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1、什么是数学建模,把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模。,建模全过程示意图,数学建模的一般步骤,堂上思考题,如何估计一个人体内血液的总量？,示例3、人口预报,一、两个经典模型： 1、指数增长模型： 2、阻滞增长模型（Logistic模型）,二、两个重要名词： 固有增长率与人口容纳量 三、如何估计Logistic模型的参数,课后作业,（1）用P11表2的数据，分别确定两个模型的参数。 （2）分别对两个模型进行误差分析。 （3）将程序附上 作业编号：h01-02,1、模型各项
2、参数的意义,固有增长率：种群数量很少时的增长率,种群尚未实现 部分的比例,环境容纳量,指数增长部分,2、模型的解,方法：分离变量法 解：,增长最快的地方,S形曲线,稳定生长阶段 指数增长阶段 初始生长阶段,3、如何对模型进行参数估计,（1）将模型变形：,（2）如何根据数据计算 以P14表4为例：,（3）参数估计方法：最小二乘法，用matlab实现,4、logistic模型的应用,（1）水稻叶伸长生长变化 （2）变形虫细胞重量生长,（1）水稻叶伸长生长变化,生长观测记录,Logistic模拟,Richard模拟,（2）变形虫细胞重量生长,观测数据,用Richard模型模拟,用Logistic模型
3、模拟,5、Logistic模型的演变,（1）Logistic模型的特点： 模型具有固定的拐点，只能描述一种特定形状的S曲线 。 （2）面临的问题： 生物在一个完整的时间序列里，生物的总生长量最初比较小，随时间的增加逐渐增长而达到一个快速生长时期，尔后增长速度趋缓，最终达到稳定的总生长量。此生长过程的图象描述称为是一种拉长的S形曲线。 （3）更合适的模型描述Richards模型（1951）,注：当m2时为Logistic模型,内 容,一、Logistic模型的性质、参数估计 、应用与模型演变 二、Matlab入门,Matlab使用,1、matlab使用环境 2、一些常用函数 3、关于矩阵提取 4
4、、图形功能 5、M-文件编写,1、Matlab使用环境,命令编辑区： （1）一行执行一个命令 （2）表达式后面的“；”， 将不显示结果。,开机画面：,MATLAB工作区： 可查看所有变量值,disp,没有;,没有定义变量名,det(a) inv(a),Matlab使用,1、matlab使用环境 2、四则运算与一些常用函数 3、关于矩阵提取 4、图形功能 5、M-文件编写,2、四则运算注意事项,（1）*与.：矩阵乘法与 数组乘法 （2）矩阵的左除运算与 右除运算,左除、右除与点除,左除：AB =inv(A)*B 右除：A/B =A*inv(B),常用的基本数学函数（1）,abs(x)：纯量的绝对
5、值或向量的长度 sqrt(x)：开平方 round(x)：四舍五入至最近整数 fix(x)：无论正负，舍去小数至最近整数 floor(x)：地板函数，即舍去正小数至最近整数 ceil(x)：天花板函数，即加入正小数至最近整数 rat(x)：将实数x化为分数表示 rats(x)：将实数x化为多项分数展开 sign(x)：符号函数 (Signum function)。,常用的基本数学函数（2）,sin(x)：正弦函数 cos(x)：馀弦函数 tan(x)：正切函数 asin(x)：反正弦函数 acos(x)：反馀弦函数 atan(x)：反正切函数 atan2(x,y)：四象限的反正切函数 sinh
6、(x)：超越正弦函数 cosh(x)：超越馀弦函数 tanh(x)：超越正切函数 asinh(x)：反超越正弦函数 acosh(x)：反超越馀弦函数 atanh(x)：反超越正切函数,min(x): 向量x的元素的最小值 max(x): 向量x的元素的最大值 mean(x): 向量x的元素的平均值 median(x): 向量x的元素的中位数 std(x): 向量x的元素的标准差 diff(x): 向量x的相邻元素的差 sort(x): 对向量x的元素进行排序（Sorting） length(x): 向量x的元素个数 norm(x): 向量x的欧氏（Euclidean）长度 sum(x): 向量
7、x的元素总和 prod(x): 向量x的元素总乘积 cumsum(x): 向量x的累计元素总和 cumprod(x): 向量x的累计元素总乘积 dot(x, y): 向量x和y的内 积,矩阵函数,det(A)： 行列式计算 A/ ： 矩阵的转置 inv(A)： 矩阵的逆 orth(A)： 正交化 poly(A)： 特征多项式 rank(A)： 矩阵的秩 trace(A)： 矩阵的迹 zeros(m,n)： m行n列的零矩阵 ones(m,n)： m行n列的全1矩阵 eys(n)： n阶单位矩阵 d=eig(A), v,d=eig(A)： 特征值与特征向量 rand(m,n)： m行n列均匀分布
8、随机数矩阵 randn(m,n)： m行n列正态分布随机数矩阵,Matlab使用,1、matlab使用环境 2、四则运算与一些常用函数 3、关于矩阵提取 4、图形功能 5、M-文件编写,3、关于矩阵的提取，:运算,取矩阵a第三行,取矩阵a第1、2行与第2、3列交叉点的数,将矩阵a所有元素作一列,Matlab使用,1、matlab使用环境 2、四则运算与一些常用函数 3、关于矩阵提取 4、图形功能 5、M-文件编写,二维图形功能（一）,plot: x轴和y轴均为线性刻度 注： 1、图形颜色：y(黄) k(黑) w(白) b(蓝) g(绿) r(红) 2、线条形状：-(实线） -.（点虚线） -（
9、虚线） 3、数轴范围调整：axis(xmin,xmax,ymin,ymax) 3、图形的各种注解与处理： x轴注解 ：xlabel(Input Value) y轴注解 ：ylabel(Function Value); 图形标题 ：title(Two Trigonometric Functions) 图形注解 ：legend(y = sin(x),y = cos(x) 显示格线：grid on 4、画出数个小图形于同一个视窗之中： subplot,更多的二维作图命令,bar 长条图 errorbar 图形加上误差范围 fplot 较精确的函数图形 polar 极座标图 hist 累计图 rose
10、 极座标累计图 stairs 阶梯图 stem 针状图 fill 实心图 feather 羽毛图 compass 罗盘图 quiver 向量场图,x=0:0.1:2*pi; y1=sin(x);y2=cos(x);y3=log(x+1)-x.2; subplot(1,2,1),plot(x,y1,y,x,y2,rd),title(y=sin(x)与y=cos(x) subplot(1,2,2),plot(x,y3,b),title(y=ln(x+1)-x2),Matlab使用,1、matlab使用环境 2、四则运算与一些常用函数 3、关于矩阵提取 4、图形功能 5、M-文件编写,M-文件,1、
11、关系运算符 ：大于 =：大于等于 =：不等于 2、逻辑运算符 &：与运算 |：或运算 ：非运算 3、for循环、while循环 4、break语句：跳出上述循环 5、定义函数: function y=new_fun(x),用Logistic模拟水稻叶伸长生长,生长观测记录数据,模型表达式：,程序！,关于polyfit命令,命令：p=polyfit(x,y,n) （1）x与y为模拟数据 （2）n为拟合多项式的次数 （3）当n=1时为用最小二乘法进行 直线拟合 （4）得到的向量p为长度n+1向量， 对应p的分量依次是次数从高 到底各多项式系数,用Richard模拟 水稻叶伸长生长,关于inline函数,例如： y=inline(sin(x)-cos(x),x) 输入y(0)，可得：-1 作图： x=0:0.1:2*pi;plot(x,y(x),再见！,