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1、矩形（基础）【学习目标】1.理解矩形的概念.2.掌握矩形的性质定理与判定定理.【要点梳理】【高清课堂特殊的平行四边形（矩形）知识要点】要点一、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释：矩形定义的两个要素：是平行四边形；有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.要点二、矩形的性质矩形的性质包括四个方面：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.（2）矩形也是轴对称
2、图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.要点三、矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.要点四、直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的
3、一半.要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：直角三角形两锐角互余；直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；直角三角形中30所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.【典型例题】类型一、矩形的性质1、（2015云南）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且PNB=3CBN（1）求证：PNM=2CBN；（2）求线段AP的长【思路点拨】（1）由MNBC，易得CBN=MNB，由已知PNB=3CBN，根据角的和差不难得出
4、结论；1（2）连接AN，根据矩形的轴对称性，可知PAN=CBN，由（）知PNM=2CBN=2PAN，由ADMN，可知PAN=ANM，所以PAN=PNA，根据等角对等边得到AP=PN，再用勾股定理列方程求出AP【答案与解析】解：（1）四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，MNBC，CBN=MNB，PNB=3CBN，PNM=2CBN；（2）连接AN，根据矩形的轴对称性，可知PAN=CBN，MNAD，PAN=ANM，由（1）知PNM=2CBN，PAN=PNA，AP=PN，AB=CD=4，M，N分别为AB，CD的中点，DN=2，设AP=x，则PD=6x，在RtPDN中PD2+DN2=PN
5、2，（6x）2+22=x2，解得：x=所以AP=【总结升华】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识的综合运用，难度不大，根据角的倍差关系得到PAN=PNA，发现AP=PN是解决问题的关键举一反三：【高清课堂特殊的平行四边形（矩形）例7】【变式】如图，RtABC中，C90，AC3，BC4，点P为AB边上任一点，过P分别作PEAC于E，PFBC于F，则线段EF的最小值是_【答案】；提示：因为ECFP为矩形，所以有EFPC.PC最小时是直角三角形斜边上的高.类型二、矩形的判定2、已知：平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE.（）求证：BECDFA；（2）连接AC，若CA
6、CB，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论.BE1BE1【答案与解析】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，ABCD,BD，BCAD.E、F分别是AB、CD的中点，1AB，DFCD.22BEDF.BECDFA.（2）四边形AECF是矩形.四边形ABCD是平行四边形，ABCD，且ABCD.E、F分别是AB、CD的中点，1AB，DFCD.22AECF且AECF.四边形AECF是平行四边形.CACB，E是AB的中点，CEAB，即AEC90.四边形AECF是矩形.；【总结升华】要证明BEC和DFA全等，主要运用判定定理（边角边）四边形AECF是矩形，先证明四边形AECF是平行四边形，再
7、证这个平行四边形对角线相等或者有一个角是直角.举一反三：【变式】（2016黄冈二模）在ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CEBF，连接BE、CF.（）求证：BDFCDE；（2）若DE=12BC，试判断四边形BFCE是怎样的四边形，并证明你的结论.【答案】（1）证明：CEBFCED=BFD，D是BC边的中点BD=DC在BDF与CDE中，BFD=CEDBDF=CDE，BD=DCBDFCDE（AAS）；（2）四边形BFCE为矩形证明：BDFCDE，DE=DF，又BD=DC，四边形BFCE是平行四边形，BD=DC，DE=12BC,BD=DC=ED，BEC=90，平行四边形BFC
8、E为矩形3、如图所示，ABCD四个内角的角平分线分别交于点E、F、G、H求证：四边形EFGH是矩形BAEABE1【思路点拨】AE、BE分别为BAD、ABC的角平分线，由于在ABCD中，BAD+ABC180，易得BAE+ABE90，不难得到HEF90，同理可得HF90【答案与解析】证明：在ABCD中，ADBC，BADABC180，AE、BE分别平分BAD、ABC，1BADABC9022HEFAEB90同理：HF90四边形EFGH是矩形【总结升华】(1)利用角平分线、垂线得到90的角，选择“有三个直角的四边形是矩形”来判定(2)本题没有涉及对角线，所以不会选择利用对角线来判定矩形类型三、直角三角形
9、斜边上的中线的性质、如图，ABC中，ABAC10，BC8，AD平分BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接，则CDE的周长为（）A20B12C14D13【答案】C；【解析】解：ABAC，AD平分BAC，BC8，ADBC，CDBD12点E为AC的中点，BC4，DECE12AC5，CDE的周长CDDECE45514【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键举一反三：【变式】如图所示，已知平行四边形ABCD，AC、BD相交于点O，P是平行四边形ABCD外一点，且APCBPD90求证：平行四边形ABCD是矩形OP1【答案】解：连接OP四边形ABCD是平行四边形AOCO，BODO，APCBPD90，1AC，OPBD，22ACBD四边形ABCD是矩形