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1、精品文档用心整理沪教版初二数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习命题与证明知识讲解【学习目标】1了解命题、定义、公理、定理的含义，会区分命题的题设（条件）和结论，会在简单情况下判断一个命题的真假；2理解逆命题、逆定理的概念，会识别互逆命题与互逆定理，并知道原命题成立时其逆命题不一定成立；3能用基本的逻辑术语、几何证明的步骤、格式和规范进行演绎证明；了解证明的含义，理解证明的必要性，体会证明的过程要步步有据【要点梳理】要点一、演绎证明、演绎推理演绎证明从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程演绎推理演绎推理是数学证明一种常用的、完全可靠的方法
2、演绎证明是一个严格的数学证明，是我们将要学习的证明方法，演绎证明也称为证明要点诠释：演绎推理的过程就是演绎证明，并不是所有的真理都可以进行演绎证明要点二、命题、公理、定理定义能界定某个对象含义的句子叫做定义命题判断一件事情的句子叫命题其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题命题通常由题设、结论两个部分组成，通常可以写成“如果那么”的形式.要点诠释：命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系其中命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以公理人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断
3、其他命题真假的原始依据定理从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的原始依据要点诠释：资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理也就是说同时满足以下两个条件的真命题称为定理：（1）其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到.（2）其又可作为判断其它命题真假的依据.要点三、逆命题和逆定理互逆命题在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题.互逆定理如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个
4、叫做另一个的逆定理.【典型例题】类型一、命题1.判断下列语句在表述形式上，哪些对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？做出判断的哪些是正确的？哪些是错误的？(1)对顶角相等；(2)画一个角等于已知角；(3)两直线平行，同位角相等；(4)，两条直线平行吗?(5)鸟是动物；(6)若，求的值；(7)若，则=【答案与解析】（句子(1)(3)(5)(7)对事情作了判断，其中(1)(3)(5)判断是正确的，7）判断是错误的句子(2)(4)(6)没有对事情作出判断其中(2)属于操作性语句，(4)属于问句，都不是判断性语句.【总结升华】主要考察命题的定义.举一反三：【变式】下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题
5、?(1)若，则；(2)三角形的三条高交于一点；(3)在ABC中，若ABAC，则CB吗?(4)两点之间线段最短；(5)解方程；(6)123（【答案】1）（2）（4）（6）是命题，（3）（5）不是命题2.（永州校级期中）根据命题“两直线平行，内错角相等”解决下列问题：（1）写出逆命题；（2）判断逆命题是真命题还是假命题；（3）根据逆命题画出图形，写出已知，求证【思路点拨】（1）把命题的题设和结论交换即可；（2）根据平行线的判定方法解答；（3）把文字叙述转化为图形写出已知求证即可资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理【答案与解析】解：（1）逆命题：内错角相等，两直线平行；（2）是真命题；（3
6、）已知：如图，AMN=DNM，求证：ABCD【总结升华】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理举一反三：【变式】（2016梧州）下列命题：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；若a=b，则|a|=|b|；它们的逆命题一定成立的有（）ABCD【答案】D3.指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果那么”的形式：(1)三条边对应相等的两个三角形全等；(2)在同一个三角形中，等角对等边；(3)对顶角相等；(4)同角的余角相等；【答案与解析】（1）“三条边对应相等”是对两个三角形来说的，因此写条件时最好把“两个三角形”这句话添加上去，
7、即命题的条件是“两个三角形的三条边对应相等”，结论是“这两个三角形全等”可以改写成“如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等”（2）“等角对等边含义”是指有两个角相等所对的两条边相等。可以改写成“如果在同一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。”值得注意的是，命题中包含了一个前提条件：“在同一个三角形中”，在改写时不能遗漏（3）这个命题的条件是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等”这个命题可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”（4）条件是“两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等”这个命题可以改写成“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”4
8、.下列命题中，逆命题正确的是（）A.对顶角相等B.直角三角形两锐角互余C.全等三角形面积相等D.全等三角形对应角相等【答案】B【解析】A选项逆命题是相等的角是对顶角，不对；B选项逆命题是两个锐角互余的三角形是直角三角形，对的；C选项逆命题是面积相等的三角形是全等三角形显然不对；D选项的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，不一定，也可能是相似三角形.资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理【总结升华】判断逆命题是否正确，能举出反例即可.举一反三：【变式】试将下列各个命题的题设和结论相互颠倒，得到新的命题，并判断这些命题的真假(1)对顶角相等；(2)两直线平行，同位角相等；(3)若a=0
9、，则ab=0；(4)两条直线不平行，则一定相交；【答案】(1)对顶角相等(真)；相等的角是对顶角(假)；(2)两直线平行，同位角相等(真)；同位角相等，两直线平行(真)；(3)若a=0，则ab=0(真)；若ab=0，则a=0(假)；(4)两条直线不平行，则一定相交(假)；两条直线相交，则一定不平行(真)；类型二、证明举例（1）平行线的性质与判定进行几何证明：5.已知，如图，1=ACB，2=3，FHAB于H问CD与AB有什么关系？【答案与解析】解：CDAB；理由如下：1=ACB，DEBC，2=DCB，又2=3，3=DCB，故CDFH，FHABCDAB【总结升华】本题考查的是平行线的判定和性质的综
10、合应用.举一反三：【变式】如图所示，E在直线DF上，B在直线AC上，若AGB=EHF，C=D，试判断A与F的关系，并说明理由【答案】A=F证明：AGB=DGF，AGB=EHF，DGF=EHF，BDCE；C=ABD，又C=D，D=ABD，DFAC；A=F（2）与三角形有关的几何证明：6.如图，已知三角形ABC的三个内角平分线交于点I，IHBC于H，试比较CIH和BID资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理的大小【答案与解析】AI、BI、CI为三角形ABC的角平分线，BAD=BAC，ABI=ABC，HCI=ACBBAD+ABI+HCI=BAC+ABC+ACB=（BAC+ABC+ACB）=1
11、80=90BAD+ABI=90-HCIIHBC，IHC=9090-HCI=CIH，CIH=BAD+ABIBID=BAD+ABI（三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和）BID=CIH【总结升华】考查了角平分线的定义及三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180，在推导角的关系时，一定不要忘记与三角形有关的角中还有一个特别重要的性质：三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和.举一反三：（【变式】2015春东城区期末）在ABC中，CB，AE平分BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FDBC于D；（1）如果点F与点A重合，且C=50，B=30，如图1，求EFD的度数；（2）如果点F
12、在线段AE上（不与点A重合），如图2，问EFD与CB有怎样的数量关系？并说明理由（3）如果点F在ABC外部，如图3，此时EFD与CB的数量关系是否会发生变化？请说明理由【答案】（1）解：C=50，B=30，BAC=1805030=100AE平分BAC，CAE=50在ACE中AEC=80，在RtADE中EFD=9080=10（2）EFD=（CB）证明：AE平分BAC，BAE=90（C+B）AEC为ABE的外角，AEC=B+90（C+B）=90+（BC）FDBC，FDE=90EFD=9090（BC）EFD=（CB）资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理（3）EFD=（CB）如图，AE平分B
13、AC，BAE=DEF为ABE的外角，DEF=B+=90+（BC），FDBC，FDE=90EFD=9090（BC）EFD=（CB）（3）与全等三角形有关的几何证明7.如图，在ABC中，BAC=90，AC=2AB，点D是AC的中点将一块锐角为45的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想【答案与解析】数量关系为：BE=EC，位置关系是：BEEC证明：AED是直角三角形，AED=90，且有一个锐角是45，EAD=EDA=45，AE=DE，BAC=90，EAB=EAD+BAC=90+45=135，EDC=ADC-ED
14、A=180-45=135，EAB=EDC，D是AC的中点，AC=2DC，AC=2AB，AB=DC，在EAB和EDC中EABEDC，EB=EC，且AEB=DEC，BEC=DEC+BED=AEB+BED=AED=90，BEEC【总结升华】本题是先猜想在证明，主要考查了全等三角形的判定与应用，证明线段相等的问题一般的解决方法是转化为证明三角形全等，而当有等腰三角形出现时，相等的两腰通常作为判定三角形全等的一组条件来用，从而是问题简单化.举一反三：【变式】如图，在ABC的外部，分别以AB、AC为直角边，点A为直角顶点，作等腰直角ABD和等腰直角ACE，CD与BE交于点P试证：（1）CD=BE；（2）B
15、PC=90【答案】资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理证明：（1）在等腰直角ABD和等腰直角ACE中AD=AB，AC=AE，BAD=EAC=90，BAD+BAC=EACBACDAC=BAE在DAC和BAE中BAEDACCD=BE（）由BAEDAC得到ABE=ADCADB+ABD=90，ADC+ABD+BDC=90=ABE+ABD+BDC，即DBP+BDC=90BPC=90（4）添加辅助线的方法进行几何证明：8、已知，如图，ABC中，是BC中点，DEDF,试判断BECF与EF的大小关系，并证明你的结论.【答案与解析】BECFEF；证明：延长FD到G，使DGDF,连结BG、EGD是BC中
16、点BDCD又DEDF在EDG和EDF中EDGEDF（S.A.S）EGEF在FDC与GDB中FDCGDB(S.A.S)CFBGBGBEEGBECFEF【总结升华】因为D是BC的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段DF，使DGDF,证明EDGEDF，FDCGDB，这样就把BE、CF与EF线段转化到了BEG中，利用两边之和大于第三边可证.有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）.(5)文字命题的证明：9、求证：等边三角形内部任一点到三边的距离之和为定值.【答案与解析】已知：如图，ABC是等边三角形，P是三角形内任一点，PEAB，PGAC，PFBC垂足分别为E、G、F，求证：PE+PG+PF为定值.资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理证明：设等边三角形ABC的边长为a，面积为S连结PA、PB、PC，则SAPB=aPE，CPB=aPF，APC=aPG，于是APBCPBAPC=aPE+aPF+aPG，即aPE+aPF+aPG=S，PE+PF+PG=，为定值【总结升华】对于文字命题的证明要根据文字所描述的内容自己写出已知和求证，然后在证明.资料来源于网络仅供免费交流使用