中考数学难题汇总.doc

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1、1已知：如图，梯形ABCD中，点E在BC边上，将CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点处（1）求的度数；（2）求的面积2已知，如图，梯形ABCD中，ADBC,A=90，C=45，BEDC于E，BC=5，AD:BC=2:5.求ED的长.（3题图） 3在ABC中，AC=BC，ACB=90，AB=6，过点C作射线CPAB，在射线CP上截取CD=2，联结AD，求AD的长4在梯形ABCD中，ABCD，BDAD，BC=CD，A=60，BC=2cm.(1)求CBD的度数；(2)求下底AB的长. 5已知：如图，在ABCD中，ADC、DAB的平分线DF、AE分别与线段BC相交于点F、E，DF与AE相交于点G

2、（1）求证：AEDF；（2）若AD=10，AB=6，AE=4，求DF的长6已知：如图，在直角梯形ABCD中，ADBC,A=90,C=45，上底AD = 8，AB=12,CD边的垂直平分线交BC边于点G，且交AB的延长线于点E，求AE的长.7如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，将矩形ABCD翻折，使得点B落在CD边上的点E处，折痕AF交BC于点F，求FC的长图18.已知， 点P是MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使APB+MON=180.（1）利用图1，求证：PA=PB；图2（2）若MON=60，OB=2，射线AP交ON于点

3、，且满足且，请借助图2补全图形，并求的长. 9（本题满分4分）（1）如图两个正方形的边长均为3，求三角形DBF的面积.（2）如图，正方形ABCD的边长为3，正方形CEFG的边长为1, 求三角形DBF的面积. （3）如图，正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为，求三角形DBF的面积. 从上面计算中你能得到什么结论. 图110（本小题满分7分）已知：等边三角形ABC（1） 如图1，P为等边ABC外一点，且BPC=120试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系,并证明你的猜想；图2（2）如图2，P为等边ABC内一点，且APD=120 求证：PA+PD+PCBD 11已知：如图，在四边形AB

4、CD中， AD=BC,A、B均为锐角(1) 当A=B时，则CD与A B的位置关系是CD AB，大小关系是CD AB；(2) 当AB时，（1）中C D与A B的大小关系是否还成立，证明你的结论12已知：ABC和ADE都是等腰直角三角形，ABC=ADE=90，点M是CE的中点，连接BM. （1）如图，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM的数量关系为 ； （2）如图，点D不在AB上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.图 图 1已知：如图，梯形ABCD中，点E在BC边上，将CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点处（1）求的度数；（2）求

5、的面积. 解：(1) 过点D作于F . , , , 四边形是正方形. , -1分 在Rt中， , , -2分 -3分(2) 设 ， 则 ， 在Rt中 解方程，得 -5分2已知，如图，梯形ABCD中，ADBC,A=90，C=45，BEDC于E，BC=5，AD:BC=2:5.求ED的长.解：作DFBC于F,EGBC于G. 1分A=90，ADBC 四边形ABFD是矩形. BC=5,AD:BC=2:5. AD=BF=2. .2分 FC=3.在RtDFC中， C=45， DC=.3分在RtBEC中， EC=.4分 DE=.5分（3题图） 3在ABC中，AC=BC，ACB=90，AB=6，过点C作射线CP

6、AB，在射线CP上截取CD=2，联结AD，求AD的长解：过点D作DEAB于E，过点C作CFAB于F，则DECFCPAB，四边形DEFC是矩形-1分在ABC中，AC=BC，ACB=90，AB=6，CD=2AF=CF=AB=3 -2分EF=CD=2,DE=CF=3 -3分AE=1 -4分在ADE中，AED=90,DE =3,AE=1 AD= -5分4在梯形ABCD中，ABCD，BDAD，BC=CD，A=60，BC=2cm.(1)求CBD的度数；(2)求下底AB的长. 解：,.,.1分CD, .2分BC=CD,. 3分.梯形ABCD是等腰梯形. 4分AD=BC=2.在中，AB=2AD=4. 5分5已

7、知：如图，在ABCD中，ADC、DAB的平分线DF、AE分别与线段BC相交于点F、E，DF与AE相交于点G（1）求证：AEDF；（2）若AD=10，AB=6，AE=4，求DF的长：（1）在ABCD中， ADC+DAB=180DF、AE分别是ADC、DAB的平分线， AEDF2分（2）过点D作，交BC的延长线于点H，则四边形AEHD是平行四边形，且FDDHDH=AE=4，EH=AD=10. 在ABCD中，ADF=CFD，DAE=BEACDF=CFD，BAE=BEADC=FC，AB=EB在ABCD中，AD=BC=10，AB=DC=6，CF=BE=6，BF=BCCF=106=4FE=BEBF=64=

8、2 3分FH= FE+EH= 12 4分6已知：如图，在直角梯形ABCD中，ADBC,A=90,C=45，上底AD = 8，AB=12,CD边的垂直平分线交BC边于点G，且交AB的延长线于点E，求AE的长.解：联结DG 1分EF是CD的垂直平分线DG=CG 2分GDC=C, 且C =45DGC=90ADBC,A=90ABC=90四边形ABGD是矩形3分BG=AD=8 FGC =BGE =E= 45BE=BG=8 4分AE=AB+BE=12+8=205分7如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，将矩形ABCD翻折，使得点B落在CD边上的点E处，折痕AF交BC于点F，求FC的长：由题意，得AE

9、=AB=5,AD=BC=4,EF=BF. 1分在RtADE中，由勾股定理，得DE=3. 2分在矩形ABCD中，DC=AB=5.CE=DC-DE=2. 3分设FC=x，则EF=4-x.在RtCEF中，. . 4分解得. 5分 即FC=.图18.已知， 点P是MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使APB+MON=180.（1）利用图1，求证：PA=PB；图2（2）若MON=60，OB=2，射线AP交ON于点，且满足且，请借助图2补全图形，并求的长. （1）在OB上截取OD=OA，连接PD，OP平分MON，MOP=NOP又OA=OD，OP

10、=OP，AOPDOP1分PA=PD，1=2APB+MON=180，1+3=1802+4=180，3=4PD=PBPA=PB 2分（2）作BEOP交OP于E，AOB=600，且OP平分MON， 1=2=30AOB+APB=180，APB=120PA=PB，5=6=303+4=7，3+4=7=(18030)2=75在RtOBE中，3=600，OB=24=150，OE=，BE=14+5=450，在RtBPE中，EP=BE=1OP= 8分9（本题满分4分）（1）如图两个正方形的边长均为3，求三角形DBF的面积.（2）如图，正方形ABCD的边长为3，正方形CEFG的边长为1, 求三角形DBF的面积. （

11、3）如图，正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为，求三角形DBF的面积. （1） （2分） （2）（2分）结论是：三角形DBF的面积的大小只与a有关， 与无关.（没写结论也不扣分）从上面计算中你能得到什么结论. 图110（本小题满分7分）已知：等边三角形ABC（2） 如图1，P为等边ABC外一点，且BPC=120试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系,并证明你的猜想；图2（2）如图2，P为等边ABC内一点，且APD=120 求证：PA+PD+PCBD 猜想：AP=BP+PC -1分（1）证明：延长BP至E，使PE=PC，联结CE BPC=120 CPE=60，又PE=PC CPE为

12、等边三角形 CP=PE=CE，PCE=60 ABC为等边三角形 AC=BC，BCA=60 ACB=PCE， ACB+BCP=PCE+BCP 即：ACP=BCEACPBCE AP=BE - -2分 BE=BP+PEAP=BP+PC - - 3分（2）方法一：在AD外侧作等边ABD - 4分则点P在三角形ADB外 APD=120由（1）得PB=AP+PD 在PBC中，有PB+PCCB， PA+PD+PCCB - 5分 ABD、ABC是等边三角形 AC=AB，AB=AD，BAC=DA B=60 BAC+CAD=DAB+CAD 即：BAD=CAB ABCADB C B=BD - 6分 PA+PD+PC

13、BD - 7分 方法二：延长DP到M使PM=PA，联结AM、BM APD=120，APM是等边三角形， -4分AM=AP，PAM=60 DM=PD+PA -5分 ABC是等边三角形AB=AC，BAC=60AMBAPCBM=PC -6分在BDM中，有DM + BMBD， PA+PD+PCBD -7分11已知：如图，在四边形ABCD中， AD=BC,A、B均为锐角(3) 当A=B时，则CD与A B的位置关系是CD AB，大小关系是CD AB；(4) 当AB时，（1）中C D与A B的大小关系是否还成立，证明你的结论）答：如图1，CDAB ，CDAB 2分（2）答：CDAB还成立 3分证法1：如图2

14、，分别过点D、B作BC、CD的平行线，两线交于F点 四边形DCBF为平行四边形 AD=BC， AD=FD 4分作ADF的平分线交AB于G点，连结GF ADG=FDG 在ADG和FDG中 ADGFDG AG=FG 5分在BFG中， 6分 DCAB 7分证法2：如图3，分别过点D、B作AB、AD的平行线，两线交于F点 四边形DABF为平行四边形 AD=BC， BC=BF作CBF的平分线交DF于G点，连结CG以下同证法112已知：ABC和ADE都是等腰直角三角形，ABC=ADE=90，点M是CE的中点，连接BM. （1）如图，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM的数量

15、关系为 ； （2）如图，点D不在AB上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.图 图 解：(1)BD=BM. 2分(2)结论成立.证明:连接DM，过点C作CFED，与DM的延长线交于点F，连接BF，可证得MDEMFC. 3分DM=FM, DE=FC.AD=ED=FC.作ANEC于点N. 由已知ADE=90，ABC=90，可证得1=2, 3=4.4分CFED，1=FCM.BCF=4+FCM =3+1=3+2=BAD.BCFBAD. 5分BF=BD，5=6.DBF=5+ABF=6+ABF=ABC=90.DBF是等腰直角三角形. 6分点M是DF的中点，则BMD是等腰直角三角

16、形.BD=BM. 7分（说明：以上答案仅供参考，若有不同解法，只要过程和解法都正确，可相应给分）13(海淀)如图，在梯形ABCD中，ADBC，B=60，ADC=105，AD=6，且ACAB，求AB的长14丰台.已知:如图，在四边形ABFC中，=90,的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE.(1) 求证：四边形BECF是菱形；(2) 当的大小为多少度时,四边形BECF是正方形？15如图，梯形ABCD中, AD/BC, ABC=45 , ADC=120 , AD=DC, AB=, 求BC的长.16西城已知：在梯形ABCD中，ADBC，B=45，BAC=105，AD=CD=4求BC

17、的长17.已知:在ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD. 探究下列问题:（1）如图1，当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3，且ACB=60，则CD= ；（2）如图2，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6，且ACB=90，则CD= ；（3）如图3，当ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时，求 CD的最大值及相应的ACB的度数. 图1 图2 图318. 朝阳（本小题8分） 图 图（1） 已知：如图，RtABC中，ACB=90，AC=BC，点D、E在斜边AB上，且DCE=45. 求证：线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形； （2）已知：如图，等边三角

18、形ABC中，点D、E在边AB上，且DCE=30，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数；19崇文（本小题满分分）在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系图1 图2 图3（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时 ； （II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图

19、3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=，则Q= （用、L表示）20.海淀在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流.原问题：如图1，已知ABC, ACB=90 , ABC=45，分别以AB、BC为边向外作ABD与BCE, 且DA=DB, EB=EC，ADB=BEC=90，连接DE交AB于点F. 探究线段DF与EF的数量关系.小慧同学的思路是：过点D作DGAB于G,构造全等三角形，通过推理使问题得解.小东同学说:我做过一道类似的题目,不同的是ABC=30,ADB=BEC=60.小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况.请你参考小慧同学的思路，

20、探究并解决这三位同学提出的问题：（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；（2）如图2，若ABC=30，ADB=BEC=60，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，若ADB=BEC=2ABC, 原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明. 图1 图2 图313(海淀)如图，在梯形ABCD中，ADBC，B=60，ADC=105，AD=6，且ACAB，求AC的长解：过点D作DEAC于点E，则AED=DEC=90. .1分 ACAB， BAC=90. B=60, ACB=30. ADBC， DAC=

21、ACB=30. .2分 在RtADE中，DE=AD=3，AE=，ADE=60. .3分 ADC=105， EDC=45. 在RtCDE中， CE=DE=3. .4分 AC=AE+CE=.14丰台.已知:如图，在四边形ABFC中，=90,的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE.(3) 求证：四边形BECF是菱形；(4) 当的大小为多少度时,四边形BECF是正方形？ EF垂直平分BC, CF=BF,BE=CE ，BDE=90 1 又 ACB=90 EFAC E为AB中点， 即BE=AE2 CF=AE CF=BE CF=FB=BE=CE 3 四边形是BECF菱形. 4 当A= 45

22、时，四边形是BECF是正方形. 515如图，梯形ABCD中, AD/BC, ABC=45 , ADC=120 , AD=DC, AB=, 求BC的长.16西城已知：在梯形ABCD中，ADBC，B=45，BAC=105，AD=CD=4求BC的长作AEDC交BC于点E，AFBC于点F（如图2）1分ADBC，四边形ADCE是平行四边形2分DABCEF图2AD=CD，四边形ADCE是菱形 AE=EC=CD=AD=43分EACACB，B=45，BAC=105， ACB=180BBAC=30AEB=EACACB =60在RtAEF中，4分在RtABF中， BC=BFEFEC=5分17.已知:在ABC中，B

23、C=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD. 探究下列问题:（1）如图1，当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3，且ACB=60，则CD= ；（2）如图2，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6，且ACB=90，则CD= ；（3）如图3，当ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时，求 CD的最大值及相应的ACB的度数. 图1 图2 图318. 朝阳（本小题8分） 图 图（1） 已知：如图，RtABC中，ACB=90，AC=BC，点D、E在斜边AB上，且DCE=45. 求证：线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形； （2）已知：如图，等边三角形ABC中，点D、E在边AB上

24、，且DCE=30，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数；（1）证明：如图，ACB90，AC=BC，AB45.以CE为一边作ECFECB，在CF上截取CF=CB，则CF=CB=AC. 图 连接DF、EF，则CFECBE. 1分FE=BE，1B45.DCEECFDCF45，DCAECB45.DCFDCA.DCFDCA. 2分2A45，DFAD.DFE2190.DFE是直角三角形.又AD=DF，EB=EF，线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形. 4分（2）当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形.如图，与（1）类似，以CE

25、为一边，作ECF=ECB，在CF上截取CF=CB，可得CFECBE，DCFDCA.AD=DF，EF=BE. 图DFE12AB120. 5分若使DFE为等腰三角形，只需DF=EF，即AD=BE.当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形. 6分且顶角DFE为120.19崇文（本小题满分分）在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系图1 图2 图3（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时

26、 ； （II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=，则Q= （用、L表示）解：（I）如图1， BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC=MN 此时 （II）猜想：结论仍然成立证明：如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE ,且又是等边三角形，在与中：(SAS) DM=DE, 在与中：(SAS) MN=NE=NC+BM 的周长Q=AM+AN+MN=AM+AN+(NC+BM) =(AM+BM)+(AN+NC) =AB+AC =2AB而等边的周长L=3AB.

27、（III）如图3，当M、N分别在AB、CA的延长线上时，若AN=，则Q= 2+ （用、L表示）25怀柔如图1，在ABC中，ACB为锐角点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF解答下列问题：（1）如果AB=AC，BAC=90图1图2图3当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 当点D在线段BC的延长线上时，如图3，中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB=AC，BAC90，点D在射线BC上运动在图4中同样作出正方形ADEF，你发现（1）问中的结论是否成立？不用说明理由；如果BAC=90，ABAC，点D在射线

28、BC上运动在图5中同样作出正方形ADEF，你发现（1）问中的结论是否成立？不用说明理由；图4图5答：（3）要使（1）问中CFBC的结论成立，试探究：ABC应满足的一个条件，（点C、F重合除外）？画出相应图形（画图不写作法），并说明理由；（1）CF与BD位置关系是 垂 直、数量关系是相 等；1分当点D在BC的延长线上时的结论仍成立（如图3）由正方形ADEF得 AD=AF ，DAF=90BAC=90，DAF=BAC ， DAB=FAC.又AB=AC ，DABFAC. CF=BD. ACF=ABDBAC=90， AB=AC ，ABC=45，ACF=45，BCF=ACB+ACF= 90即 CFBD.3

29、分（2）画出图形（如图4），判断：（1）中的结论不成立.画出图形（如图5），判断：（1）中的结论不成立.4分（3）当BCA=45时，CFBD（如图6） 理由是：过点A作AGAC交BC于点G，AC=AG.图6可证：GADCAF ACF=AGD=45 .BCF=ACB+ACF= 90 即CFBD.5分20.海淀在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流.原问题：如图1，已知ABC, ACB=90 , ABC=45，分别以AB、BC为边向外作ABD与BCE, 且DA=DB, EB=EC，ADB=BEC=90，连接DE交AB于点F. 探究线段DF与EF的数量关系.小慧同学的思路是：过点D作DGAB于G,构造全等三角形，通过推理使问题得解.小东同学说:我做过一道类似的题目,不同的是ABC=30,ADB=BEC=60.小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况.请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；（2）如图2，若ABC=30，ADB=BEC=60，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，若ADB=