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1、第三章 点、直线、平面的投影,第一节 点的投影,一、点在三投影面体系中的投影,水平投影面H面 正面投影面V面 侧面投影面W面 投影轴：OX、OY、OZ 投影原点：O,三个投影面将空间分成八个部分，即八个分角； 我国的工程图采用第一分角投影法。,展开后,点的三面投影图,点的每个投影反映两个坐标值。 正面投影a反映X和Z坐标； 水平投影a反映X和Y坐标； 侧面投影a”反映Y和Z坐标。 已知任意两个投影即可得到点的X、Y、Z坐标，已知点的坐标（ X、Y、Z ），可以作出点的三个投影。,点的投影和坐标的关系,小结:点的投影规律,1)V、H两投影都反映X坐标，且投影连线垂直X轴； 2)V、W两投影都反映
2、Z坐标，且投影连线垂直Z轴； 3)H、W两投影都反映Y坐标，水平投影到X轴的距离等于侧面投影到Z轴的距离。,（1）X坐标大，在左面, XAYB,A在前，B在后； （3）Z坐标大，在上面， ZAZB,A在上，B在下。,二、空间点的相对位置,1. 两点的相对位置,当空间两点位于对投影面的同一条投影线上时，这两点在该投影面上的投影重合，称这两点为对该投影面的重影点,2. 重影点和可见性,点A、B在对H面的同一条投射线上，它们在H面的投影重合，称为对H面的重影点。而点C、D则称为对V面的重影点。,三、各种位置点的投影,X,投影面上的点：空间点的坐标值有一个为零,原点上的点 （0、0、0）,投影轴上点：
3、空间点的坐标值有两个为零,X 轴上点 （X、0、0） Y 轴上点 （0、Y、0） Z 轴上点 （X、0、0）,一般位置点,空间点的三个坐标值X、Y、Z均不为零，称该点为一般位置点,特殊位置点,第二节 直线的投影,一、直线的单面投影 直线的投影一般情况下仍是直线，但当直线平行于投射线时，其投影积聚为一点。 二、直线的确定 直线可由线上两点确定它的位置，也可由线上一点和直线的方向来确定。,1. 投影面平行线, 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面的真实倾角。, 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。,水平线,侧平线,正平线,投 影 特 性：,实长,实长,实长,三、直线对投
4、影面的相对位置及其投影特性,2. 投影面垂直线,铅垂线,正垂线,侧垂线, 另外两个投影，反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。, 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。,投 影 特 性:,四、一般位置直线的实长及其对投影面的倾角,一般位置直线的投影，既不能反映该线段的实长，又不能反映该线段对投影面的倾角。本节介绍用直角三角形法求一般位置直线段的实长及其对投影面的倾角。,为求得线段AB的实长，过A点作ACab，则得到直角三角形ABC，在该三角形中ACab，BCBbAaZ(A、B两点的Z坐标差)，而BAC即角，斜边即AB实长,以ab为一直角边，以Z为另一直角边，作出直角三角形aB1b，则在该直角三角形中
5、，aB1边长为线段AB的实长，baB1为线段AB的角,五、直线与点的位置关系,若点在直线上，则点的各个投影必在直线的同面投影上。如图所示，CAB，则有cab，cab，cab。,反之，如果点的各个投影均在直线的同面投影上，则点在直线上。在图中，C点在直线AB上，而D、E两点均不满足上述条件，所以都不在AB直线上。,AC/CB=ac/cb= ac / cb,点在直线上，点分割线段之比等于其投影之比。即：,空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。,1. 平行两直线,空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行，反之亦然。,六、两直线的相对位置,2.相交两直线,若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且
6、交点的投影必符合空间一点的投影规律。反之，若两直线的各同面投影相交，且交点符合一个点的投影规律，则此两直线在空间一定相交。,在右图中，虽然abck，abck，且kkOX，但因AB是侧平线，察看侧面投影，ab和c虽然相交，但该交点与k的连线与Z轴不垂直，故此两直线不相交。,若只凭V、H两投影来判断，则需看简单比(abk)与(abk)是否相等，若相等则相交，不相等则不相交。,3.交叉两直线,同面投影可能相交，但交点不符合空间一个点的投影规律。,交点是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。,若两直线既不平行又不相交，则它们是交叉直线,两种特殊情况,1.当两直线有两个投影均互相平
7、行，且又同时平行于第三个投影面时，一般应观察该两直线所平行的那个投影面上的投影来判断两直线是否平行。,2 当直线的两个投影都相交，且其中一直线平行于第三个投影面时，一般应观察投影面平行线所平行的那个投影面上的投影，或按线上点的等比关系，来判断两直线是否相交。,七、直角的投影,若两直线垂直，且其中一边平行于某个投影面(另一边不垂直于该投影面)，则两直线在该投影面上的投影互相垂直。上述特性，称为直角投影定理。,直角投影定理逆定理：,若两直线在某个投影面上的投影互相垂直，且其中一直线平行于该投影面，则此两直线必互相垂直。,第三节 平面的投影,不在同一直线上的三个点,直线及线外一点,两平行直线,两相交
8、直线,平面图形,1. 用几何元素表示平面,一、平面的表示法,2. 迹线表示法,平面和投影面的交线，称为平面的迹线,平面和H面的交线，称为水平迹线，和V面的交线，称为正面迹线，和W面的交线，称为侧面迹线。,二、平面对投影面的相对位置及其投影特性,平面对于三投影面的位置可分为三类：,1)不垂直于任何一个投影面的平面，称为一般位置平面； 2)垂直于一个投影面的平面，称为投影面垂直面； 3)平行于一个投影面(垂直于另外两个投影面)的平面，称为投影面平行面。 后两种平面又称特殊位置平面。下面分别讨论这三类平面的投影特性。,1.一般位置平面,一般位置平面和三个投影面既不垂直也不平行，与三个投影面都倾斜，所
9、以，如用平面形(例如三角形)表示一般位置平面，则它的三个投影均不是实形，但具有类似形。,2.投影面垂直面,只垂直于一个投影面的平面，称为投影面垂直面,根据其所垂直的投影面不同，可以分为三种： 1)铅垂面垂直于H面； 2)正垂面垂直于V面； 3)侧垂面垂直于W面。,投影面垂直面的投影特性是： 1)在其所垂直的投影面上，投影为斜直线，有积聚性；该斜直线与投影轴的夹角反映该平面对相应投影面的倾角； 2)如平面用平面形表示，则在另外两个投影面上的投影不是实形，但有类似形。,3.投影面平行面,垂直于两个投影面的平面，平行于第三个投影面,根据其所平行的投影面不同，投影面平行面也可分为三种： 1)水平面平行于H面； 2)正平面平行于V面； 3)侧平面平行于W面。,投影面平行面的投影特性是： 1)如平面用平面形表示，则其在所平行的投影面上的投影，反映平面形的实形； 2)在另外两个投影面上的投影均为直线段，有积聚性，且平行于相应的投影轴。,三、平面上的直线和点,点在平面上的条件 如果点在平面上的某一直线上，则此点必在该平面上,直线在平面上的条件 通过平面上的两个已知点或通过平面上的一个点，且平行于平面上的一条直线,四、 平面上的特殊位置直线,平面上的投影面平行线，有平面上的水平线、正平线和侧平线三种,平面上的投影面平行线,