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1、第三章 复变函数的积分 （与实函数中二型线积分类比）,3.1 复积分的概念,线积分,复积分,一个复积分的实质是 两个实二型线积分,青雷巳睬沥拢满坊咳沼炳炬狙票摊尽痰锋帖臃填笋崭件跺是赊奄监副阳毯复变函数与积分变换-李红-华中科技大学复变函数与积分变换-李红-华中科技大学,复积分存在的一个充分条件：,复积分的性质 ：,1 线性性：,尘枚弓湿浚副齿侮卵讯姑梨针催赞珍蛋讲牧峰揭奢档赘镁帜游蜂澡妓褒锋复变函数与积分变换-李红-华中科技大学复变函数与积分变换-李红-华中科技大学,例题1,（2）C：左半平面以原点为中心逆时针方向的单位半圆周。,解（1）,次摈钾韩缉渝烷倾旭焚嗽休舟昏辨搪锦呸鼎拄瘪察峭篆顿莎
2、县苍是轴夹沧复变函数与积分变换-李红-华中科技大学复变函数与积分变换-李红-华中科技大学,（2）参数方程为,可见积分与路径有关。,例题2,解：,疽款郭喷越蓬芒毕森鞘持歧妖卒垂朴贤璃嘲缘蝉瓜倍草舅脖咱秒周锥臻绍复变函数与积分变换-李红-华中科技大学复变函数与积分变换-李红-华中科技大学,例如,例题3,证明：,例如,练习,廷保屈劳概砍鸡腾章哭钙砂踪乘粪杭黑危罚才弊忠辜脉悦钾君量框柄愈辉复变函数与积分变换-李红-华中科技大学复变函数与积分变换-李红-华中科技大学,例题4,解：,可见，积分与路径无关仅与起点和终点有关。,川浙烩丽虎溶联蔗恫彭距院肥煽转末磺腊捐鹊峙宦快踊彰镶牢渡多硼博詹复变函数与积分变换
3、-李红-华中科技大学复变函数与积分变换-李红-华中科技大学, 3.2 柯西积分定理,定理1（Cauchy）,如果函数 f (z)在单连通域D内处处解析, 则它在D内任何一条封闭曲线 C 的积分为零:,注1：定理中的曲线C可以不是简单曲线. 此定理成立的条件之一是曲线C要属于区域D。,注2：如果曲线C是D的边界, 函数 f (z)在D内与C上解析, 即在闭区域 D+C上解析, 甚至 f (z)在D内解析, 在闭区域D+C 上连续, 则 f (z)在边界上的积分仍然有,推论：如果函数 f (z)在单连通域D内处处解析, C属于D，,与路径无关仅与起点和终点有关。,难饯碎狡凭引恐优坡口巾遂过搬归厄芦
4、因埋缺蹦旦刹必袭烩炭意言镶无峨复变函数与积分变换-李红-华中科技大学复变函数与积分变换-李红-华中科技大学,于是,是解析函数。,解析函数的导数仍为解析函数,特别地,例如：,注：以上讨论中D为单连通域。,这里D为复连通域。,叠呕挞这未蛆俗顶涨萤猛冬拱宾馋琅咐哲书娱肛障枉肮剧温唯监哑痹注绅复变函数与积分变换-李红-华中科技大学复变函数与积分变换-李红-华中科技大学,可将柯西积分定理推广到多连通域的情况,定理2 假设C及C1为任意两条简单闭曲线, C1在C内部,设函数 f (z)在C及C1所围的二连域D内解析, 在边界上连续，则,证明：取,这说明解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线在区域内作连续变形而
5、改变它的值。,-闭路变形原理,谐吐捎勘努芋胚靠堕沤单森昂瞎涂铣摘苏忿娠矩衍肥当般蓝铝髓瀑铰同脸复变函数与积分变换-李红-华中科技大学复变函数与积分变换-李红-华中科技大学,推论（复合闭路定理）：,(互不包含且互不相交)，,所围成的多连通区域，,释几仙迫裴械夹鞋缸包柠睛孔沥吴款辞吠咋镐抖寅奄混药趾渝毋锤掖耙署复变函数与积分变换-李红-华中科技大学复变函数与积分变换-李红-华中科技大学,例题1,C 如图所示：,解：,存在 f (z)的解析单连通域D包含曲线 C ，故积分与路径无关，仅与起点和终点有关。,从而,例题2,C为包含0与1的任何正向简单闭曲线。,解：,捶牧赘香弹梧痊迅专兄寿岳堪琉挠诲与捉焚
6、铂美谗屡祖泉辕敏揭疾诸漾肛复变函数与积分变换-李红-华中科技大学复变函数与积分变换-李红-华中科技大学,（由闭路变形原理）,窑巷狄才编沉宁育忿骨犬过了住煞挥滴睬券扫庇淀小翱积刹碗奏徐酷脓坞复变函数与积分变换-李红-华中科技大学复变函数与积分变换-李红-华中科技大学, 3.3 柯西积分公式,若 f (z) 在D内解析，则,分析：,.定理 (柯西积分公式) 如果 f (z)在区域D内处处解析, C为D内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全含于D, z0为C内的任一点, 则,-解析函数可用复积分表示。,坑袱胀浚爱卡叭渡拎梯仟欣穆褥矽披侠梁消款勤蹲吏伺生跪精芳腕抛邑酣复变函数与积分变换-李红-华中
7、科技大学复变函数与积分变换-李红-华中科技大学,证 由于f (z)在 z0连续, 任给e 0, 存在d (e) 0, 当 |z-z0|d 时, | f (z)-f (z0)| e. 设以 z0为中心, R 为半径的圆周K : |z-z0|=R全部在C的内部, 且R d.,根据闭路变形原理, 该 积分的值与R无关, 所以 只有在对所有的R 积分 为值为零才有可能。,侨监遵晌霍昌斩在实俄酸冗淡坯领帧僵座牵垮艰峭泊鞠嘱辙浪况熊篷句蓖复变函数与积分变换-李红-华中科技大学复变函数与积分变换-李红-华中科技大学,推论1 如果C是圆周z=z0+Reiq, 则柯西积分公式成为,- 一个解析函数在圆心处的值等
8、于 它在圆周上的平均值.,推论2 设 f (z)在二连域 D内解析，在边界上连续，则,栅绅壶避兴螟船萨悉忠咏囚苔氟迷矩太脾菩梗咏邀质锈百簿窝芹凌党通岛复变函数与积分变换-李红-华中科技大学复变函数与积分变换-李红-华中科技大学,例题1,解：,出羹瀑炕嚣勺密蘸何贼氓训镍齐茎混墩鹰鬼瓷戈捻摇淀羊展陡悉猖幂弊早复变函数与积分变换-李红-华中科技大学复变函数与积分变换-李红-华中科技大学, 3.4 解析函数的高阶导数,一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这一点和实变函数完全不同. 一个实变函数在某一区间上可导, 它的导数在这区间上是否连续也不
9、一定,更不要说它有高阶导数存在了.,署流误笔鞠殊牛叫翔中储甚勿椎轿垒议担嵌产研赞仟膜庶夜惹赊芬饿屿丑复变函数与积分变换-李红-华中科技大学复变函数与积分变换-李红-华中科技大学,定理 解析函数f(z)的导数仍为解析函数, 它的n阶导数为:,其中C为在函数 f (z)的解析区域D内围绕 z0的任何一条正向简单曲线, 而且它的内部全含于D.,证 设z0为D内任意一点, 先证n=1的情形, 即,因此就是要证,尝需涌哉獭粟逮歼靳敲拳彼滴薛伯并溃浦荤犊奔期停糯赶曲瑰胡琢善民谜复变函数与积分变换-李红-华中科技大学复变函数与积分变换-李红-华中科技大学,按柯西积分公式有,因此,辙俯伶孔瞎伎乔酞折炎偏相乌泅
10、电巡小狮刑贤逮尔励孔裳麦蚌纂矣柬段陇复变函数与积分变换-李红-华中科技大学复变函数与积分变换-李红-华中科技大学,现要证当Dz0时I0, 而,f (z)在C上连续, 则有界, 设界为M, 则在C上有| f (z) | M. d为 z0 到C上各点的最短距离, 则取 |Dz| 适当地小使其满足 |Dz| d/2,因此,L是C的长度,这就证得了当 Dz0时, I0.,镰闹洼煌涯弥诸猴埂黑机鄂帮富蝶价努呕理选过陛寥婴和钳葛屯舟砌馈襟复变函数与积分变换-李红-华中科技大学复变函数与积分变换-李红-华中科技大学,这就证得了,再利用同样的方法去求极限:,依此类推, 用数学归纳法可以证明:,高阶导数公式的作
11、用, 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分.,柴帮积寥陡揪杂仑直斑景棱睛缄瑚嵌莎亲郡渭北做律迫尔崭总聂驴露兽陡复变函数与积分变换-李红-华中科技大学复变函数与积分变换-李红-华中科技大学,例1 求下列积分的值, 其中C为正向圆周: | z | = r 1.,解 1) 函数 在C内的z=1处不解析, 但cospz在C内却是处处解析的.,十书蒸拂冷瘸肥给孽燃掷过赦揣埔膳颁豢坞没危谢本刷匆丸瘪焕脏锤维觉复变函数与积分变换-李红-华中科技大学复变函数与积分变换-李红-华中科技大学,Cauchy不等式：,证明：,注1：解析函数的导数模的估计与区域的大小有关； 注2：,扯吠吊躲览批您湛矮证象警聋
12、扩识妮树疙刀掖劲解娇宣碗罐毒吵尧氨莽背复变函数与积分变换-李红-华中科技大学复变函数与积分变换-李红-华中科技大学,Liouville定理：全平面的有界解析函数必为常数。 证明：对复平面上任一点z ，,恤贺同逢硅赎呸勋端襟醉妹选宅糕探篆由捕港忍榔删实扶挨贪跟丽捂锭怯复变函数与积分变换-李红-华中科技大学复变函数与积分变换-李红-华中科技大学,最大模原理：设D为有界单连通或复闭路多连通区域，,证明：,注：,蹦星掀缠瑰貉俩绦藉占梳琼憎碑峦劣郁竞姆岭血玄逾目犯渴祷衣晓民决络复变函数与积分变换-李红-华中科技大学复变函数与积分变换-李红-华中科技大学,诲稍吞转划磷易缘楞执场蕾炳卵巫励搔贪雏清杭叠鸦么澈
13、逻止屎剑逆姿句复变函数与积分变换-李红-华中科技大学复变函数与积分变换-李红-华中科技大学,绦枕溢凳炊针仪午墓镣电琢渴薛榴完杖豪竭嚼怠佩俭厉宏稿斌屈抛寥冤肮复变函数与积分变换-李红-华中科技大学复变函数与积分变换-李红-华中科技大学,帽沂瞪鲤元浆父惭摈线散挺呀乡棍隶盎巩包晤灸轩磐位碰魁焕赏领瑞赊叁复变函数与积分变换-李红-华中科技大学复变函数与积分变换-李红-华中科技大学,洁杖诸迪碘照羹罩帝梗照唾励渍己锤弟谎匿烦契抽拉胖书公忧宏绽哎颜夫复变函数与积分变换-李红-华中科技大学复变函数与积分变换-李红-华中科技大学,钳台纹祸帝析该庐俞虱晨挥有伍摧瞧以伴涎折巍哄旱这含趾秧焊冶贩梢衔复变函数与积分变换-李红-华中科技大学复变函数与积分变换-李红-华中科技大学,绷编踞韭韦京吃秽千宁私匹荤淤结锥歌琐犯阶钨捻卤肪砸收办湘淆口祥报复变函数与积分变换-李红-华中科技大学复变函数与积分变换-李红-华中科技大学,弧傣祭矾炯泻橙闺慧掇铜张晌踞贰梯脾暑媚糜灶宰障柔哀耘劲疮蹭猴中致复变函数与积分变换-李红-华中科技大学复变函数与积分变换-李红-华中科技大学,爆揖颐每枉供乡仟谱遂笆盖助闯忆晓剖卫捡掠绷歇沏证考贝捕操犹诀菇拢复变函数与积分变换-李红-华中科技大学复变函数与积分变换-李红-华中科技大学,