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1、最短路径问题 (2),1,最短路径问题,最短路径问题 (2),2,如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？,两点之间,线段最短, ,最短路径问题 (2),3, 两点在一条直线异侧,已知：如图，A，B在直线L的两侧，在 L上求一点P，使得PA+PB最小。,P,连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。,为什么这样做就能得到最短距离呢？,最短路径问题 (2),4,如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？,P,所以泵站建在点P可使输气管线最短,应用,最短路径问题 (2),5,问题1相传，古希腊
2、亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？,探索新知,最短路径问题 (2),6,这是一个实际问题，你打算首先做什么？,将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线,探索新知,你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？,（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A， B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；,
3、最短路径问题 (2),7,探索新知,现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）,最短路径问题 (2),8,作法： （1）作点B 关于直线l 的对称 点B； （2）连接AB，与直线l 相交 于点C 则点C 即为所求,探索新知,如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？,最短路径问题 (2),9,证明：如图，在直线l 上任取一点C（与点C 不 重合），连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知， BC =BC，B
4、C=BC AC +BC = AC +BC = AB， AC+BC = AC+BC 在ABC中， ABAC+BC， AC +BCAC+BC 即AC +BC 最短,探索新知,问题3你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？,最短路径问题 (2),10,探索新知,回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？,最短路径问题 (2),11,问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短,练习,最短路径问题 (2),12,已知：如图A是锐角MON内部任意一点，在MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角
5、形周长最小.,B,C,D,E,分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小,最短路径问题 (2),13,已知：如图A是锐角MON内部任意一点，在MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.,分别作点A关于OM，ON的对称点A，A；连接A，A，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求,最短路径问题 (2),14,3.某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 作法：1.作点
6、C关于直线 OA 的 对称点点D, 2. 作点C关于直线 OB 的对称点点E, 3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N， 则CM+MN+CN最短,A,O,B,. .,E,D,M,N,G,H,最短路径问题 (2),15,如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。 作法：1.作点C关于直线 OA 的 对称点点F, 2. 作点D关于直线 OB 的对称点点E, 3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H， 则CG+GH+DH最短,F,A,O,B,D , C,E,G,H,最短路径问题 (2),16,A/,B/
7、,P,Q,最短路径问题 (2),17,证明：在直线OA 上另外任取一点G，连接 点F,点C关于直线OA对称，点G.M在OA上，GF=GC,FM=CM, 同理HD=HE，ND=NE, CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE, CG+GH+HD=FG+GH+HE, 在四边形EFGH中， FG+GH+HEFE（两点之间，线段最短）， 即CG+GH+HDCM+MN+ND即CM+MN+ND最短,最短路径问题 (2),18,如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）,最短路径问题 (2),19,你能证明一下如果在不同于MN的位置造桥M/N/，距离是怎样的，能证明我们的做法AM+MN+NB的和是最短距离吗？试一下。,最短路径问题 (2),20,证明:取不同于,M，N的另外两点M/，N/ 由于M/N/=MN=AA/； 由平移的性质可知：AM=A/N,AM/=A/N/ 又根据“两点之间，线段最短”可知A/N/+N/BA/B 所以，AM/+N/BAM+NB, 所以，AM/+N/B+M/N/ AM+NB+MN.,最短路径问题 (2),21,如何在四边形ABCD内取一点O， 使得点O到四边形四个顶点的距离和最小。,