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1、典型高考数学试题解读与变式2018版考点48正态分布【考纲要求】利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【命题规律】在选择题、填空题考查较多，属容易题，分值5分，在解答题中结合其他知识考查属中等题.【典型高考试题变式】正态分布例1.【2017课标1】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(m,s2)（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(m-3s,m+3s)之外的零件数，求P(X1)及X的数学期望；（2
2、）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(m-3s,m+3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95111经计算得x=(x-x)2=(x=9.97，s=161616i=1i=1x2-16x2)0.212，其中x为抽取的第ii=1ii1616ii个零件的尺寸，i=1,2,16用样本平均数x作为m的估计值m，用样本标准差
3、s作为s的估计值s，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(m-3s,m+3s)之外的数据，用剩下的数据估计m和s（精确到0.01）附：若随机变量Z服从正态分布N(m,s2)，则P(m-3sZm+3s)=0.9974，0.9974160.9592，0.0080.09【分析】（1）根据题设条件知一个零件的尺寸在(m-3s,m+3s)之内的概率为0.9974，则零件的尺寸在(m-3s,m+3s)之外的概率为0.0026，而XB(16,0.0026)，进而可以求出X的数学期望.（2）（i）判断监控生产过程的方法的合理性，重点是考虑一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(m-3s,m+3s)
4、之外的零件的概率是大还是小，若小即合理；（ii）根据题设条件算出m的估计值和s的估计值，剔除(m-3s,m+3s)之外的数据9.22，算出剩下数据的平均数，即为m的估计值，剔除(m-3s,m+3s)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差，即为s的估计值.【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在(m-3s,m+3s)之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(m-3s,m+3s)之外的概率为0.0026，故XB(16,0.0026).因此P(X1)=1-P(X=0)=1-0.9974160.0408.X的数学期望为EX=160.0026=0.0416.（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(m
5、-3s,m+3s)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(m-3s,m+3s)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.来源学科网.【名师点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望.正态分布是一种重要的
6、分布，之前考过一次，尤其是正态分布的3s原则.(【变式1】某种品牌摄像头的使用寿命单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为_【答案】14【变式2】【广西南宁2017届普通高中毕业班第二次模拟】某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量y（单位：千克）与该地当日最低气温x（单位：C）的数据，如下表：xy2125108898117（1）求出y与x的回归方程y=bx+a；（2）判断y与x之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低
7、气温为6C，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；学科！网（3）设该地1月份的日最低气温XN(m,s2)，其中m近似为样本平均数x，s2近似为样本方差s2，xy-nxyb=附：回归方程y=bx+a中，a=y-bx.x-n(x)22i=13.21.8，若XNm,s2)(求P(3.8X13.4).)103.2，则P(m-sXm+s=P(m-2sXm+2s)=0.9544.ni=1iini80.6，1x=n351y=7，y=5n【解析】（1）因为令n=5,x=ni=1ini=1i455=9,来源学科网ZXXK(xy)-nxy=287-579=-28，x所以nniiii=1i=12-n(x)2=295
8、-572=50所以b=-2850=-0.56所以a=y-bx=9-(-0.56)7=12.92（或者：所以所求的回归方程是y=-0.56x+12.9232325）【数学思想】来源学科网数形结合思想转化与化归思想.【温馨提示】曲线与x轴之间面积为1.正态曲线关于直线x对称，从而在关于x对称的区间上概率相同P(Xa)1P(Xa)，P(Xa)P(Xa)【典例试题演练】1.【2017云南大理统测】2016年1月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数(学考试成绩XN100,s2)（试卷满分为150分）统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则此次统考中
9、成绩不低于120分的学生人数约为（）16001-=200人，故选D.A80B100C120D200【答案】D【解析】正态曲线图象的对称轴为X=100，根据其对称性可知，成绩不低于1200分的学生人数约为31422.【2017年第三次全国大联考】已知某次数学考试的成绩服从正态分布N(102,42)，则114分以上的成绩所占的百分比为（附：P(m-sXm+s)=0.6826,P(m-2sXm+2s)=0.9544,P(m-3sXm+3s)=0.9974)A.0.3%B.0.23%C.1.3%D.0.13%【答案】D【解析】由已知得P(90X114)=P(m-3s114)=1-0.9974=0.00
10、13=0.13%，故选D214展开式中的常数项为a,且X3.【2017山西晋城市模拟考试】已知+x（）x26N(1,1),则P(3Xa)=(附：若随机变量X()Nm,s2,P(m-3sXm+3s)=99.740)则P(m-sXm+s)=68.260,P(m-2sX5)=（）A01588B01587C01586D01585【解析】依题意P(x5)=【答案】B1-0.6826=0.1587，故选B.26.【2017河北五邑四模】某校高考数学成绩近似地服从正态分布N(100,52)，且P(x110)=0.96，则P(90x100)的值为（）A.0.49B.0.48C.0.47D.0.46【答案】D所
11、【解析】依据题设条件及正太分布的对称性可知P(x110)=1-0.96=0.04，以P(x90)=0.04，则2P(90x100)=1-20.04=0.92，所以P(90x100)=0.46，应选D.7.【2017荆、荆、襄、宜四地七校联考】设随机变量服从正态分布N(1,s2)，若P(h-1)=0.2，则函数f(x)=13x3+x2+h2x没有极值点的概率是（）A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8【答案】C【解析】由f(x)=x2+2x+h2=0无相异实根得D=4-4h20h1或h-1，因此函数f(x)没有极值点的概率是P(h1)+P(h-1)=0.5+0.2=0.7，选C.8.设有一正态
12、总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)1e-8(x-10)28(xR)，则这个正态总体的平均数与标准差分别是()A.10与8B.10与2C.8与10D.2与10【答案】B【解析】f(x)1e22-(x-10)2222，所以2，10，即正态总体的平均数与标准差分别为10与2，故选（xi）2B.9.已知三个正态分布密度函数i(x)12ie(xR，i1，2，3)的图象如图所示，则()i22A.123，123B.123，123C.123，123D.123，123【答案】D【解析】由正态曲线关于直线x对称，知123；的大小决定曲线的形状，越大，总体分布越分散，曲线越矮胖；越小，总体分布越
13、集中，曲线越瘦高，则123.实际上，由1(1)2(2)213(3)，则1122123，即123.故选D.10.(2017石家庄模拟)设XN(1，2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P(X3)0.0228，那么向正方形OABC中随机投掷20000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为()(附：随机变量服从正态分布N(1，2)，则P()0.6826，P(22)0.9544)A12076B13174C14056【答案】BD753911.【2017年原创押题预测卷02（山东卷）】已知XN(m,4)，且P(X2-m)=P(Xm)，则若P(X2)=0.72，则P(1X2)=.【答案】0.22【解析】因为
14、XN(m,4)，故由P(X2-m)=P(Xm)可得m+(2-m)=2m，解得m=1，故XN(1,4).由P(X1)=0.5，所以P(1X1)-P(X2)=0.5-0.28=0.22.12.【2017四川资阳模拟】已知随机变量X服从正态分布N(2，)，且P(0X2)0.3，则P(X4)_【答案】0.2；【解析】由题意结合正态分布的性质可知：P(2x4)=0.3，则P(X4)=1-0.32=0.2.213.【2017湖北省黄石市调研】已知随机变量x服从正态分布N(0,d2)，且P(-2x2)=0.4，则P(x2)=_)1-P(-2x2)=0.3.【解析】Px2=【答案】0.3(214.【2017广
15、东省汕头市模拟】为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/mm5859件数116136256366419653366186746846927017173合计21100经计算，样本的平均值m=65，标准差s=2.2，以频率值作为概率的估计值.（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（P表示相应事件的概率）；P(m-sXm+s)0.6826；P(m-2sXm+2s)0.9544；P(m-3sXm+3s)0.9974.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备
16、等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M的性能等级.（2）将直径小于等于m-2s或直径大于m+2s的零件认为是次品.（）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E(Y)；（）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望E(Z).（i）从设备M的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为6（2）由图表知道：直径小于或等于m-2s的零件有2件，大于m+2s的零件有4件共计6件3=，10050依题意YB(2,3)，故E(Y)=233=.505025（ii）从100件样品中任意抽取2件，次品数Z的可能取
17、值为0，1，2P(Z=0)=C0C2694=C21001457C1C1188C2C05,P(Z=1)=694=,P(Z=2)=694=,1650C21650C21650100100故E(Z)=0145718851983+1+2=.16501650165016502515.(2014新课标全国卷)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：学#科网(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(，2)，其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差s2.利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数利用的结果，求EX.来源学。科。网附：15012.2.学￥科网若ZN(，2)，则P(Z)0.6826，P(2Z2)0.9544.