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1、三角形的内角和与外角和关系（基础）知识讲解【学习目标】1理解三角形内角和定理的证明方法；2掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；3能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.【要点梳理】要点一、三角形的内角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为1802.结论：直角三角形的两个锐角互余.要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；求一个三角形中各角之间的关系要点二、三角形的外角1定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角如图，ACD是ABC的一
2、个外角.要点诠释：（1）外角的特征：顶点在三角形的一个顶点上；一条边是三角形的一边；另一条边是三角形某条边的延长线（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角2性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理、证明经常使用的理论依据另外，在证明角的不等关系时也常想到外角的性质3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和
3、是180，可推出三角形的三个外角和是360【典型例题】类型一、三角形的内角和1证明：三角形的内角和为180.【答案与解析】解：已知：如图，已知ABC，求证：A+B+C180.证法1：如图1所示，延长BC到E，作CDABABCD（已作），1=A（两直线平行，内错角相等），B=2（两直线平行，同位角相等）又ACB+1+2=180（平角定义），ACB+A+B=180（等量代换）证法2：如图2所示，在BC边上任取一点D，作DEAB，交AC于E，DFAC，交AB于点FDFAC（已作），1=C（两直线平行，同位角相等），2=DEC（两直线平行，内错角相等）DEAB（已作）3=B，DEC=A（两直线平行，同
4、位角相等）A=2（等量代换）又1+2+3=180（平角定义），A+B+C=180（等量代换）证法3：如图3所示，过A点任作直线l，过B点作ll，过C点作ll，12131ll（已作）13l=2（两直线平行，内错角相等）同理3=4又ll（已作），125+1+6+4=180（两直线平行，同旁内角互补）5+2+6+3=180（等量代换）又2+3=ACB，BAC+ABC+ACB=180（等量代换）【总结升华】三角形内角和定理的证明方法有很多种，无论哪种证明方法，都是应用的平行线的性质.在ABC中，已知A+B80，C2B，试求A，B和C的度数【思路点拨】题中给出两个条件：A+B80，C2B，再根据三角形的
5、内角和等于180，即A+B+C180就可以求出A，B和C的度数【答案与解析】解：由A+B80及A+B+C180，知C100又C2B，B50A80-B80-5030【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件A+B+C180本题可以设Bx，则A80-x，C2x建立方程求解【高清课堂：与三角形有关的角例1、】举一反三：【变式】已知，如图，在ABC中，C=ABC=2A，BD是AC边上的高，求DBC的度数.【答案】解：已知ABC中，C=ABC=2A设A=x则C=ABC=2xx+2x+2x=180解得：x=36C=2x=72在BDC中，BD是AC边上的高，BDC=90DBC=18090-72=18类型二、三
6、角形的外角【高清课堂：与三角形有关的角例2、】3.（1）如图，AB和CD交于点O，求证：ACBD（2）如图，求证：D=AB+C【答案与解析】解：（）如图，在AOC中，COB是一个外角，由外角的性质可得：COBAC，同理，在BOD中，COBBD，所以ACBD（2）如图，延长线段BD交线段与点E，在ABE中，BECAB；在DCE中，BDCBECC，将代入得，BDCABC，即得证【总结升华】重要结论：（1）“8”字形图：ACBD；（2）“燕尾形图”：D=AB+C举一反三：【变式1】如图，ABCD，AD和BC相交于点O，A40，AOB75，则C等于（）A、40B、65C、75【答案】BD、115【变式
7、】（2016莘县一模）如图，在ABC中，ABC、ACB的平分线BE、CD相交于点F，ABC=42，A=60，则BFC=【答案】120解：ABC=42，A=60，ABC+A+ACB=180ACB=1804260=78又ABC、ACB的平分线分别为BE、CDFBC=，FCB=又FBC+FCB+BFC=180BFC=1802139=120类型三、三角形的内角、外角综合4.（2015秋潮南区期末）如图所示，在ABC中，D是BC边上一点，1=2，3=4，BAC=63，求DAC的度数【思路点拨】ABD中，由三角形的外角性质知3=22，因此4=22，从而可在BAC中，根据三角形内角和定理求出4的度数，进而可
8、在DAC中，由三角形内角和定理求出DAC的度数【答案与解析】解：设1=2=x，则3=4=2x因为BAC=63，所以2+4=117，即x+2x=117，所以x=39；所以3=4=78，DAC=18034=24【总结升华】此题主要考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用举一反三：【变式】如图所示，已知ABC中，P为内角平分线AD、BE、CF的交点，过点P作PGBC于G，试说明BPD与CPG的大小关系并说明理由【答案】解：BPDCPG；理由如下：AD、BE、CF分别是BAC、ABC、ACB的角平分线，1111ABC，2BAC，3ACB，22211+2+3(ABC+BAC+ACB)90，2又41+2，4+390，又PGBC，3+590，45，即BPDCPG