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1、第二章 数 列,2.2 等差数列,高斯，(17771855） 德国著名数学家。,得到数列 1，2，3，4， ，100,问题情景一,高斯是德国数学家，也是天文学家和物理学家，他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。高斯是近代数学奠基者之一，在历史上影响之大， 可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称。,得到数列： 6000，6500，7000，7500， 8000，8500，9000,问题情景二,匡威运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是cm）,问题情景三,，23，,，24，,25，,，26，,，26,姚明罚球个数的数列： 6000，6500，7000，7500，8000，8500
2、，9000,发现？,观察：以上数列有什么共同特点？,从第 2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。,高斯计算的数列： 1，2，3，4， ，100,观察归纳,，23，,，24，,25，,，26,运动鞋尺码的数列,一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。,等差数列定义,6000，6500，7000，7500，8000，8500,9000,公差d=1,公差d=500,公差d=,1，2，3,100；,一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
3、这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。,等差数列定义,数学语言： an-an-1=d （d是常数，n2，nN*）,或an+1 an = d,（ d是常数, nN*）,2、常数列a，a，a，是否为等差数列?若是，则公差是多少?若不是，说明理由。,想一想,公差是0,3、数列0，1，0，1，0，1是否为等差数列?若是，则公差是多 少?若不是，说明理由。,不是,1、数列6，4，2，0,-2,-4是否为等差数列？若是，则公差是多少?若不是，说明理由。,公差是-2,想一想,小结： 1、判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断an+1-an 是不是同一个常数。 2、公差d是每一项（从第2项起
4、）与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为0。,练习： 已知等差数列的首项为12，公差为5，,试写出这个数列的第2项到第5项,解:,由于,，因此,概念强化,在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：,（1）2 ，( ) ， 4 （2）-12，( ) ，0,3,-6,如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。,思 考,( 3 ) , ( ) ,问题情景四,观察数列：1，3，5，7，,思 考： 在数列中a100=？我们该如何求解呢？,设一个等差数列an的首项是a1,公差是d,则有： a2-a1=d
5、，a3-a2=d，a4-a3=d， 所以有： a2=a1+d, a3=a2+d = (a1+d) + d = a1+ 2d a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d ,an=a1+(n-1)d,问an=? 通过观察：a2， a3，a4都可以用a1与d 表示出来；an与d的系数有什么特点？,当n=1时，上式也成立。,归纳：,等差数列的通项公式：首项为a1 ,公差为d的等差数列 an的通项公式:,an = a1 + (n1)d,a1 、an、n、d知三求一,an=am +(n-m)d(n,mN*),变形,等差数列通 项 公 式 的 归纳,例1（1）求等差数列8，5，2，的第20项； （2）判
6、断-401是不是等差数列 5,-9 ,-13的项?如果是，是第几项，如果不是，说明理由。,分析： （1）由给出的等差数列前三项，先找到首项a1,求出公差d,写出通项公式，就可以求出第20项a20。,解：(1)由题意得：a1=8,d=5-8=-3,n=20 这个数列的通项公式是： an=a1+(n-1)d=-3n+11 a20=11-320=-49,例1（1）求等差数列8，5，2，的第20项； （2）判断-401是不是等差数列 5,-9 ,-13的项?如果是，是第几项，如果不是，说明理由。,分析： （2）要想判断-401是否为这个数列中的项，关键是要求出通项公式，看是否存在正整数n,使得an=-
7、401。,(2)由题意得： a1=-5,d=-9-(-5)=-4 这个数列的通项公式是： an=-5+ (n - 1) (-4)=-4n-1 令-401=-4n-1,得 n=100 -401是这个数列的第100项。,解：由题意可得, d = 2 ，a1 =2, an = 2+(n-1) 2 = 2n,例2 、在等差数列an中 ，已知a6=12 ，a18=36 , 求通项公式an,求基本量a1和d ：根据已知条件列方程，由此解出a1和d ，再代入通项公式。,像这样根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称方程思想。 这是数学中的常用思想方法之一。,题后点评,求通项公式的关键步骤：,
8、例2 、在等差数列an中 ，已知a6=12 ，a18=36 , 求通项公式an,思考：你还能想到解决该问题的其它解法吗？,解法二： a6=12 ，a18=36 ，a18=a6+(18-6)d 36=12+12d d=2 an=a6+(n-6)d =12+(n-6) 2 =2n,已知数列 的通项公式是 （ 为常数），那么这个数列为等差数列吗？,等差数列与一次函数的关系,探究：,等差数列的图象1,（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，,等差数列的图象2,（2）数列：7，4，1，-2，,等差数列的图象3,（3）数列：4，4，4，4，4，4，4，,直线的一般形式：,等差数列的通项公式为：,等差数列的图象为相应直线上的点。,等差数列的有关性质,探究：,