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1、联赛题型解读之（四）一元二次方程一、“一元二次方程”真题分值分析一元二次方程是初中的重要知识模块,向上承接了代数式,向下引申了二次函数。在初中竞赛中一元二次方程可以考察的题型非常多,在早些年的联赛中整数根问题基本必考,近些年在公共根、有理根、方程构造等问题上也作了考察。一般来说,联赛会在一试和二试中分别考察1道一元二次方程的问题,一试中重点在根系关系上,二试放在特殊根问题上。下面我们通过统计近15年初中数学联赛中一元二次方程的分值（注：至少在结构和形式上是对方程尤其是一元二次方程的考察才会计入分值统计）,帮助大家更好的了解一元二次方程这个模块在联赛中的分值比重。20012016年联赛二次方程考
2、察分值5045454540353934323239302727252120201514107775002001200220032004200520062007200820092010201120122013201420152016,和我们上面总结的一样,联赛中一元二次方程的分值相对来说比较平稳,基本在32分左右（一试和二试各1道题）。一试会考察根系关系难度基本较小不过会结合乘法公式,不等式最值甚至数形结合等方面；二试一般是考察特殊根问题。方程特殊根问题已经研究的相对比较成熟了,我们学生如果想要在这方面做到拿满分还是非常容易的。二、一元二次方程的基础知识与常见问题1.一次方程组的概念与解法对于一
3、元二次方程ax2+bx+c=0(a0)（1）判别式:D=b2-4ac2ax+x=-（3）根系关系：1axx=12（2）求根公式:x=-bb2-4ac,(D0)1,2b2ca.（4）一元二次方程的四种解法：开方；配方；公式法；因式分解2.一元二次方程的常见问题简单的介绍一下初中阶段可以学习和使用的10种常见因式分解的方法（1）可转化为一元二次方程绝对值方程；分式方程；根式方程；（2）判别式利用判别式的非负性（3）根系关系通过根的性质或方程,找到系数之间的关系或方程（4）整数根只有整数根；有整数根；至少一个整数根.（5）有理根根全为有理数；有有理数根（6）公共根有公共根（7）一元二次方程根的分布两
4、根的范围与系数之间的关系（8）方程的构造根据：代数式的结构,判别式,根系关系等三、联赛中一元二次方程的考察方式让我们看看近20年联赛中,对一元二次方程的相关题型考察。1、可转化为一元二次方程的方程绝对值方程,分式方程,根式方程常常转化为一元二次方程来处理。【例1】（2006年联赛）关于x的方程是（）x2x-1=a仅有两个不同的实根,则实数a的取值范围Aa0Ba4C2a4D0a0时,方程化为0,原方程仅有两个不同实根,所以2=a2-4a0,从而0a4【解析】D当a0时,无解；当a=0时,x=0,不合题意；x2=a,整理得x2-ax+a=0或x2+ax-a=0x-1这两个方程的判别式分别为=a2-
5、4a和=a2+4a121【例2】（1994年联赛）若方程x-p=x有两个不相等的实根,则实数p的取值范围是（）Ap0Bp1C0p0,即：p1,4这时,一定要注意,开始我们两边平方的时候是在x0时才能进行的,因此有x=1-11-4p0,即-121-4p0,则：p0,同时还要考虑xp,即：1-1-4p2p,化简可得：4p20,综上所述,可得：0p0)的两根之差是1,那么p的值为（）A2B4C3D5【解析】不妨设两根为a,b(a0,它一定有两个不同的实数根.而原方程的根都是整数,所以方程的根都是整数,则它的判别式D=(a+18)2-224应该是一个完全平方数.设(a+18)2-224=k2（其中k为
6、非负整数）,则(a+18)2-k2=224,即(a+18+k)(a+18-k)=224.显然a+18+k与a+18-k的奇偶性相同,且a+18+k18,而224=1122=564=288,所以a=39a=12【解析】若r=0,x=,原方程无整数根当a=39时,方程即x2+57x+56=0,它的两根分别为-1和-56.此时原方程的三个根为1,-1和-56.当a=12时,方程即x2+30x+56=0,它的两根分别为-2和-28.此时原方程的三个根为1,-2和-28.（3）利用根系关系,【例14】（2002年联赛）试确定一切有理数r使得关于x的方程rx2+(r+2)x+r-1=0有且只有整数根12当
7、r0时,由韦达定理知x+x=r+2,xx=r-1212r(2x-1)(2x-1)=7由x,x是整数得：x=4,x=1,x=1,x=4。或者x=0,121112因为方程的根是整数我们考虑消去r,消去r得：4xx-2(x+x)+1=7,即12121212121x=-3,x=-3,x=0,对应的r=-,2123()（4）至少一个整数根【例15】（1998年竞赛）已知方程a2x2-3a2-8ax+2a2-13a+15=0（其中a是非负整数）,至少有一个整数根,那么a=。aa=a-5aa【解析】因为a0,解得x=1故a可取1,3或52a-33=2-,x52=1-x+2n+5=55；x-2n-11=-5；
8、x-2n-11=-11；x-2n-11=-55；x+2n+5=11x+2n+5=5x+2n+5=1x-2n-11=-1；x+2n+5=-1x+2n+5=-5x+2n+5=-11x+2n+5=-55；（5）转化为不定方程【例16】已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数,求整数n的值【解析】原方程可以化为(x+2n+5)(x-2n-11)=-55,所以；x-2n-11=55x-2n-11=11x-2n-11=5x-2n-11=1进而n=14;4;-14;-4；所以(q+k)(q-k)=16,所以或所以q=5（q=4舍）.q-k=4q-k=27、有理根问题,【例17】（2008年竞赛）是
9、否存在质数p,q使得关于x的一元二次方程px2-qx+p=0有有理数根？【解析】原方程的判别式D=q2-4p2为完全平方数,即q2-4p2=k2（k为非负整数）.所以4p2=(q+k)(q-k),显然q,k为奇数,进而p必须为偶数,进而p=2。q+k=8q+k=48、根的分布这类问题结构特征与常见的基本乘法公式明显一致,直接使用即可,当然我们需要注意一些限制条件,比如分母,取等条件等等。【例18】（2003年联赛）设m是整数,且方程3x2+mx-2=0的两根都大于-而小于935,7则m=9393,所以m的值为4得到3【解析】考虑二次函数y=3x2+mx-2与二次函数的两个交点,由于3大于0,图像开口向-,上由于两个交点都在和之间,所以从图像可以看出y-0,y05757813m42125,整体来说：一元二次方程的根系关系,方程的构造,特殊根问题,公共根,以及根的分布这五块内容是最基本和最常考的知识点。而一元二次方程问题经常使用乘法公式、因式分解、分式变形、以及不等式等。