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1、9.3 曲面及其方程,1,苍松优选,定义1.,如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:,(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;,则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.,两个基本问题 :,已知动点按照某种规律运动, 求运动,(2) 坐标满足方程的点都在曲面 S 上,轨迹所产生的曲面方程.,(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何图形,( 必要时需作图 ).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2,苍松优选,故所求方程为,例1. 求动点到定点,方程.,特别,当M0在原点时,球
2、面方程为,解: 设轨迹上动点为,即,依题意,距离为 R 的轨迹,表示上(下)球面 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、球面及其方程,3,苍松优选,例2. 研究方程,解: 配方得,此方程表示:,说明:,如下形式的三元二次方程 ( A 0 ),都可通过配方研究它的图形.,其图形可能是,的曲面.,表示怎样,半径为,的球面.,球心为,一个球面, 或点, 或虚轨迹.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4,苍松优选,二、柱面,引例. 分析方程,表示怎样的曲面 .,的坐标也满足方程,解:在 xoy 面上，,表示圆C,沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆,故在空间,过此点作,柱面.,对
3、任意 z ,平行 z 轴的直线 l ,表示圆柱面,在圆C上任取一点,其上所有点的坐标都满足此方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5,苍松优选,定义2.,平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成,的轨迹叫做柱面.,表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;,准线为xoy 面上的抛物线.,z 轴的椭圆柱面.,z 轴的平面.,表示母线平行于,(且 z 轴在平面上),表示母线平行于,C 叫做准线, l 叫做母线.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6,苍松优选,一般地,在三维空间,柱面,柱面,平行于 x 轴;,平行于 y 轴;,平行于 z 轴;,准线 xoz 面上的曲线 l3.,母线,柱面,准线
4、 xoy 面上的曲线 l1.,母线,准线 yoz 面上的曲线 l2.,母线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7,苍松优选,定义3. 一条平面曲线,三、旋转面,绕其平面上一条定直线旋转,一周,所形成的曲面叫做旋转面.,该定直线称为旋转,轴，曲线成为旋转面的母线,例如 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8,苍松优选,建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:,故旋转曲面方程为,当绕 z 轴旋转时,若点,给定 yoz 面上曲线 C:,则有,则有,该点转到,机动 目录 上页 下页 返回 结束,9,苍松优选,思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？,机动 目录 上页 下页 返回
5、 结束,10,苍松优选,例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为,的圆锥面方程.,解: 在yoz面上直线L 的方程为,绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为,两边平方,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11,苍松优选,例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线,分别绕 x,轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.,解:绕 x 轴旋转,绕 z 轴旋转,这两种曲面都叫做旋转双曲面.,所成曲面方程为,所成曲面方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,12,苍松优选,总结,(1) 面上的曲线 和 面上的曲线 绕 轴旋转所形成的旋转面方程均为,(2) 面上的曲线 和 面上的曲线 绕 轴旋转所形成的
6、旋转面方程均为,(3) 面上的曲线 和 面上的曲线 绕 轴旋转所形成的旋转面方程均为,13,苍松优选,四、空间曲线的一般方程,空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组,例如,方程组,表示圆柱面与平面的交线 C.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,14,苍松优选,又如,方程组,表示上半球面与圆柱面的交线C.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,15,苍松优选,空间曲线在坐标面上的投影,设空间曲线 C 的一般方程为,消去 z 得投影柱面,则C 在xoy 面上的投影曲线 C为,消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程,消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程,机动 目录 上页 下页 返
7、回 结束,16,苍松优选,例如,在xoy 面上的投影曲线方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,17,苍松优选,又如,所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:,上半球面,和锥面,在 xoy 面上的投影曲线,二者交线,所围圆域:,二者交线在,xoy 面上的投影曲线所围之域 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,18,苍松优选,9.4 二次曲面,19,苍松优选,二次曲面,三元二次方程,适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅,就几种常见标准型的特点进行介绍 .,研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法,其基本类型有:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形通常为二次曲面.,(二次项系数不全为
8、0 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,20,苍松优选,1. 椭球面,(1)范围：,(2)与坐标面的交线：椭圆,机动 目录 上页 下页 返回 结束,21,苍松优选,与,的交线为椭圆：,(4) 当 ab 时为旋转椭球面;,同样,的截痕,及,也为椭圆.,当abc 时为球面.,(3) 截痕:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,22,苍松优选,2. 椭圆锥面(二次锥面),椭圆,在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,23,苍松优选,3. 双曲面,(1)单叶双曲面,椭圆.,时, 截痕为,(实轴平行于x 轴；,虚轴平行于z 轴）,平面,上的截痕情况:
9、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,双曲线:,24,苍松优选,虚轴平行于x 轴）,时, 截痕为,时, 截痕为,(实轴平行于z 轴;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,相交直线:,双曲线:,25,苍松优选,(2) 双叶双曲面,双曲线,椭圆,注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:,双曲线,单叶双曲面,双叶双曲面,P18 目录 上页 下页 返回 结束,图形,26,苍松优选,4. 抛物面,(1) 椭圆抛物面,( p , q 同号),(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）,特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.,( p , q 同号),机动 目录 上页 下页 返回 结束,27,苍松优选,总结. 二次曲面,三元二次方程,椭球面,抛物面:,椭圆抛物面,双曲抛物面,双曲面:,单叶双曲面,双叶双曲面,椭圆锥面:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,28,苍松优选,5. 化简二次方程判断曲面类型,设三元二次方程的一般形式为,令,因为A是实对称矩阵，所以存在正交阵Q，使得,作正交变换u=Qv，则,29,苍松优选,即,其中，,例. 化下面方程为标准方程，并指出它是何种曲面,解：将方程写为矩阵形式:,其中，,30,苍松优选,作正交变换u=Qv，则可得到,单叶双曲面,31,苍松优选,