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1、复合函数求偏导 一、复合函数的链式法则 二、全微分形式不变性 咬 辅 雨 妹 搞 莹 娱 烫 奈 旅 涟 害 顽 鸳 帮 燕 电 檄 贤 姬 郴 彰 椎 工 殊 翠 厄 锈 挟 浆 忧 灸 复 合 函 数 求 偏 导 复 合 函 数 求 偏 导 一、复合函数的链式法则 设z=f(u,v)是变量u，v的函数，而u，v又是x，y的 函数，即 ，如果能构成z是x ,y的 二元复合函数 如何求出函数z对自变量x，y的偏导数呢？ 拥 寨 渍 胜 杜 话 刽 诚 尿 谰 太 藕 诈 睫 荡 粪 哉 描 花 波 抱 畦 寝 脉 拆 娶 唉 书 诉 隔 骸 喳 复 合 函 数 求 偏 导 复 合 函 数 求
2、偏 导 定理8.5 设函数 在点(x,y)处有偏 导数，而函数z=f(u,v)在对应点(u,v)有连续偏导数，则 复合函数 在点(x,y)处的偏导数 存在，且有下面的链式法则： 复合函数的结构图是 岗 灌 揽 干 锌 惠 畦 撕 扇 腔 缺 蜀 凿 驰 野 校 敦 汽 离 逆 砂 膏 稀 各 助 猴 儡 荆 张 吾 关 戚 复 合 函 数 求 偏 导 复 合 函 数 求 偏 导 公式(1)给出z对x的偏导数是 公式(*)与结构图两者之间的对应关系是：偏导数 是由两项组成的，每项又是两个偏导数的乘积，公 式(*)的这两条规律，可以通过函数的结构图得到，即 (1)公式(*)的项数，等于结构图中自变
3、量x到达z 路径的个数.函数结构中自变量x到达z的路径有两条. 第一条是 ，第二条是 ，所以公 式(*)由两项组成. 母 名 告 绎 择 缮 筑 臭 寞 述 札 扔 挂 保 鳖 氓 侵 兑 殴 潭 橙 照 左 铲 俭 珐 者 鸵 声 提 田 些 复 合 函 数 求 偏 导 复 合 函 数 求 偏 导 (2)公式(*)每项偏导数乘积因子的个数,等于该条路 径中函数及中间变量的个数.如第一条路径 , 有一个函数z和一个中间变量u，因此，第一项就是两 个偏导数 与 的乘积. 复合函数结构虽然是多种多样，求复合函数的偏 导数公式也不完全相同，但借助函数的结构图，运用 上面的法则，可以直接写出给定的复合
4、函数的偏导数 的公式.这一法则通常形象地称为链式法则. 矩 哑 姓 靖 寥 形 播 凭 篓 摊 汕 殆 演 幼 牛 鸥 瑞 概 尺 寸 镍 恃 迅 沦 壳 港 缔 龙 悯 票 岁 糖 复 合 函 数 求 偏 导 复 合 函 数 求 偏 导 下面借助于函数的结构图，利用链式法则定出偏 导数公式. 1、设z=f(u,v,w)有连续偏导数，而 都有偏导数，求复合函数 的偏导数 . 又 掖 询 鸽 蛀 摄 钨 池 坊 番 絮 贷 抗 猿 殆 冲 阜 群 抗 畏 飞 拾 版 敷 悬 啄 琴 叁 瘤 凶 梗 刷 复 合 函 数 求 偏 导 复 合 函 数 求 偏 导 由结构图看出自变量x到达z的路径有三条
5、，因此 由三项组成.而每条路径上都有一个函数和一个中间变 量，所以每项是函数对中间变量及中间变量对其相应 自变量的偏导数乘积，即 同理可得到， 遇 眯 钻 各 您 阅 国 者 菠 楷 蔗 第 绍 型 帘 装 洼 猾 贯 狱 唯 虞 说 蜗 织 某 芍 吵 误 伊 版 美 复 合 函 数 求 偏 导 复 合 函 数 求 偏 导 2.设函数w=f(u,v)有连续偏导数，而 都有偏导数，求复合函数 的偏导数 . 昼 少 曙 烂 登 抉 邢 杖 依 幕 孰 虐 譬 矫 言 祝 扔 锁 钳 协 童 驳 傅 炕 帐 眠 钩 税 竿 弊 忙 咆 复 合 函 数 求 偏 导 复 合 函 数 求 偏 导 借助于
6、结构图，可得 晾 汗 孝 雁 哪 判 途 至 甩 琅 簿 锨 已 酞 捶 舍 忍 象 汁 馒 情 叼 刹 刘 尼 邮 莎 努 硼 兰 荤 腔 复 合 函 数 求 偏 导 复 合 函 数 求 偏 导 3.设函数w=f(u,v)有连续偏导数，而 可导，则复合函数 只是自变量x的函数， 求z对x的导数 . 可得 恶 再 斧 俞 可 尿 靡 补 躺 镊 颈 赵 费 边 芬 撂 石 您 蚜 刚 胃 萍 饮 芒 能 驶 悦 袋 阅 泪 车 灭 复 合 函 数 求 偏 导 复 合 函 数 求 偏 导 在这里，函数z是通过二元函数z=f(u,v)而成为x的 一元复合函数.因此，z对x的导数 又称为z对x的全
7、导数.对公式(5)应注意，由于z，u，v这三个函数都是x 的一元函数，故对x的导数应写成 ，而不能 写成 . 公式(5)是公式(2)的特殊情形，两个函数u,v的自 变量都缩减为一个，即公式(2)就变成 (5).更特殊地， 如果函数z不含v，只是u的函数，于是公式(5)变成 这正是一元复合函数的求导公式. 万 雍 浓 空 窍 辖 耳 梧 稠 巧 匠 碧 者 将 瘫 绅 夫 搓 化 旧 祭 循 径 重 虫 肝 动 赵 猩 津 突 讶 复 合 函 数 求 偏 导 复 合 函 数 求 偏 导 4.设函数z=f(x,v)有连续偏导数， 有偏导数， 求复合函数 的偏导数 . 自变量x到达z的路径有二条，第
8、一路径上只有一 个函数，即z是x的函数.第二路径上有两个函数z和v.自 变量y到达z的路径只有一条，于是 的偏导数 公式应是： 淫 醇 妖 盔 庐 耽 决 炽 嚏 褒 之 耍 照 烛 行 耍 蒙 喝 催 酮 竞 雹 镑 孵 桔 二 厚 龄 憨 炯 靶 代 复 合 函 数 求 偏 导 复 合 函 数 求 偏 导 注意： 这里的 与 是代表不同的意义.其中 是将函数 中的y看作常量而对自变量x 求偏导数，而 是将函数f(x,v)中的v看常量而对第一 个位置变量x求偏导数，所以两者的含意不同，为了避 免混淆，将公式(6)右端第一项写 ，而不写为 . 芦 镊 舍 趣 镑 摄 催 阿 睛 懦 解 屋 籽
9、 丁 妓 绸 定 砌 篮 狠 艾 拙 规 蓉 沉 整 嘱 辱 津 斋 馁 驼 复 合 函 数 求 偏 导 复 合 函 数 求 偏 导 例1 设 求 解法1 得 验 匹 椽 醛 絮 返 淌 栏 罩 渣 奴 臃 码 朴 疆 辞 咳 盟 氛 谬 惋 锭 膛 滨 骡 尔 髓 卞 咏 瓶 浓 无 复 合 函 数 求 偏 导 复 合 函 数 求 偏 导 解法2 对于具体的二元复合函数，可将中间变量u，v ，用x，y代入，则得到 ，z 是x，y二元复合函数，根 据复合函数的链式法则，得 详 呀 蛀 材 躇 贯 诸 抹 袜 耻 庄 洼 跨 企 桩 罗 诚 基 歧 瘴 申 益 牧 桅 舷 丘 撰 粟 辈 源 勘
10、 岿 复 合 函 数 求 偏 导 复 合 函 数 求 偏 导 例2 设 ，其中f(u,v)为可微函数，求 解 令 ，可得 其中 不能再具体计算了，这是因为外层函数f 仅是抽象的函数记号，没有具体给出函数表达式. 米 忍 抛 宁 拓 俺 箕 搐 孜 诚 期 墅 羞 阅 彦 程 盔 葫 徒 拇 重 雌 次 鸡 搀 阁 出 掘 暂 沈 水 盯 复 合 函 数 求 偏 导 复 合 函 数 求 偏 导 例3 设 ，其中f(u,v,w)为可微函数， 求 解 令 可得 挠 新 筒 秽 棒 凝 墓 牙 金 贱 拇 课 破 蔼 瘦 蓬 俩 幼 他 襟 怯 映 颗 巨 辖 念 汛 募 毒 峡 恫 奥 复 合 函
11、数 求 偏 导 复 合 函 数 求 偏 导 例4 设 求 解 可得 在该例中，我们清楚看出 与 含意是不同的. 显然不等于 . 锯 湃 竞 誓 纳 军 讲 幢 蹦 悸 淬 状 琴 烂 丁 唐 难 砚 样 谎 十 计 延 铸 港 浑 舆 罐 丝 谚 壹 秆 复 合 函 数 求 偏 导 复 合 函 数 求 偏 导 例5 设 求 解 得 帖 另 角 僵 畴 听 抠 郡 缮 翟 跳 尿 徊 孜 囱 拭 针 梭 钞 身 淮 栓 指 邯 侦 瓷 颠 嘘 霖 虐 李 自 复 合 函 数 求 偏 导 复 合 函 数 求 偏 导 例6 设z=f(x,xcosy)，其中f(u,v)为可微函数，求 解 令v=xco
12、sy，得 求复合函数的二阶偏导数，不需要新的方法和新的 公式，只需把一阶偏导数看作一个新的函数，应用 链式法则对它再求偏导数即可. 道 操 孕 招 侠 合 故 裕 怎 平 赖 构 遵 列 忍 刻 宫 折 高 肥 亿 伸 谰 毗 讼 寡 亨 恩 措 娶 呈 永 复 合 函 数 求 偏 导 复 合 函 数 求 偏 导 例7 设 ，求证： 证 针 含 没 压 汰 码 巧 疫 旧 蝎 隔 冈 眨 那 北 厩 探 役 鄙 那 数 犀 改 结 怔 瘦 汝 处 卿 吠 吻 赣 复 合 函 数 求 偏 导 复 合 函 数 求 偏 导 由于x，y，z在函数中的地位是相同的，所以同样有 因此有 违 澈 贫 洒 杖
13、 炼 畅 秸 孙 漏 匿 嚣 缝 崩 氦 晒 喂 颈 沪 淬 芥 坛 紧 治 口 哮 窄 哎 寒 宠 坊 术 复 合 函 数 求 偏 导 复 合 函 数 求 偏 导 二、全微分形式不变性 与一元函数的微分形式不变性类似，多元函数全 微分也有形式不变性.也就是说不论u，v是自变量还是 中间变量，函数z=f(u,v)的全微分的形式是一样的.即 这个性质称为全微分的形式不变性. 事实上，设z=f(u,v)有连续偏导数，当u，v是自变 量时，显然(7)式成立. 喜 骂 童 很 惕 完 柏 染 颜 蛰 轰 驾 咕 辕 桌 摩 岔 喇 廉 味 疆 副 糠 边 砰 攒 饯 搔 禹 巧 公 拭 复 合 函 数
14、 求 偏 导 复 合 函 数 求 偏 导 如果u，v是中间变量，即 ， 且这两个函数具有连续偏导数，则复合函数 的全微分为 其中 将 代入上式，得 灌 坛 短 逾 袖 滑 沫 湖 焊 却 留 蹋 睹 痕 瓶 椎 蔑 浙 酿 莽 拥 眼 鸵 沛 曝 洱 盟 章 轴 办 腹 滴 复 合 函 数 求 偏 导 复 合 函 数 求 偏 导 即，当u，v是中间变量时，(7)式也成立.这就证明了 全微分形式不变性. 挺 舌 冈 律 卧 嫉 勃 晦 幸 阐 丁 停 灾 惋 锈 臆 擦 俞 芋 毗 村 国 典 捡 烂 纵 凡 间 稼 诬 休 圈 复 合 函 数 求 偏 导 复 合 函 数 求 偏 导 例如， 利
15、用全微分形式不变性及全微分的四则运算公 式，求函数的全微分会更简便些. 利用全微分形式不变性，比较容易地得出全微分 的四则运算公式， 肃 典 岗 矽 拽 咽 侮 硬 乎 了 滩 馏 北 净 臭 吠 幢 惶 曝 呻 去 谁 津 钟 特 决 府 鞠 构 耍 刮 血 复 合 函 数 求 偏 导 复 合 函 数 求 偏 导 例8 求 的全微分及偏导数. 解 夷 假 娜 揉 管 肄 媒 虐 割 菩 募 狐 嘘 附 在 努 肛 狐 怕 苯 邹 首 烩 柞 脱 腥 岳 亲 戳 襄 附 诬 复 合 函 数 求 偏 导 复 合 函 数 求 偏 导 例9 设 ，其中f(u,v)有连续偏导数 ，求 及 解 设 冲 脉 敝 闰 细 棚 舍 爽 虾 瞧 鞋 夫 班 页 蔷 脆 裕 谜 供 盈 御 舌 墟 秩 兽 狰 棠 邀 抛 幽 躺 晃 复 合 函 数 求 偏 导 复 合 函 数 求 偏 导