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1、探究：学生从知识课堂走向智慧课堂“二项式系数的性质与应用”课例及其评价江苏省邳州市教育局教研室张健文EVI指出:学生的数学学习活动不应只限于接受,记忆,模仿和练习,高中数学课程还应倡导自主探索,动手实践,合作交流,阅读自学等学习数学的方式.这些方式有助于发挥学生学习的主动性,使学生的学习过程成为在教师引导下的”再创造”过程.高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习,探究活动,让学生体验数学发现和创造的历程,发展他们的创新意识.“二项式系数的性质与应用”是高中数学新课程数学选修2-3”计数原理”中的一节内容.这节内容的难度大,探究性强,所渗透的数学思想方法较多,如何在教师的引导下,让学生通过
2、自主探究,合作交流的学习方式”体验数学发现和创造的历程”?我们对这节课做了富有成效的尝试.1课堂教学简录教师:二项式系数之间有什么关系?(学生沉思,没有回答)教师:研究数的变化规律,一般采用什么方法?学生2:从特殊到一般的方法.教师:”从特殊到一般”的基本思路是学生3:观察特例一找出规律一归纳猜想一给出证明.学生4:取,z一1,2,3我发现:前后两个二项式系数都是1;与两端间距相等的两个二项式系数相等;当I”1为偶数时,中间一个二项式系数最大;当为奇数时,中间两个二项式系数最大.教师:真不错!一下就说出来三条性质.为了便于观察,我们可以对取不同值,得到二项式系数表(多媒体投影图1):C?C(口
3、+6).lc:奠ctc:.:a+ba+b2c.c:c3C:+:?:33c:CC:C:C:C:(口+6)15l0105教师:二项式右侧的表是由左侧表计算得来的.二项式系数表构成了三角形图案,右侧这个三角形图案最早是由我国古代数学家杨辉发现的,所以又称“杨辉三角”,它比西方的”帕斯卡三角”早300多年.教师:能用式子表示这些性质吗?学生5:C:=C:一1;C:=lC:一;当为偶数时,以c最大;当为奇数时,以c和c(两者相等)最大.(有其他学生补充)教师:还有其他发现吗?学生6:”杨辉三角”从第三行开始,每行的数都是先增后减.教师:怎么用数学符号表示?学生7:设c<Cr,于是万<研研,可
4、推出r<.即当r<时,c:<c;同理当r>时,Cr>C;+1.教师:还有其他性质吗?(学生沉默)教师:同行的数”亲如兄弟”,异行的数是否也”藕断丝连”呀!学生8:任意一个数(除1以外)都等于它”两肩”上的两个数之和.教师:你能发现它很不简单!请看图2.这个性质怎么表示?图2图3学生9:任意写出一项C:,根据其规律即可写出其他两项(图3),于是有C:叫+C:一Cr+,或C:+Cr+一C:j.教师:太精彩了!由于是任意的,实际这两个等式是统一的.教师:这个性质非常重要!它可以使”杨辉三角”连续不断地写下去.你能说出(口+6)各项的二项式c.激系数吗?学生1O:1,7,
5、21,35,35,21,7,1.教师:还有其他发现吗7(学生沉思)教师:刚才我们探索了”杨辉三角”“局部”之间数的关系,若从”整体上看呢?比如,把每一行的所有数赋予运算,所得的值是否有规律性呢?学生11:我把每一行的数都相加:第一行为12.;第二行为22;第三行为42;于是第,z行应为2.也就是C:+C+C:一2.教师:真不简单呀!这个性质是通过归纳猜想得到的,怎么证明它呢?(学生沉思)教师:这个式子的”源头”在哪里呀?学生:二项式定理.学生12:我是这样想的,不知对不对!要用二项式定理证明这个等式,关键是把展开式各项中的字母口,b化为1,于是令口一b_-1,就得证了.教师:大家认为她这样证明
6、是否可以?学生l3:可以.因为二项式定理对任意的n,b都正确,所以当口,b都取1时,推出的结论当然也是正确的.教师:是的!若一般情形成立,则特殊情形一定成立.我们把这种代人特殊值来解决问题的方法,称为赋值法.把二项式定理中的口,b赋予不同的特殊值,还能得到一些结论!学生14:令口一1,b一一1,得C+C:+C+一C+C:+C:+.教师:其实用赋值法还能解决很多有趣的问题,请看下面例题.例1已知(2x+3)一口0+口l+口2z.+口3z.+n4z,求(口0+口2+口4)一(a1+n3)的值.学生15:先令z一1,可得口o+口1+口2+口3+n:(2+3),再令z一一1,得口0一口1+n2一口3+
7、口4一(32).再将所求的式子分解因式,代人这两个值,即可求得其值为1.教师:赋值法在这里起到了化难为易,化繁为简的作用.例2证明:1+2C+2C:+2.C:+2C:一3.学生16:在(1+2x)一1+2z+2.C.+2C:z”中,令z一1即得证.学生17:直接用二项式定理就可证得.由于3(1+2)把右边展开即得.教师:思路都很好!用赋值法证明此题的关键是构造一个恰当的二项式;用二项式定理证明的关键是拆项.再看几个直接运用二项式系数的性质来解决的问题.例3求证:C1一C-1+C1+C.学生18:由C一C-1+C,C:=I=C+C:m一-I即得证.教师:运用二项式系数的性质解决问题的关键是能够灵
8、活的变换这些性质公式.例4证明:99一1能被1000整除.学生19:99一1=(1001)一1一coo100如一Ci.100.+C100.一C100,只要能证明C100能被1000整除即可.而C2.一CIo一Ci.一10,于是问题得证.教师:一般来说,当m>芸时,应用:c:一进行转化,可以减少计算量.例5证明:当,2为偶数时,C:+C+C:+C:一2.学生20:由上面学习的性质,我们有蓦01:2n-nC:,+.+c:一,将第二个等lC+:+c:一c+c:+”?+C:_.,一式代人第一个等式,消去偶数项,化简后即得.2教学特色点评数学教学从本质上说,是教师和学生以课堂为主渠道的交往活动,是
9、教师和学生在特殊教育情境中的自主探究活动.这节课教师本着”让学生充分经历知识的形成,发展和应用过程”“充分体验数学的发现和创造历程”的教学理念,为学生的智慧生长而教,使学生在探究中”转知为智,化识成慧”,从知识课堂走向智慧课堂.2.1提供时空:让学生在探究过程中生成智慧教材知识的呈现方式是单一的,静态的,而学生获取的方式是多样的,动态的.教师能够摒弃”教教材”的做法,树立”用教材教”的理念,将教材中静态的数学知识还原成动态的生成过程,尽可能地为学生提供一种思考,交流,探究的空间,像科学家一样参与数学知识的再发现,再创造过程,引导学生从过程中体验和感悟.在探究过程中,教师充当一名组织者,提供探究
10、材料(杨辉三角),提出学习要求;充当一各引导者,帮助学生获得探究方法(从特殊到一般),提示研究方向,引导学生朝着有意义的方向去做;充当一名合作者,成为学生中的一员,与学生平等交流,相互分享彼此的思考,见解和知识.学生拥有一份被信任感,积极参与自主探究,合作交流活动,其间,矛盾冲突层层深入,思维碰撞时时激起,智慧火花不断生成:”与两端间距相等的两个数相等当,z为偶数时,中间一个数最大;当为奇数时,中间两个数最大任意一个数(除1以外)都等于它两肩上的两个数之和”,多么富有个性化的理解和表达,这是学生灵感和智慧的外显,是对数学学习的一种超越和真正的创造.2.2注重有效:让学生在多样化的教学形态中生成
11、智慧有效的数学课堂应该是体现新课程理念,体现学生主动发展的课堂.数学课堂是否有效,主要看学生发展是否有效,促进学生生动活泼地主动发展的课堂就是有效的课堂.有效的数学课堂没有固定的模式,应表现为多样的教学形态.综观本节课,主要有以下几种教学形态:(1)对话课堂形态.本节课是以师生平等关系为基础,以学生自主探究为特征,以对话为手段进行教学的.在教师的引导下,通过教师和学生,学生和学生的相互启发和讨论,实现了学生个体对知识的自主建构和主体的全面发展.?(2)活动课堂形态.本节课是以探究性活动的形式来促进学生发展的.教师在学生探索的基础上,适时的向学生提供了杨辉三角,很自然地把学生带人了探究新知的数学
12、活动中.学生通过观察,分析,归纳,猜想,验证等数学活动,在经历了思考的痛苦,超越的艰辛,刻苦的体验之后,获得的是成功的喜悦,是信心的倍增,是创造潜能的提升,是智慧的生成.(3)开放课堂形态.本节课的教学结构是开放的:教师不追求固定的教学结构,没有墨守封闭性教学过程的预设,而是根据教学需要灵活地安排教学程序,适时地调整教学环节,提高教学实效.本节课的教学方法是开放的:教师改变了单一的讲授方法,在多媒体辅助下,实现了多种教学方法的优化组合,促进了学生自主地学习,能动地建构.本节课的教学时空是开放的:课堂上凡是学生能想的,能说的,能做的,都让学生自己去完成,教师尽量减少对教学时空的占有,把更多的学习
13、时空让给了学生.2.3创设情境:让学生在亢奋的探究状态中生成智慧一堂成功的课,离不开良好的探究情境和学习氛围.探究情境需要靠教师智慧地创设,学习氛围需要靠师生互动来营造.在这方面,教师采取了以下有效措施.(1)生成问题,激发学生的探究欲望.本节课开始时,师生在复习回顾的基础上,自然的生成”二项式系数之间有什么关系”这样一个开放性强,发散范围大的”元认知问题”,从而引发学生的认知冲突,使学生产生探究的欲望.(2)明确方法,让学生在探究中学会探究.当学生对所提出的”二项式系数之间有什么关系?”不知该如何探究时,教师适时地给予了方法上的”暗示”:”研究数的变化规律,一般采用什么方法?”在教师的启发下
14、,学生凭着自己的学习经验,智慧地感悟到应该运用”从特殊到一般,归纳猜想”的探究方法.(3)提供材料,为学生探究提供智力背景.在学生思维开始活跃时,教师适时地向学生提供杨辉三角.这个充满”神秘”,暗藏”悬念”的美丽图表,会给学生探究问题注入活力图表中的数据变化有什么规律呢?数据之间有什么联系呢?我怎样发现这些规律,找出它们之间的联系呢?学生在这些现实问题的驱动下,探究激情和欲望高涨起来,同时,这个图表也为学生探究新知铺平了道路.(4)启发引导,为学生探究铺路搭桥.这节课无论是”二项式系数性质”的得出,还是赋值法和二项式系数的性质的应用过程,都是通过学生的探究来完成的.在难点问题的处理上,教师采用
15、了”问题串”进行启发,暗示,引发学生的灵感,促进智慧的生成,没有出现”教师告诉,学生接受”的灌输式教学.(5)语言幽默,为学生探究营造轻松愉悦的氛围.学生对新知识的发现,开掘,利用,揭示,对新问题的解决,拓展,延伸,归纳,都可以在教师风趣幽默且富有哲理的语言表达中引发.”同行的数亲如兄弟,异行的数是否也藕断丝连呀!你能发现它很不简单呀!”“这个式子的源头在哪里呀?”等等,这些妙趣横生的语言营造了良好的探究氛围,构建了轻松愉快的课堂,引发了学生学习数学的兴趣和持久的驱动力,促进了学生智慧的生成.2.4注重归纳:让学生在数学思想方法的提炼中生成智慧本节课中,教师注重对数学思想方法的提炼与运用,在知
16、识的形成过程中,教师引导学生回忆”从特殊到一般”的探究过程,提炼归纳猜想的方法,并运用其去发现”二项式系数的性质”;在知识的应用过程中,教师引导学生经历”从一般到特殊”的过程,提炼出赋值法,并运用其证明猜想的性质和一些问题.这些数学思想方法是学生在经历知识形成,发展和应用的过程中,自然形成并提炼出来的,是课堂教学中,学生智慧生成的闪光点.总之,这节课是在教师适时,恰当的引导下,由学生通过自主探究,合作交流的方式完成学习任务的.课堂不再仅仅是师生进行知识传承的场所,而是生命意义不断得到体现的时空.教学活动不再仅仅是重复预设知识的过程,而是师生互动探究的创生之旅,是学生活力焕发和价值显现的生命历程.这样的课堂是智慧的课堂,在这样的课堂里,学生能根据自己在探究中的体验,理解和旨趣,能动地认识和改造知识,使生命活力在积极主动的参与过程中充分地表现出来,从而达到增长知识和发展能力的和谐统一.参考文献1中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准(实验)M.北京:人民教育出版社,2003