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1、1,2 线性空间的定义 与简单性质,3 维数基与坐标,4 基变换与坐标变换,1 集合映射,5 线性子空间,7 子空间的直和,8 线性空间的同构,6 子空间的交与和,小结与习题,第六章 线性空间,6.7 子空间的直和,2,6.7 子空间的直和,一、直和的定义,二、直和的判定,三、多个子空间的直和,6.7 子空间的直和,3,引入,有两种情形：,此时,即，必含非零向量.,6.7 子空间的直和,4,情形2）是子空间的和的一种特殊情况,此时,不含非零向量，即,6.7 子空间的直和,5,一、直和的定义,设 为线性空间V的两个子空间，若和,是唯一的，和就称为直和，记作,注:,若有,则, 分解式 唯一的，意即
2、,中每个向量的分解式,6.7 子空间的直和,6, 分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中,都成立.,例如，R3的子空间,这里，,在和中，向量的分解式不唯一，如,所以和不是直和.,6.7 子空间的直和,7,而在和中，向量 (2,2,2) 的分解式是唯一的，,事实上，对,故是直和.,都只有唯一分解式：,6.7 子空间的直和,8,二、直和的判定,分解式唯一，即若,1、(定理8) 和是直和的充要条件是零向量,则必有,证：必要性.,是直和,的分解式唯一.,而0有分解式,6.7 子空间的直和,9,充分性.,故是直和.,设，它有两个分解式,有,其中,于是,由零向量分解成唯一，且,即,的分解式唯一.,6.7
3、子空间的直和,10,2、和是直和,则有,“”任取,证：“”若,于是零向量可表成,由于是直和，零向量分解式唯一，,故,6.7 子空间的直和,11,证：由维数公式,3、和是直和,有，,6.7 子空间的直和,12,总之，设为线性空间V的子空间，则下面,四个条件等价:,2）零向量分解式唯一,1）是直和,3）,4）,4、(定理10) 设U是线性空间V的一个子空间，,称这样的W为U的一个余子空间.,则必存在一个子空间W，使,6.7 子空间的直和,13,证：取U的一组基,把它扩充为V的一组基,则,余子空间 一般不是唯一的(除非U是平凡子空间).,注意：,如，在R3中，设,6.7 子空间的直和,14,5、设
4、分别是线性子空间,的一组基，则,证：由题设，,若线性无关，,则它是 的一组基.,从而有,6.7 子空间的直和,15,反之,若 直和，则,从而的秩为rs .,所以线性无关.,是直和.,6.7 子空间的直和,16,1、定义,中每个向量的分解式,都是线性空间V的子空间，若和,是唯一的，则和就称为直和，记作,6.7 子空间的直和,17,四个条件等价:,2）零向量分解式唯一，即,3）,4）,2、判定,设都是线性空间V的子空间，则下面,1）是直和,6.7 子空间的直和,18,例1、每一个n维线性空间都可以表示成n个一维,子空间的直和.,证：设是n维线性空间V的一组基,则,而,6.7 子空间的直和,19,例
5、,2、已知，设,2）当 时，,证：1）,是 的子空间.,证明：1） 是 的子空间.,6.7 子空间的直和,20,从而有,故 是 的子空间.,下证 是 的子空间.,6.7 子空间的直和,21,又,2）先证,任取,其中,再证,又是 的子空间，,6.7 子空间的直和,22,任取,从而,所以,6.7 子空间的直和,23,练习 1 设V1 、V2分别是齐次线性方程组 与的,证：解齐次线性方程组，得其一个基础解系,解空间：,证明:,6.7 子空间的直和,24,再解齐次线性方程组.,由,即,得的一个基础解系,考虑向量组,6.7 子空间的直和,25,由于,线性无关，即它为Pn的一组基.,又,6.7 子空间的直和,26,2、和是直和,证:,则,练习：,6.7 子空间的直和,27,则零向量还有一个分解式,（*）,在(*)式中，设最后一个不为0的向量是,则(*)式变为,这时，,所以，是直和.,