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1、10.4 旋转曲面的面积,1,苍松优选,通过对不均匀量（如曲边梯形的面积，变速直线运动的路程）的分析，采用“分割、近似代替、求和、取极限”四个基本步骤确定了它们的值，并由此抽象出定积分的概念，我们发现，定积分是确定众多的不均匀几何量和物理量的有效工具。那么，究竟哪些量可以通过定积分来求值呢？,一 定积分的元素法(或微元法),2,苍松优选,为了说明微元法，我们先来回顾一下曲边梯形 面积转化为定积分的计算过程。,step1. 分割：任意划分a,b为n个小区间,step2. 近似：,微元法,3,苍松优选,step3. 求和：,step4. 取极限：,分析：,在上述问题注意到: 所求量(即面积)A满足
2、：,1。与区间a,b及a,b上连续函数f(x)有关;,2。对a,b具有可加性，,3。,实际上，引出A的积分表达式的关键步骤是第 二步，因此求解可简化如下：,微元法,4,苍松优选,step1:选取积分变量及积分 区间（如x属于a,b）,step2:取微区间x,x+dx 求出,step3:,这种方法称为定积分的元素法或微元法。,微元法,5,苍松优选,一般的，如果某一实际问题中所求量Q符合条件:,1。Q是与某一变量x的变化区间a,b有关的量；,2。Q对于a,b区间具有可加性；,3。局部量,那么，将Q用积分来表达的步骤如下:,step1. 选取积分变量及积分区间,step2. 取微区间x,x+dx，求
3、出,step3.,微元法,6,苍松优选,求的步骤,分割,用分点,将,区间分成 n 个小区间,以直线代曲,把在小区间上的局部量,用某个函数 f ( x) 在,的值与,之积代替,求和,把局部量的近似值累加得到总量的近似值, 即,设量非均匀地分布 a ,b 上,7,苍松优选,由此可知，若某个非均匀量在区间 a,b 上满足两个条件：,（1） 总量在区间上具有可加性，即把区间分成几个小区间时总量就等于各个小区间上的局部量之和，,（2）局部量可用,近似表示,它们之间只相差一个,的高阶无穷小,不均匀量就可以用定积分来求得 这是建立所求量的积分式的基本方法,求极限,8,苍松优选,1 求微元,写出典型小区间,上的局部量,的近似值,这就是局部量的微元,2 求积分,即把微元,在区间 a , b 上,作积分表达式，求它在 a , b 上的定积分，即,这就是微元法,“无限积累”起来 ，相当于把,9,苍松优选,例,解:（图一）,10,苍松优选,旋转曲面的面积为,二 旋转曲面的面积,11,苍松优选,12,苍松优选,13,苍松优选,14,苍松优选,15,苍松优选,例3,16,苍松优选,解,由对称性,有,由对称性,有,17,苍松优选,由对称性,有,18,苍松优选,作业 P255：1，2，3.,三 小结,19,苍松优选,