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1、函数的值域题型一：二次函数的值域例1 求的值域解答：配方法： 所以值域为例2 求在上的值域解答：函数图像法：画出函数的图像可知，,在时取到最小值，而在时取到最大值8，可得值域为。例3 求在上的值域解答：由函数的图像可知，函数的最值跟a的取值有关，所以进行分类讨论： 当时，对称轴在的左侧，所以根据图像可知，所以此时的值域为 当时，对称轴在与y轴之间，所以根据图像可知，所以此时的值域为 当时，对称轴在y轴与之间，所以根据图像可知，所以此时的值域为 当时，对称轴在的右侧，所以根据图像可知，所以此时的值域为题型二：指数、对数函数的值域例4 求的值域解答：复合形式用换元：令，则由例1可知，根据单调性，可
2、求出的值域为例5 求的值域解答：因为，所以，采用换元法，令，则则原函数变为，可以根据二次函数值域的求法得到值域为题型三：分式函数的值域例6 求函数的值域解法一：分离变量法，将分式中分子部分的变量分离出去。则可以换元，令，原函数变为，由反比例函数的性质可知，值域为解法二：反函数法，利用原函数的值域就是反函数的定义域，来求值域。令，则，得到，可知解法三：解析几何法。考虑数形结合，联想到分式表示两点间连线的斜率，则讲原函数写为，可以看成是两点连线的斜率，其中是动点，构成直线轨迹，则连线必须与相交，所以连线斜率不能是2，得到值域。例7 求函数在的值域解法一：分离变量之后采用函数图像法，令，原函数变为，
3、可以画出的图像，或者根据单调性直接可以得到值域为解法二：反函数法，将代入中，求解不等式，可以得到值域范围。解法三：解析几何法。，可以看成是两点连线的斜率，其中是动点，不再构成直线，而是构成在区间的线段，画出图像后观察可得斜率的范围为例8 求函数的值域解法一：分离变量法，令，原函数变为由均值不等式可知当，当，可以得到原函数的值域为解法二：判别式法，令，则，整理得关于的一元二次方程，满足方程有解，该方程的判别式可得,即函数的值域为解法三：解析几何法，可以看成是两点之间连线的斜率，而是动点，恰好构成的轨迹，由图像可以看出，连线斜率的范围从而得到函数的值域。例9 求函数在的值域解答：此题限制了定义域，
4、导致判别式法失效，采用分离变量法，画出函数图像来求函数的值域。令，原函数变为画出对勾函数的图像，可以得到的值域范围是，则最后函数的值域为题型四：三角函数的值域例10 求函数的值域解答：使用辅助角公式，可知函数的值域为例11 求函数的值域解答：先化简，再转为一次三角函数后使用辅助角公式，可知函数的值域为例12 求函数的值域解答：先化为同角的三角函数，再换元为二次函数求解值域。令，则原函数化为，则按前面的例题可得函数的值域为，例13 求函数的值域解答：利用来换元。令，则原函数化为，同理，按二次函数的值域求法，可得结果。例14 求函数的值域解法一：辅助角公式法。类似于二次分式的判别式法，令，则可得，
5、利用辅助角公式后，则要求，可解出值域范围解法二：解析几何法。三角分式也可以看为，即两点连线的斜率，其中是动点，构成的轨迹是圆心在原点，半径为1的圆，根据图像可知，连线与圆相切时分别取到最大值和最小值，可得函数的值域例15 求函数在上的值域解答：此时无法使用辅助角公式法，只能用解析几何法，动点构成的轨迹为右半圆，这样，可得结果题型五：绝对值函数的值域例16 求函数的值域解法一：零点分类讨论法。当时，；当时，；当时，。所以函数的值域为解法二：利用绝对值的几何意义，画出数轴，分别表示到-5与1的距离，根据数轴图像，可以直接得到值域为例17 求函数的值域解答：零点分类法将十分麻烦，利用换元法，令，则原
6、函数化为，则根据数轴法，可以得到函数的值域为题型六：根式函数的值域例18 求函数的值域解法一：换元法，令，则原函数化为，根据二次函数值域的求法，可得原函数值域为。解法二：解析几何法，令，可得，即函数的值可以看成是直线的截距，而直线必须通过上的点，画出图像可知相切时截距最小，可得函数的值域例19 求函数的值域解法一解法二同上一例题，注意换元时的等价性，结果解法三：单调性法，题目中函数为单调递增，根据函数的定义域，代入可得函数的值域。例20 求函数的值域解法一：三角换元法，令，这样换元既可以保证换元的等价性，同时可以使得开方后的表达式去掉绝对值符号，注意，画出三角函数图像可得值域为。解法二：解析几
7、何法，令，可得，即函数的值可以看成是直线的截距，而直线必须通过，通过作图可以得到截距的范围，也就是函数的值域例21 求函数的值域解法一：三角换元，类似于上一道题，令，这样可以得到，化为三角分式，在利用解析几何法将其转化为两点的斜率可以做出图像得到值域为解法二：解析几何法，类似于上一道题，令，可得，即函数的值可以看成是直线的截距的2倍，而直线必须通过即双曲线的上半支，通过作图可知相切时取得截距的最小值，得到值域。解法三：对勾换元法，利用进行换元，令，则原函数化为，根据均值不等式可得值域例22 求函数的值域解答：先配方，可得，利用解析几何法，类比两点距离公式可以转化为到两点距离和，作图在利用两点间线段距离最短可以得到函数值域为。部分练习求下列函数的值域：1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 910. 11. 12. 13