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1、第四节函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定方法如果函数在上单调增加（单调减少）,那么它的图形是一条沿轴正向上升（下降）的曲线.这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的）,即此可见,函数的单调性与导数的符号有着密切的关系.反过来,能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？(或)由定理(函数单调性的判定法)设函数在上连续,在内可导.(1)如果在(2)如果在内内,那么函数,那么函数在在上单调增加;上单调减少.证明只证(1)（2）可类似证得）在上任取两点,应用拉格朗日中值定理,得到.由于在上式中即,那么也有,因此,如果在,于是内导数保持正号,从而，因此函数例3-19判定函数在在上单调增加.证
2、毕上的单调性.解因为在内,所以由判定法可知函数在上单调增加.例3-20讨论函数解由于且函数的单调性.的定义域为令,得,因为在内,所以函数在上单调减少;又在内,所以函数在上单调增加.例3-21讨论函数的单调性.解:显然函数的定义域为,而函数的导数为所以函数在又因为因为时,时,处不可导.,所以函数在,所以函数在上单调减少;上单调增加.说明:如果函数在定义区间上连续,除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续,那么只要用方程的根及导数不存在的点来划分函数的定义区间,就能保证在各个部分区间内保持固定的符号,因而函数例3-22.确定函数在每个部分区间上单调.的单调区间.解该函数的定义域为.而列表,令,得.
3、+-+函数f(x)在区间例3-23讨论函数和内单调增加,在区间的单调性.上单调减少.解函数的定义域为函数的导数为:上单调减少;,除时,外,在其余各点处均有因此函数在区间因为当时,所以函数在及上都是单调增加的.从而在整个定义域内是单调增加的.其在处曲线有一水平切线.说明:一般地,如果在某区间内的有限个点处为零,在其余各点处均为正（或负）时,那么该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.例3-24证明:当时,.在证明:令因为当,故时,则,因此,在上单调增加,从而当时,又由于即,也就是,().二、函数的凹凸性与拐点在给出凸性严格定义之前，从直观上看一下函数图形凸性的几何特征，如图所示，图形上任意弧段位
4、于所张弦的下方图形上任意弧段位于所张弦的上方定义3-6-1设在区间I上连续,如果对I上任意两点,恒有那么称在I上的下凸函数;如果恒有那么称在I上的上凸函数.函数的上凸下凸的性质叫做函数的凸性二、判定函数的凸性的充分条件定理设在上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么(1)若在(2)若在内内,则,则在在上是下凸的;上是上凸的.证明只证(1)(2)的证明类似).设,记.由拉格朗日中值公式,得,两式相加并应用拉格朗日中值公式得,即拐点:连续曲线确定曲线(1)确定函数(2)求出在二阶导数,所以在上的图形是凹的.上凸与下凸的分界点称为这曲线的拐点.的凹凸区间和拐点的步骤:的定义域;(3)求使二阶导
5、数为零的点和使二阶导数不存在的点;(4)判断或列表判断,确定出曲线凹凸区间和拐点;注:根据具体情况（1）、（3）步有时省略.例3-34判断曲线解:因为,的凸性.令得,当当时,时,所以曲线在,所以曲线在内为上凸的;内为下凸的.例3-35求曲线解:(1)函数(2)(4)列表判断:的拐点及凸性区间.的定义域为;,;(3)解方程,得,;在区间拐点.和上曲线是下凸的,在区间上曲线是上凸的.点和是曲线的例3-36问曲线是否有拐点？解,.当时,例3-37求曲线,在区间的拐点.内曲线是下凸的,因此曲线无拐点.解(1)函数的定义域为(2),;(3)函数无二阶导数为零的点，二阶导数不存在的点为(4)判断:当时,;当时,因此,点;是曲线的拐点.拉格朗日中值定理：如果函数f(x)在（a，b）上可导，a,b上连续，则必有一a,b使得f()*(b-a)=f(b)-f(a)示意图令f(x)为，所以该公式可写成y=f(x+x)*x(01)上式给出了自变量取得的有限增量时，函数增量的准确表达式，因此本定理也叫有限增量定理。