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1、正多边形和圆、弧长和扇形面积一、目标认知学习目标1了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形2通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题3了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，并会应用公式解决问题重点1正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系2n的圆心角所对的弧长，扇形面积及它们的应用3圆锥侧面积和全面积的计算公式难点与关键1正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系2弧长和扇形面积公式的应用；由圆的周长和面积迁移到弧长
2、和扇形面积公式的过程3圆锥侧面积和全面积的计算公式二、知识要点透析知识点一、正多边形的概念各边相等，各角也相等的多边形是正多边形要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形).知识点二、正多边形的重要元素1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆2.正多边形的有关概念(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的
3、半径(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距3.正多边形的有关计算(1)正边形每一个内角的度数是；(2)正边形每个中心角的度数是；(3)正边形每个外角的度数是.知识点三、正多边形的性质1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.2.正边形的半径和边心距把正边形分成2个全等的直角三角形.3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.知识点四、正多边形的画法1.用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此
4、作相等的圆心角可以等分圆.2.用尺规等分圆对于一些特殊的正边形，可以用圆规和直尺作图.知识点五、弧长公式半径为R的圆中360的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：n的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)要点诠释：(1)对于弧长公式，关键是要理解1的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；(2)公式中的表示1圆心角的倍数，故和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.知识点六、扇形面积公式1.扇形定义： 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.2.扇形面积公式： 半径为R的圆中360
5、的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：n的圆心角所对的扇形面积公式：要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可 以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.知识点七、圆锥的侧面积和全面积连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形面积圆心角为n，则圆锥的侧面积，全面积.要点诠释：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长
6、就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.三、规律方法指导1首先要结合图形真正理解掌握正多边形及其相关的一些概念；2在进行正多边形的有关计算时，要利用由正多边形的半径、边心距及弦的一半组成的直角三角形结合勾股定理进行计算；3注意掌握用尺规等分圆的方法画一些特殊的正多边形；4注意弧长公式中，n表示1的圆心角的倍数，n和180都不带单位，若圆心角的单位不统一，应先统一单位，化为度；5扇形面积公式与三角形面积公式类似.把弧长看作底，R看做高就比较容易记忆了；6对组合图形面积的计算问题，应认真全面观察和分析图形，避免拿起题目就盲目乱做.经典
7、例题透析类型一、正多边形的概念1（1）（2011江苏南通）比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点与不同点.例如 它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等. 它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形. 请你再写出它们的两个相同点和不同点. 相同点：（1）_（2）_不同点：（1）_（2）_答案：相同点（1）每个内角都相等（或每个外角都相等或对角线都相等）；（2）都是轴对称图形（或都有外接圆和内切圆）；.不同点（1）正五边形的每个内角是108，正六边形的每个内角是120（或）；（2）正五边形的对称轴是5条，正六边形的对称轴是6条（或）.（2）如图，在
8、正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，若分别以A、B、C、D为圆心，以OA长为半径作 弧，分别与各边交于E、F、G、H、K、L、M、N点. 求证：八边形EFGHKLMN是正八边形.思路点拨：欲证八边形EFGHKLMN是正八边形，依据定义，只要证它的各角相等(都为135)，各边也相等.证明：设正方形ABCD的边长为a，则 同理可证 同理可证 八边形EFGHKLMN的各边相等 而BFG、CHK、DML、AEN都是等腰直角三角形， 由三角形的外角性质可得此八边形的每个内角都为90+45=135 八边形EFGHKLMN是正八边形.2已知：如图，ABC是O的内接等腰三角形，顶角A=36，弦BD、C
9、E分别平分ABC、ACB.求证：五边形AEBCD是正五边形解：ABC是等腰三角形，顶角A=36，ABC=72，ACB=72，又弦BD、CE分别平分ABC、ACBABD=DBC=ACE=BCE=BAC=36五边形AEBCD是正五边形.类型二、正多边形的有关计算3. （1）（2011广东中山）正八边形的每个内角为（ ）A120 B135 C140 D144思路点拨：正八边形的每个内角为，故选B.答案：（2）已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积思路点拨：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接O
10、A，过O点作OMAB于M，在RtAOM中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于，OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径因此，所求的正六边形的周长为6a在RtOAM中，OA=a，AM=AB=利用勾股定理，可得边心距OM=所求正六边形的面积=6ABOM=.举一反三：【变式1】已知，如图，正八边形ABCDEFGH内接于半径为R的O，求这个八边形的面积.解：如图，分别连结OA，OC及AC由正八边形的对称性，则ACOB，AOC=90 探究思考：这个八边形的边长a=?提示：如图所示，当OA=
11、R时，.类型三、考查弧长和扇形的计算4. （1）（2011广东广州）如图4，AB切O于点B，OA=，AB=3，弦BCOA，则劣弧的弧长为（ ）A BC D思路点拨：连结OB、OC，则，OB=，由弦BCOA得，所以OBC为等边三角形，.则劣弧的弧长为，故选A.答案：A（2）制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)思路点拨：要求的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可解：R=40mm，n=110的长=76.8(mm)因此，管道的展直长度约为76.8mm5如图，已知扇形AOB的半径为10，AOB=60，求的长(结果精确
12、到0.1)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1).思路点拨：要求弧长和扇形面积，只要有圆心角，半径的已知量便可求，本题已满足解：的长=S扇形=因此，的长为10.5，扇形AOB的面积为52.4举一反三：【变式1】如图，为的直径，于点，交于点，于点(1)请写出三条与有关的正确结论；(2)当，时，求圆中阴影部分的面积解：(1)答案不唯一，只要合理均可例如： ； ； ； ；是直角三角形；是等腰三角形(2)连结，则 ， 为的直径， 在中， ， ，是的中位线 类型四、圆锥面积的计算6（1）（2011山东泰安）一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是（ ）A5 B. 4 C3 D2思路点拨：圆
13、锥的侧面展开图的弧长为2，圆锥的侧面面积为2，底面半径为1，圆锥的底面面积为，则该圆锥的全面积是2+=3.故选C.答案：C （2）圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？(结果精确到0.1cm2)思路点拨：要计算制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸，只要计算纸帽的侧面积解：设纸帽的底面半径为rcm，母线长为，则(cm)22.03(cm)S纸帽侧=5822.03=638.87(cm)638.8720=12777.4(cm2)所以，至少需要12777.4cm2的纸举一反三：【变式1】如图，圆
14、锥形的烟囱帽的底面直径是，母线长.计算这个烟囱帽侧面展开图的面积及圆心角.思路点拨：烟囱帽的展开图是扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面的周长.解：设扇形的半径为，弧长为，圆心角为，则，.答：烟囱帽侧面展开图的圆心角是，面积是.【变式2】如图，已知RtABC的斜边AB=13cm，一条直角边AC=5cm，以直线AB为轴旋转一周得一个几何体求这个几何体的表面积思路点拨：首先应了解这个几何体的形状是上下两个圆锥，共用一个底面，表面积即为两个圆锥的侧面积之和根据可知，用第二个公式比较好求，但是得求出底面圆的半径.解：在RtABC中，AB=13cm，AC=5cm，BC=12cmOCAB=B
15、CAC(由三角形面积得)，所以，这个几何体的表面积为.学习成果测评基础达标一、选择题1（2011浙江杭州）正多边形的一个内角为135，则该正多边形的边数为（ ）A9 B8 C7 D42下列说法：各边相等的圆内接多边形必为正多边形；各角相等的圆内接多边形必为正多边形；各边相等的圆外切多边形必为正多边形；各角相等的圆外切多边形必为正多边形.其中正确的个数是( )A. 0个 B1个 C2个 D4个3若正三边形的外接圆的半径为，内切圆的半径为，则的值等于( )A BCD 4如图所示，正六边形ABCDEF内接于O，则ADB的度数是( )A60 B45 C30 D22.55若半径为5cm的一段弧长等于半径
16、为2cm的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为( )A18 B36 C72 D1446（2011湖南常德）已知圆锥底面圆的半径为6厘米，高为8厘米，则圆锥的侧面积为（ ）.A48 B. 48 C. 120 D. 607如图所示，实线部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为( )A12m B18m C20m D24m8圆锥的母线长为13cm，底面半径为5cm，则此圆锥的高线为( )A6cm B8cm C10cm D12cm9已知圆锥的母线长为4，底面圆的半径为3，则此圆锥的侧面积是（ ）A6 B9 C12 D1610在半径为50cm的圆形铁皮上剪
17、去一块扇形铁皮，用剩余部分制作成一个底面直径为80cm，母线长为50cm的圆锥形烟囱帽，则剪去的扇形的圆心角度数为( )A228 B144 C72 D36二、填空题11已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_.12如图，有一个边长为2cm的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，则这个圆形纸片的最小半径是_.13如果一条弧长等于，它的半径是R，那么这条弧所对的圆心角度数为_，当圆心角增加30时，这条弧长增加_.14如图所示，OA=30B，则的长是的长的_倍.15(2011浙江绍兴)一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为90的扇形，则此圆锥的底面半径为_. 16已知扇形的半径为2cm，
18、面积是，扇形的圆心角为_，扇形的弧长是_cm17矩形ABCD的边AB=5cm，AD=8cm，以直线AD为轴旋转一周，所得圆柱体的表面积是_.(用含的代数式表示)18粮仓顶部是一个圆锥形，其底面周长为36m，母线长为8m，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，如果按用料的10%计接头的重合部分，那么这座粮仓实际需用_m2的油毡.三、解答题1如图所示，已知O的周长等于6cm，求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积.2已知如图所示，所在圆的半径为R，的长为R，O和OA、OB分别相切于点C、E，且与O内切于点D，求O的周长.3如图所示，在计算机白色屏幕上，有一矩形着色画刷ABCD，AB=1，AD=，将画
19、刷以B为中心，按顺时针转动ABCD位置(A点转在对角线BD上)，求屏幕被着色的面积.4如图已知扇形的圆心角为，面积为.(1)求扇形的弧长(2)若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的底面面积为多少？能力提升一、选择题1圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则APB的度数是( )A36 B60 C72 D1082如图所示，把边长为2的正方形ABCD的一边放在定直线上，按顺时针方向绕点D旋转到如图的位置，则点B运动到点B所经过的路线长度为( )A1 B C D3如果一个正三角形和一个正六边形面积相等，那么它们边长的比为（ ）A6：1 B C3：1 D4如图所示，圆锥的母线长是3，底面
20、半径是1，A是底面圆周上一点，从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是( )A B C D35如图，在中，将其绕点顺时针旋转一周，则分别以为半径的圆形成一圆环该圆环的面积为（ ）A B C D6如图，是等腰直角三角形，且曲线叫做“等腰直角三角形的渐开线”，其中，的圆心依次按循环如果，那么曲线和线段围成图形的面积为（ ）A B C D7. （2011四川广安）如图7圆柱的底面周长为6cm，是底面圆的直径，高= 6cm，点是母线上一点且=一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ） A（）cm B5cm Ccm D7cm二、填空题8（ 2011重庆江津）如图,点A、B、C
21、在直径为的O上,BAC=45,则图中阴影的面积等于_,(结果中保留).9一个圆内接正六边形与内接正方形面积之差为4，则此圆的面积为_.10已知弓形的弦长等于半径R，则此弓形的面积为_.（弓形的弧为劣弧）11已知圆锥体的侧面积是底面积的3倍，则圆锥的侧面展开图的圆心角为_.三、解答题12已知O的半径为R，求它的内接正三角形ABC的内切圆的内接正方形DEFG的面积.13如图，已知PA、PB切O于A、B两点，PO=4cm，APB=60，求阴影部分的周长.14某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形；乙同学：我发现边
22、数是6时，它也不一定是正多边形，如图1，是正三角形，,可以证明六边形ADBECF的各内角相等，但它未必是正六边形；丙同学：我能证明边数是5时，它是正多边形，我想，边数是7时，它可能也是正多边形；（1）请你说明乙同学构造的六边形各内角相等；（2）请你证明，各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG（如图2）是正七边形（不必写已知、求证）；（3）根据以上探索过程，提出你的猜想（不必证明）.15如图，已知直角扇形AOB，半径OA=2cm，以OB为直径在扇形内作半圆M，过M引MPAO交于P，求与半圆弧及MP围成的阴影部分面积. 答案与解析基础达标一、选择题1.B2.C点拨：各边相等的圆内接多边形，各边所
23、对的中心角相等，各顶点必平分圆，所以得到的多边形必为为正多边形，正确；各角相等的圆内接多边形不一定为正多边形，如长方形各角为直角相等，以对角线的交点为圆心到顶点的距离为半径的圆就是外接圆，长方形是这个圆的内接各角相等的四边形，但不是正四边形，所以错；各边相等的圆外切多边形不一定为正多边形，如菱形就是它内切圆的外切各边相等的四边形，却不是正四边形，所以不对；各角相等的圆外切多边形必为正多边形是正确地，所以选C.3.A 点拨：如图，OA=R，OC=r，正三角形的每个内角是60则OAB=30，所以OC=OA.选A.4.C 5.D 6.D 7.D 8.D9.C点拨：如图圆锥的侧面积这里=4，r=3，所
24、以圆锥的侧面积=12，选C.10.C二、填空题11.12.2cm；点拨：若要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，则这个圆形纸片的最小半径就是这个正六边形的外接圆的半径，如图已知EF=2cm，作，垂足为点M，EOM=30,所以OE=2EM=EF=2cm.13.45， 14.315.1 16.，；点拨：设扇形的面积为S，弧长为，所在圆的半径为R，由扇形面积公式可得：，解得n=120；再根据弧长公式.17.130cm2 18.158.4三、解答题1设正六边形边长为a，则圆O半径为a， 由题意得：2a=6，a=3. 如图，设AB为正六边形的一边，O为它的中心， 过O作ODAB，垂足为D， 则DOA=30，
25、AD=AB=， 在RtABC中，OD=cm， S正六边形.2连结OD、OC，则O在OD上 由，解得：AOB=60， 由RtOOC解得O的半径， ，所以O的周长为.3连结BD，设屏幕被着色面积为S， 则S=SABD+S扇形BDD+SBCD=S矩形ABCD+S扇形BDD， 在RtABD中，AB=1，AD=AD=， BD=BD=2，DBD=60， .4.思路点拨：(1)由求出R，代人求得；(2)若将此扇形卷成一个圆锥，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，就可求底面圆的半径，即得底面圆的面积解：（1）因为，,所以R=30； 又因为，所以；（2），圆锥底面圆面积= 所以扇形形的弧长是20， 圆锥底面圆面积是
26、.能力提升一、选择题1.C 2.D3.B点拨：如图，作等边三角形ABC的高AD，设AB=BC=AC=a，则BD=，由勾股定理得AD=，所以等边三角形ABC的面积=；设正六边形的边长为b，正六边形的中心与各顶点相连将正六边形分成六个正三角形，每个正三角形的边长为b，所以正六边形的面积；如果面积相等，则=，所以；，选B. 4.C5.C点拨：圆环的面积=，这里R=AB，r=BC，中，所以选C.6.C点拨：曲线和线段围成图形的面积是由三个扇形和一个等腰直角三角形组成，扇形ACD的面积=，扇形BDE的面积=，扇形ECF的面积=；ABC的面积=，所以曲线和线段围成图形的面积=，选C.7.B二、填空题8.；
27、点拨：连结OB、OC，因BAC=45,所以BOC=90,OB=OC=，S阴影=S扇形-S=.9.；点拨：已知一个圆内接正六边形与内接正方形面积之差为4，求圆的面积，就要用圆的半径表示内接正六边形和内接正方形的面积，如图所示圆内接正六边形中OE=EF=R，所以EM=，所以OM=；所以正六边形的面积=；在圆内接正方形中，OA=R，AC=2R，所以，AB=，所以正方形的面积=；因为圆内接正六边形与内接正方形面积之差为4，所以，所以=，所以圆的面积=.10.；点拨：如图：弓形弦长等于半径R，弓形的弧所对的圆心角为60扇形的面积为.三角形的面积为.弓形的面积为.即.故应填.总结升华：注意弓形面积的计算方
28、法，即弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的和或差.本题若没有括号里的条件，则有两种情况.11.120；点拨：如图，圆锥的侧面积=，底面积=，因为圆锥体的侧面积是底面积的3倍，所以，所以，又因为，所以n=120.三、解答题12.思路点拨：要求正方形的面积就要先求边长，已知的是O的半径为R，中间有内接正三角形的内切圆，然后才是内切圆的内接正方形，要找到正方形的边长与R的关系. 解：连结OB、OC，设小圆与BC的切点为M，连结OM，则OMBC、BOC=120，MOC=60，OC=R，OM=，则小圆的直径为DF=R，由勾股定理得DE=， S正方形DEFG=.总结升华：正多边形与圆的有关计算都会在直角三
29、角形中进行，圆的半径、正多边形的边长的一半、边心距构成直角三角形，这是解决正多边形与圆的问题中常构造的辅助三角形，要能把正多边形、圆中的已知条件与所求的元素通过这个直角三角形中联系起来.13.思路点拨：此题欲求阴影部分的周长，须求PA、PB和的长，连结OA、OB，根据切线长定理得PA=PB，PAO=PBO=90，APO=BPO=30，在RtPAO中可求出PA的长，根据四边形内角和定理可得AOB=120，因此可求出的长，从而能求出阴影部分的周长.解：连结OA、OBPA、PB是O的切线，A、B为切点PA=PB，PAO=PBO=90APO=APB=30在RtPAO中，PB=PA=APB=60，PAO
30、=PBO=90AOB=120，阴影部分的周长=PAPB=cm答：阴影部分的周长为cm.14.解：（1）由图知对 对的 同理可证，其余各角都等于 图1中六边形各内角相等；（2）对，对 又 同理 七边形ABCDEFG是正七边形；（3）猜想：当边数是奇数时（或当边数是3，5，7，9，）， 各内角相等的圆内接多边形是正多边形.15.思路点拨：要求的阴影部分的面积显然是不规则图形的面积，不可能直接用公式，只有用“割补法”，连结OP.解：连结OPAOOB，MPOA，MPOB又OM=BM=1，OP=OA=21=600，2=300由勾股定理得PM=而，设PM交半圆M于Q，则直角扇形BMQ的面积为 =总结升华：求组合图形的面积一般要构造出易解决问题的基本图形，然后求出各图形的面积，最后通过面积的加减得出结论.常见的错误是不能正确的分割图形，因而无法计算.