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1、rrr8【巩固练习】1若向量a=(1,l,2),b=(2,-1,2)，且a与b的夹角余弦为，则l等于（）9A2B-22C-2或D2或-552552已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，则直线CB1与平面AA1B1B所成角的正弦值是（）A、6666B、C、D、34683.（2014合肥二模）已知正方体ABCDA1B1C1D1中，线段B1A1，B1C1上（不包括端点）各有一点P，Q，且B1P=B1Q，下列说法中，不正确的是（）AA，C，P，Q四点共面B直线PQ与平面BCC1B1所成的角为定值CPACD设二面角PACB的大小为，则tan的最小值为4如图直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的
2、高为3，底面是边长为2的菱形，且BAD=60，P是棱A1D1的中点，则BP的长等于（）A、23B、6C、14D、45.（2014秋临海市校级期中）A是锐二面角l的内一点，AB于点B，AB=，A到l的距离为2，则二面角l的平面角大小为6.已知AB=（1，5，-2），BC=（3，1，z），若ABBC，BP=（x-1，y，-3），且BP平面ABC，则实数x，y，z分别为.7.若|a|=17,b=(1,2,-2),c=(2,3,6),且ab,ac,则a=.8.如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的
3、余弦值等于.9如图，已知四棱锥P-ABCD，PA垂直于正方形ABCD所在平面，且PA=AB=a，点M是PC的中点，(1)求异面直线BP与MD所成角的大小；(2)求二面角M-DA-C的大小。10如图，在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是A1B1和B1C1的中点。（1）求点D到BE的距离；（2）求点D到面BEF的距离；（3）求BD与面BEF所成的角。11如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，BAC=90，O为BC中点（）证明：SO平面ABC；（）求二面角A-SC-B的余弦值12如图，三棱锥P-ABC中，ABC=90，PA=1，AB=3，AC=2，P
4、A面ABC，求二面角A-PC-B的余弦值PABC13如图，在四面体ABCD中，AB平面BCD，BC=CD，BCD=90，ADB=30.E、F分别是AC，AD的中点.(1)求证：平面BEF平面ABC；(2)求平面BEF和平面BCD所成的角.14如图，在三棱锥PABC中，ABBC，ABBCkPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP底面ABCPDAOCB()求证：OD平面PAB；()当k12时，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；15.（2015漳州二模）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE平面ABCD，AFDE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60（）求证：AC平面BDE；（）求二面
5、角FBED的余弦值；（）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM平面BEF，并证明你的结论ab=,l=-2,或参考答案：1【答案】C【解析】cos=ab6-l823l2+59552【答案】B3.【答案】D【解析】正方体ABCDA1B1C1D1中，线段B1A1，B1C1上（不包括端点）各有一点P，Q，且B1P=B1Q，如图：当PQ连线与AC平行时，A，C，P，Q四点共面，A正确；直线PQ与平面BCC1B1所成的角为定值，显然正确，P在平面BCC1B1的射影是B1，线段B1A1，B1C1上（不包括端点）各有一点P，Q，且B1P=B1Q，直线PQ是一族平行线与平面BCC1B1所成的角为
6、定值，B正确；对于C，当P在A1B1的中点时，不妨设作法的棱长为2，cosPAC=0，PAC是钝角，PAC正确；对于D，作PEAB于E，过E作EFAC于F，=PFE，则tan的最小值时EF最大，此时P在B1，tan=，D不正确故选D4【答案】A5.【答案】60【解析】由题意可知A是二面角l的面内一点，AB平面于点B，AB=，A到l的距离为2，如图：AOl于O，因为AB平面于点B，连结OB，所以AOB是二面角l的平面角，或补角，所以sinAOB=，AOB=60或120l是锐二面角，二面角l的平面角大小为60故答案为：606.【答案】40，-15，4777.【答案】-18,2,1或18,-2,-1
7、55558.【答案】1559【解析】以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，由已知得A(0，0，0)、B(a，0，0)、D(0，a，0)、C(a，a，0)、P(0，0，a)则PC的中点M(a,a,a)222(1)设直线PB与DM所成的角为，aaaBP=(-a,0,a),DM=(,-,),222PBDM=0,所以直线PB与DN所成的角=90(2)AP=(0,0,a),AB=(a,0,0),AD=(0,a,0)PBDA=0,APAB=0,APAD=0BP是平面MAD的法向量；AP是平面ABCD的法向量设AP与BP所成的角为j,则cosj=APBP|AP|BP|=22所以，二面角M-
8、DA-C所成的角为4510【解析】（1）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，E、F分别是A1B1和B1C1的中点，B（4，0，0），E（2，0，4），D（0，4，0），则BE=（-2，0，4），BD=（-4，4，0）BE=BD在BE方向上的射影为BDBE45BD-=点D到BE的距离为d=24251255n=-(3)设BD与面BEF所成的角为q，则sinq=|cos|=|-16(2)设n=（x,y,1）为平面BEF的法向量，则nBE，nBF，BF=（0，2，4），nBE=-2x+4=0,nBF=2y+4=0x=2,y=-2,n=(2,-2,1)向量BD在n方向上的射影为BDn16
9、3点D到面BEF的距离为16.3BDnBDn|=|423|=232BD与面BEF所成的角是arcsin22。311【解析】以O为坐标原点，射线OB，OA分别为x轴、y轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系O-xyzzSMOCxBAySC的中点M-，MO=，-，MA=，-，SC=(-1，-1)11111，0)00)00)，设B(1，则C(-1，A(01，S(001)0010222222，MOSC=0MASC=0故MOSC，MASC，等于二面角A-SC-B的平面角MOMA=，cos=MOMA33，所以二面角A-SC-B的余弦值为3312【解析】以A为坐标原点，,分别以AB、AP所在直线为y轴、z轴,
10、以过A点且平行于BC直线为x轴建立空间直角坐标系.，不妨取m=(-3,1,0)，e+0+0=0,不妨取n=(0,1,3)，cos=mn在直角ABC中,AB=3，AC=2，BC=1A(0,0,0)，B(0,3,0)，C(1,3,0)，P(0,0,1).AB=(0,3,0)，PC=(1,3,-1),设平面PAC的法向量m=(a,b,c)，则mAP，mAC，且AP=(0,0,1)，AC=(1,3,0)，0+0+c=0a+3b=0设平面PBC的法向量n=(e,f,g)，则nPB，nBC，且PB=(0,3,-1)，BC=(1,0,0),0+3f-g=00+1+01=,|m|n|3+1+00+1+34故二
11、面角A-PC-B的余弦值为14.13【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，取A(0,0,a).由ADB=30可得：D(0,3a,0),C(33a,a,0),22B(0,0,0),E(33a3aa,a,),F(0,a,).44222EF=(-3333a,a,0),BA=(0,0,a),BC=(a,a,0)4422EFBA=0，EFBC=0,EFAB,EFBC.EF平面ABC，又EF平面BEF平面BEF平面ABC.DBEF=a2(2)作EEBC于E，E(作FFBD于F，F(0,33a,a,0)4433a,0，S21633a33BE=(a,a,),EF=(-a,a,0)，44244显然BEEF
12、=0，BEEFa，|EF|=a，S|BE|=10615DBEF=1644a2,15a2cosq=16,q=arccos，315=1555a21615即平面BEF和平面BCD所成的角为arccos.514【解析】OP平面ABC,OA=OC,AB=BC,OAOB,OAOP,OBOP.以O为原点,射线OP为非负x轴,建立空间坐标系O-xyz如图),设AB=a,则A(222a,0,0)，B(0,a,0),C(-a,0,0).设OP=h,则P(0,0,h).222()D为PC的中点,OD=(-21a,0,h),22a,0,-h),OD=-又PA=(21PA,ODPA,22OD平面PAB.1()k=,则P
13、A=2a,h=272a,PA=(271a,0,-a),可求得平面PBC的法向量n=(1,-1,-),227cos=PAn|PA|n|=21030.设PA与平面PBC所成角为,刚sin=|cos|=PA与平面PBC所成的角为210.3021030.15.【解析】证明：（）因为DE平面ABCD，所以DEAC因为ABCD是正方形，所以ACBD，从而AC平面BDE（4分）解：（）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系Dxyz如图所示因为BE与平面ABCD所成角为600，即DBE=60，所以由AD=3，可知，则A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），所以，设平面BEF的法向量为n=（x，y，z），则，即令，则n=因为AC平面BDE，所以为平面BDE的法向量，所以因为二面角为锐角，所以二面角FBED的余弦值为（）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）（8分）则因为AM平面BEF，所以=0，即4（t3）+2t=0，解得t=2此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM平面BEF（12分）