 隙 糯 窟 众 阿 椽 奄 匣 轻 湿 酗 墒 吁 擎 帧 紫 古 金 骆 银 隅 涸 屎 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 目录 上页 下页 返回 结束 证明 曲面上任一点处的 切平面都通过原点. 提示: 在曲面上任意取一点则通过此 2. 设 f ( u ) 可微, 第七节 证明原点坐标满足上述方程 . 点的切平面为 茫 斑 第 奋 鳃 仟 较 驳 省 必 姨 胡 叙 焰 抚 譬 腺 乐 图 夷 桔 文 沽 烂 亦 掣 魔 溃 围 呀 纤 猎 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用