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1、第四章 圆轴扭转,1,课堂教学,第四章 圆轴扭转,4-2 受扭圆杆横截面上的内力, 4-3受扭圆杆的应力和变形, 4-1 扭转的概念和实例, 4-4圆杆受扭时的强度及刚度计算,2,课堂教学,4-1 扭转的概念和实例,一、实例,一、实例,3,课堂教学,4,课堂教学,传动轴,5,课堂教学,二、扭转的概念,受力特点：,构件的两端受相反方向，作用面垂直于轴线的一对力偶的作用。（力偶的方向-轴向）,变形特点：,横截面发生相对的转动（绕轴转动）,研究对象：,等直杆、圆形截面杆或可近似为等直圆截面杆的构件。,6,课堂教学,1、直接计算,一.外力偶矩,4-2 受扭圆杆横截面上的内力,7,课堂教学,1、承受扭转
2、的轴通常是用来传递功率的，若传输的功率为N千瓦，转速n转/分,则此轴传递的外力偶矩为：,2、按输入功率和转速计算,每秒内做的功：,每秒内做的功还等于：,2、若传输的功率为N马力，转速n转/分,则此轴传递的外力偶矩为：,8,课堂教学,T,T,1、内力：,二、圆轴扭转内力：,-扭矩T,截面法求内力,9,课堂教学,三、扭矩图：,以横截面所在的轴的位置为横坐标，T的大小为纵坐标作出的图形-扭矩图。,2、符号规定：,T沿截面的外法向为正,意义,直观地反映轴上任意位置横截面上的内力-扭矩的变化。,10,课堂教学,例题1 图示一皮带传动轴，轮子A用皮带直接与原动机连接，轮 子B和C与机床连接。已知轮子A传递
3、的功率为60kW， 轮子B 传递34kW，轴的转速150r/min,略去轴承的摩擦 力，试作出轴的扭矩图。,解：1、外力偶矩,11,课堂教学,T1,T2,T1=0,T2=m1 =2164.4,T3,T4,T3=m1-m2 =-1655.2,T3=m1-m2+m3 =0,2、扭矩,2164.4,3819.6,1655.2,12,课堂教学,x,T,-1655.2Nm,+2164.4Nm,3、作扭矩图,2164.4,3819.6,1655.2,4、若将轮A和轮B换一个位置，则最大扭矩会怎样,13,课堂教学,m1,m2,m3,A,B,C,x,T,-1655.2Nm,-3819.6Nm,2164.4,3
4、819.6,1655.2,14,课堂教学,例题2,-30KN.m,+10KN.m,+30KN.m,15,课堂教学,讨论：,1、完整的Tx 图，包含坐标轴方向、比例尺、大小、单 位、特征点的T值。,2、Tx 图是一条连续的曲线。,3、在集中力偶作用的地方，扭矩图发生突变。,4、突变的数值等于集中力偶的大小，突变的方向由集中力 偶的方向决定。,5、以外法向的力偶产生的扭矩为正，负法向的力偶产生 的扭矩为负。,16,课堂教学,扭矩图的简便计算,1、自左到右的方向进行；,2、遇到图示外力偶矩，内力扭矩T 的增量为正；,3、遇到图示外力偶矩，内力扭矩T 的增量为负；,4、扭矩图上的突变值等于外力偶矩。,
5、从右开始，向右方向的外力偶矩产生正的扭矩。,从左开始，向左方向的外力偶矩产生正的扭矩；,17,课堂教学,例题3,+20,（KN.m）,+10,+20,18,课堂教学,例题4,（KN.m）,+20,+40,19,课堂教学,例题5,+M,+3M,+M,20,课堂教学,4-4 圆轴扭转时的应力,分析思路：,应力,内力分布,一、实验观察,1）在圆轴的外表面上纵向作平行直线,2）在圆轴的外表面上横向作平行圆周线,a,b,c,d,3）在圆筒的两端加上静载外力偶矩M，观察变形。,21,课堂教学,3）在圆筒的两端加上静载外力偶矩M，观察变形。,4）观察变形,abcdab c d ,提出假设：,ac、bd代表的
6、是两个横截面,横截面似一刚性平面，在外力偶矩作用下绕轴转过一定的角度，仍维持为圆截面。,平面假设成立!,22,课堂教学,1）平面假设成立,2）轴向无伸缩,3）纵向线变形后仍为平行直线,4）横截面上同一圆周上所有的点绕轴心转过相同的角度,观察到的变形：,23,课堂教学,二、变形几何规律,A,A,A,b,d,取一小段dx圆轴研究之，如上图示,24,课堂教学,外表面上：bb,内部A： AA, 同一截面上（选择了参考面后）， 相同,变形几何规律,25,课堂教学,三、物理关系,剪应力分布规律：,3）从变形可以看出，没有长度的变化，只有相对的转动， 横截面上点沿圆周线位移， tr 与半径线垂直，且顺着 T
7、的方向。,1）同一截面上， tr 与 r 成正比，即 tr 沿半径线线性分布,2）同一截面上，tr在同一圆周上有相同的大小。,26,课堂教学,T,T,27,课堂教学,五、静力关系,横截面上内力系合成的结果,T,T,内力合力T,令,横截面对形心的极惯性矩,仅与图形的面积分布有关而与外界条件无关，反映截面性质的量。,28,课堂教学,抗扭截面系数，与截面的大小、形状、尺寸等有关。,六、公式的适用范围,1、圆轴扭转,2、弹性范围内,29,课堂教学,七、 IP、Wt的计算,1、实心圆轴,2、空心圆轴,30,课堂教学,例题5 实心圆轴的直径d=100mm，长L=1m，两端受力偶矩 m=14KN.m作用，设
8、材料的剪变模量G=80109N/m， 求： 1）最大剪应力max； 2）图示截面上A、B、C三点剪应力的数值及方向; 3）若将圆轴在保持截面面积A相同时改为d/D=1/2 的空心圆轴，其最大剪应力max。,m,m,31,课堂教学,解：1）T=m=14KN.m,2),3) A相同，空心率d/D=1/2,32,课堂教学,最大应力下降了30.7%！,33,课堂教学,八、横截面上的剪应力分布,34,课堂教学,n,九、圆轴扭转时斜截面上的应力,35,课堂教学,36,课堂教学,斜截面上的正应力和剪应力为:,1、,讨论：,2、,3、,4、,37,课堂教学,4-3 圆轴扭转时的变形,一、相对扭转角：,两个一定
9、距离的截面在外力偶作用下产生的扭转变形，即相对转过的角度。用 j 表示。,1）T不同分段积分,2）材料不同，分段积分,3）截面不同，分段积分,4）若在某一范围内T一样，截面一样，材料相同，则,-材料的抗扭刚度,二、单位长度上的相对扭转角 -相对变形,38,课堂教学,4-4 圆轴扭转时的强度与刚度计算,2、设计截面尺寸：,3、设计载荷：,一、强度设计准则：,1、校核强度：,其中称为许用剪应力。依此强度准则可进行三种强度计算：,二、扭转刚度条件：,其中j称为许用单位长度相对扭转角。,39,课堂教学,2、设计截面尺寸：,3、设计载荷：,1、校核刚度：,可进行如下三种刚度计算：,40,课堂教学,例题6
10、 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图， 许用剪应力 =30M Pa, 试校核其强度。,+1.55KN.m,解：1、求外力偶矩,2、作扭矩图,3=135,3、计算并校核剪应力强度,满足强度要求。,41,课堂教学,例题7 已知阶梯轴如图示，m1=1800N.m,m2=1200N.m, G=80GPa,=80MPa, 1) 试求max的值，并作强度校核； 2）若j =1.5 o /m,试校其刚度；3）轴的总变形。,x,T,-1200N.m,-3000N.m,解：1、求内力，作扭矩图,42,课堂教学,轴的强度足够!,2、强度校核,3、刚度校核,轴的刚度足够!,4、总变形,43,课
11、堂教学,例题8 一圆轴以300转/分的转速传递331KW的功率，若 t=40106MPa，j=0.5/m，G=80GPa，试设计 轴的直径。,解：1、求外力偶矩,2、内力-扭矩T,3、由强度条件：,44,课堂教学,4、由刚度条件：,取d=12cm,*4、由刚度条件：,由强度设计，取d=12cm,取d=12cm,符合刚度条件,45,课堂教学,本章小结,一、基本概念：,圆轴扭转与非圆轴扭转。,二、基本方法：,1、T的作法,2、求应力的“三关系”法,三、基本公式：,1、应力,2、变形,扭矩、,纯剪切、,单位长度相对扭转角,相对扭转角j,剪应力互等定理,IP与Wt、,46,课堂教学,3、强度条件,4、
12、刚度条件,5、截面的几何性质,实心圆轴,空心圆轴,四、共性分析,47,课堂教学,四、共性分析,五、强度、刚度计算中的问题,公式的适用范围,分段计算,强度、刚度同时考虑,48,课堂教学,六、关于杆件扭转时的合理截面,空心圆截面，实心圆截面。,T,49,课堂教学,采用空心轴可有效地减轻轴的重量，节约材料。因为,根据应力分布规律，轴心附近处的应力很小，对实心轴而言，轴 心附近处的材料没有较好地发挥其作用；,从截面的几何性质分析，横截面面积相同的条件下，空心轴材料 分布远离轴心，其极惯性矩Ip必大于实心轴，扭转截面系数Wp也比 较大，强度和刚度均可提高；,通常所讲保持强度不变，即指最大切应力值不变；保
13、持刚度不变，即指截面图形极惯性矩保持不变。,对于轴的强度或刚度，采用空心轴比实心轴都较为合理。,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,50,课堂教学,例题3-3 图示等截面圆轴，已知d=90mm ,l=50cm, , 。轴的材料为钢，G=80GPa,求 （1）轴的最大剪应力； （2）截面B和截面C的扭转角； （3）若要求BC段的单位扭转角与AB段的相等，则在BC段钻孔 的孔径d应为多大？,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,51,课堂教学,（+）,（-）,扭矩图,解：,(1)轴的最大剪应力,作扭矩图：,因此,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,52,课堂教学,（2）扭转角,截面B：,扭 转/圆轴的强度
14、条件和刚度条件,53,课堂教学,截面C,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,54,课堂教学,（3）BC段孔径d,由,得,解得：,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,55,课堂教学,例题3-1 图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经 由B、C、D轮输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速 n=300r/min，求作该轴的扭矩图。如将A、D轮的位置 更换放置是否合理？,扭 转/杆受扭时的内力计算,56,课堂教学,经由A、B、C、D轮传递的外力偶矩分别为,解：,扭 转/杆受扭时的内力计算,57,课堂教学,绘出扭矩图：,扭 转/杆受扭时的内力计算,58,课堂教学,（-）,扭矩Mn-图,（+）,（在CA段
15、和AD段）,扭 转/杆受扭时的内力计算,59,课堂教学,将A、D轮的位置更换，则,扭矩Mn-图,（AD段）,因此将A、D轮的位置更换不合理。,扭 转/杆受扭时的内力计算,60,课堂教学,本章小结,一、基本概念：,二、基本方法：,1、T的作法,2、求应力的“三关系”法,三、基本公式：,1、应力,2、变形,扭矩、,纯剪切、,单位长度相对扭转角,相对扭转角j,剪应力互等定理,IP与Wt、,61,课堂教学,3、强度条件,4、刚度条件,5、截面的几何性质,实心圆轴,空心圆轴,四、共性分析,62,课堂教学,四、共性分析,五、强度、刚度计算中的问题,公式的适用范围,分段计算,强度、刚度同时考虑,63,课堂教学,六、关于杆件扭转时的合理截面,空心圆截面，实心圆截面。,64,课堂教学,to be continued,65,课堂教学,