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1、数学建模课程设计题 目： 库存问题 第 13 组：组员1 组员2 组员3 姓 名：高明学 吴昊 刘辉周 学 号：021340301 021340502 021340508 专 业： 信息与计算科学 成 绩： 摘要库存模型是解决商场进货的一个数学模型，根据市场的需求，以及商品保管的费用，确定一个合理的进货方案，使得成本最小。本文结合实际问题，考虑不允许缺货和允许缺货这两种情况下，确定一个合理的方案，使得成本最小计算出理论值，然后和实际提供的方案比较，选择一个最优方案。首先我们假设一些变量不变，如需求率，当我们最后算出一个含有需求率的关系式，我们求它的加权平均值，这样就可以表示整个需求变量对整个模
2、型的结果了。因为需求率是一个变量的时候，模型很难建立。最后我们算出含有需求率的关系式时，需要借助MATLAB软件算出其值，在整个求解过程中，还会用到函数的极值必要条件及充分条件这一定理。其次我们建立模型时，需要构造关系图，这方便理解模型。再次，模型求解过程中会用到微分方程以及函数极值的思想；最后，算出理论结果并分析，选择一个最好的方案。题目描述 假定我们是在一个零售商店工作，我们的责任是从批发者手里订购货物，使商店维持一定数量的货物品种。现在需要制定一个简单的策略以补充新的商品。 当商店库存商品数量下降到只有P项（称之为重新订购点），我们需要从批发商那里订购多于Q项的商品（称重新订购量）。如果
3、在某一天顾客需求超过了库存量，这种超过的部分代表经营受到损失，商店失去了信誉。另一方面，库存量太多意味着提高了商品的保管费（例如，存储费用、保险费、利息、损坏变质等），库存量太少，订购太频繁将导致支付过多的订购费用，为了把问题简化，先作以下几个假定。1 从订购货物到货物进入商店只延迟三天，即在第i天晚上订购的货物，在第i+3天的早晨货品就可以进入商店。2 库存的每个商品，每晚的管理费是0.75元。3 商品的脱销导致商店经济的损失，每种商品价值200元，再加上净收入的损失1600元，这必将导致每种经营商品的总损失1800元。经营性的损失是永久性的损失，它们不能从订购中赚回来。4 忽略定购货品的数
4、量，在每个订购地点的费用为75元（如手续费、采购费等）。5 每天顾客的需求可以是从0到99等可能的任意的商品数。6 最初库中的商品数为115。7 不存在欠款订购商品的情况。有了这些条件，便于我们比较下列5种商品的策略，选择其中一种具有最小成本的策略。策略重新订购点P重新订购量Q11251502125250315025041752505175300建立模拟模型并求解上述问题。问题分析一，首先我们简化模型问题：订多少货？什么时候订货？库存模型回答这些问题的依据是要使一个时段内库存费用最小；2 库存总费用=购买费用+固定费用+存货费用+缺货损失； （1）购买费用=商品单价*订货量； （2）固定费用与
5、订货量无关，也就是问题中订购地点的费用； （3）存货费用=存货数量*天数*每天每个货物的管理费； （4）缺货损失为每种商品1800元。模型假设问题中的需求量是一个0到99的随机数，我们假设需求率r是一个常数（后面会算出一个含有r的关系式，求其0到99的算术平均值，就可以表示问题中需求率为变量对问题造成的影响）。Q:订货量；Q*:不允许缺货时的最优订货量；T：订货周期长度（时间单位）；T*：不允许缺货时的最优订货周期；r:需求率；P0：每个商品的价格；P1：每次订货的固定费用，P1=75；P2：每单位时间内每个商品的费用；C：每单位时间的总费用；C*：不允许缺货时，每单位时间内总费用的最小值。不
6、缺货模型建立不缺货模型求解根据假设，一个订货周期的平均量等于,所以库存费用是,于是每单位时间的总费用为: C在T=取得极值得条件为舍去负值而且是函数C(T)在定义域T(T0)内唯一的驻点，所以C在T=Q取得最小值，最低订货周期为,而最低订货量为相应地，每单位时间的总费用的最小值不缺货模型结果使用MATLAB软件算出=93.540，因为商品为整数，所以取整为94，因为商品最初的库存为115，而我们是假设商品下降到零后立即购进，故商品的重新订购量为94+115=209；=2，商品的订购周期为2天，故需要提前一天订购商品，因为商品是订购三天后才到货。同理算出总付费用的最小值为=32970.159元.
7、所以最后的结果是选择方案二，重新订货点越低管理费越小，而我们算出满足顾客需求的最低订购量为204，故选择方案二。缺货模型假设不允许缺货模型的基础上引入新记号：-每单位时间每件货物的缺货损失费；-首次订货量和每个订货周期的库存的最大值；-允许缺货时的最大值；-允许缺货时的最优订货量；-每个订货周期库存量从下降到0的时间长度；-允许缺货时的最大值；-允许缺货时的最优订货周期；-允许缺货时，每单位时间内总费用的最小值缺货模型建立（1） 和r都是常数；（2） 都是连续变量，;（3） 允许缺货，在订货量已下降到0，订货时补足缺货量，并及时补货，忽略首次订货量给购买周期带来的影响缺货模型求解根据假设，首次
8、订货量和订货周期的库存量最大值为=rT，在一个订货周期内，订货量仍为Q=rT;在一个订货周期内，平均库存量为r=r/2,库存费用为;在一个订货周期内平均缺货量r(T-）/2;，缺货量损失费为，于是每单位时间内的总费用为：C在取得极值的必要条件为：式子7.15由上式7.15一个方程解得： 将式带入7.15第一个方程，得： 将式带入式得 函数取得最小值；最优订货周期为,最优首次订货量为即,首次订货之后，每一个周期的最优订货量为即;相应地，每单位时间的总费用的最小值为：缺货模型结果：带入数据算出=4.44，故允许缺货的订货周期为4天，=94.88，重新订购量为115+95=210，因为缺货模型的订货周期比较长，所以考虑到它的重新订货点要尽可能的大，这样才能避免缺货带来的损失，所以和提供的方案比较，选择策略4比较合适。参考资料：数学模型