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1、第五章 二次型,一、二次型及其标准形的概念 二、二次型的表示方法 三、二次型的矩阵及秩 四、化二次型为标准形 五、惯性定理 六、正(负)定二次型的概念 七、正(负)定二次型的判别,1,藤蔓课堂,一、二次型及其标准形的概念,称为二次型.,2,藤蔓课堂,例如,为二次型的标准形.,3,藤蔓课堂,1用和号表示,对二次型,二、二次型的表示方法,4,藤蔓课堂,2用矩阵表示,5,藤蔓课堂,6,藤蔓课堂,三、二次型的矩阵及秩,在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系,7,藤蔓课堂,解,例,
2、8,藤蔓课堂,四、化二次型为标准形,2.正交线性替换法,1.配方法例,3.初等变换法,9,藤蔓课堂,设,四、化二次型为标准形,对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形,10,藤蔓课堂,11,藤蔓课堂,说明,12,藤蔓课堂,13,藤蔓课堂,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,14,藤蔓课堂,解,1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值,例2,15,藤蔓课堂,从而得特征值,2求特征向量,3将特征向量正交化,得正交向量组,16,藤蔓课堂,4将正交向量组单位化，得正交矩阵,17,藤蔓课堂,于是所求正交变换为,18,藤蔓课堂,解,例3,19,藤蔓课堂,20,藤蔓课堂,21
3、,藤蔓课堂,22,藤蔓课堂,23,藤蔓课堂,二、小结,将一个二次型化为标准形，可以用正交变换 法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法， 这取决于问题的要求如果要求找出一个正交矩 阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一 个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用 正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就 班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二 次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而 比较简单需要注意的是，使用不同的方法，所 得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项 数必定相同，项数等于所给二次型的秩,24,藤蔓课堂,五、惯性定理,一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可
4、以通过配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩,25,藤蔓课堂,六、正(负)定二次型的判概念,1.正定二次型与正定矩阵P215 2.负定二次型与负定矩阵P220,26,藤蔓课堂,七、正(负)定二次型的判别,27,藤蔓课堂,正定矩阵具有以下一些简单性质,28,藤蔓课堂,解,它的顺序主子式,故上述二次型是正定的.,29,藤蔓课堂,解,二次型的矩阵为,用特征值判别法.,故此二次型为正定二次型.,即知 是正定矩阵，,30,藤蔓课堂,解,31,藤蔓课堂,2.正定二次型（正定矩阵）的判别方法：,(1)定义法；,(2)顺次主子式判别法；,(3)特征值判别法.,四、小结,1.正定二次型的概念，正定二次型与正定 矩阵的区别与联系,3.根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大 家自己推导,32,藤蔓课堂,